2020年高考数学一轮复习考点20两角和与差的正弦余弦和正切必刷题理含解析

考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2
＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( )
A.π6
B ．π
4
C ．π6或3π
4
D ．π4或3π4
【答案】B
【解析】在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc .又b
2
＝a 2
＋bc ，所以c 2
＋bc ＝3bc ，即c ＝(3－1)b ＜b ，则a ＝2－3b ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝2
2
，解
得C ＝π
4
.故选B.
2、△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝3
4，则△ABC 的面积为( )
A ．37
B ．37
2
C ．9
D ．92
【答案】B
【解析】.由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，得7＝16＋a 2
－6a ，解得a ＝3，∵cos B ＝34，∴sin B ＝74，
∴S △ABC ＝12ca sin B ＝12×4×3×74＝37
2
.故选B.
3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b 2
＋c 2
－a 2
＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( ) A ．a ＝c B ．b ＝c C ．2a ＝c D ．a 2
＋b 2
＝c 2
【答案】B
【解析】由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝3
2
，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3
sin A ＝3sin 30°＝
3
2
，所以B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即
a ＝c ，可知A 成立．故选B.
4、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．2 3 C ．3＋2 3 D ．3＋ 3
【答案】C
【解析】因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a
＝32，
又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，故选C.
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D
【解析】∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×3
2
，∴c ＝4.
6、在△ABC 中，sin 2
A ≤sin 2
B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π
C.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π 【答案】C
【解析】由正弦定理及sin 2
A ≤sin 2
B ＋sin 2
C －sin B sin C 可得a 2
≤b 2
＋c 2
－bc ，即b 2
＋c 2
－a 2
≥bc ，由余弦
定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3.故A 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3.故选C.
7、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c
b
＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形
【答案】A
【解析】根据正弦定理得c b ＝
sin C
sin B
＜cos A ，
即sin C ＜sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，
∴sin C ＝sin(A ＋B )＜sin B cos A ，整理得sin A cos B ＜0.又在三角形中sin A ＞0， ∴cos B ＜0，∴π
2
＜B ＜π.∴△ABC 为钝角三角形．
8、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin
A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．b ＝2a
C ．A ＝2B
D ．B ＝2A
【答案】A
【解析】因为A ＋B ＋C ＝π，sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin(A ＋C )＋2sin B cos
C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C .
又cos C ≠0，所以2sin B ＝sin A ，所以2b ＝a ，故选A.
9、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π
6
B ．π4
C ．π3
D ．π2
【答案】C
【解析】∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝
32＋22－7
2
2×3×2
＝12，且A ∈()0，π，∴A ＝π
3
.故选C. 10、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A
sin C ＋sin B
，则B 等于( ) A.π
6 B ．π4
C.π3
D ．3π4
【答案】C
【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，
得
c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a
c ＋b
， 即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，
得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
2
，又0＜B ＜π，
所以B ＝π
3
，故选C.
11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a 2
＋b 2
－c 2
)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( ) A.π6或5π
6 B ．π3或2π2
C.
π6
D ．2π3
【答案】A
【解析】由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，∴sin C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π
6
.故
选A.
12、在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A ＝( )
A.310
10
B ．
1010
C ．－
1010
D ．－31010
【答案】C
【解析】如图，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意知AD ＝BD ＝13BC ，则CD ＝23BC ，AB ＝23BC ，AC ＝5
3
BC ，
在△ABC 中，由余弦定理的推论可知，cos ∠BAC ＝
AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
＝
29BC 2＋59
BC 2
－BC 22×
23BC ×5
3
BC ＝－
10
10
，故选C. 13、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＋sin A －
2
cos B ＋sin B
＝0，则a ＋b
c
的值是( ) A ．1 B ． 2 C. 3 D ．2
【答案】B
【解析】因为cos A ＋sin A －2
cos B ＋sin B
＝0，所以(cos A ＋sin A )(cos B ＋sin B )＝2，所以cos A cos
B ＋sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝2，即cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，所以cos(A －B )＝1，sin(A
＋B )＝1，又A ，B 分别为三角形的内角，所以A ＝B ，A ＋B ＝π2，所以a ＝b ，C ＝π2，所以a ＋b
c ＝
22c ＋22
c c
＝2，故选B.
14、△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2
＝2b 2
(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π
4
B ．π3
C ．π
4
D ．π6
【答案】C
【解析】∵b ＝c ，∴B ＝C .
又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A 2
.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得sin 2A ＝2sin 2B ·(1－sin A )，即sin 2
A
＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A 2(1－sin A )，即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A 2(1－sin A )，
整理得cos 2
A 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－sin A －2sin 2
A 2＝0，即cos 2
A
2
(cos A －sin A )＝0.
∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A
2
≠0，
∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π
4
.
15、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2
－b 2
＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
【答案】D
【解析】由a 2
－b 2
＝3bc ，得sin 2
A －sin 2
B ＝3sin B ·sin
C ， ∵sin C ＝2
3sin B ，∴sin A ＝7sin B ，∴c ＝2
3b ，a ＝7b ，
由余弦定理得cos A ＝
12b 2
＋b 2
－7b
2
2×2
3b ×b
＝
3
2
，∴A ＝30°.故选D. 16、在△ABC 中，A ＝π4，b 2
sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．
【答案】2
【解析】因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2
c ＝42b ，即bc ＝42，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.
17、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2
，b ＝3，3cos A ＝1，则a 的值为________． 【答案】3
【解析】由正弦定理可得
2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ，
∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C ＞0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32
－2×2×3×13
＝9，∴a ＝3.
18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为153
4，则cos
2A ＝________． 【答案】71
98
【解析】由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝153
4
，解得a ＝3.
由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52
－2×3×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝b sin B ⇒sin A ＝a b sin B ＝37sin
2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2
A ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫33142＝7198
. 19、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________. 【答案】
3
2
【解析】因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3
sin 60°，解得sin A ＝
12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32
. 20、已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________． 【答案】
152；10
4
【解析】由余弦定理得cos ∠ABC ＝42
＋22
－42
2×4×2＝1
4，
∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝15
4
，
∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin∠CBD ＝12×2×2×154＝15
2.
又cos ∠ABC ＝cos 2∠BDC ＝2cos 2
∠BDC －1＝14，
0＜∠BDC ＜π
2，
∴cos ∠BDC ＝
104
. 21、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b 2
＋c 2
＝2a 2
，则cos A 的最小值为________． 【答案】1
2
【解析】因为b 2
＋c 2
＝2a 2
，则由余弦定理可得a 2
＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc ＝1
2
(当
且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为1
2
.
22、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A .
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 【答案】
【解析】(1)由题设得12ac sin B ＝a 2
3sin A ，即12c sin B ＝a
3sin A .
由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A
3sin A .
故sin B sin C ＝2
3
.
(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2，
即cos(B ＋C )＝－1
2.
所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3
.
由题设得12bc sin A ＝a
2
3sin A
，a ＝3，即bc ＝8.
由余弦定理得b 2
＋c 2
－bc ＝9，即(b ＋c )2
－3bc ＝9，由bc ＝8， 得b ＋c ＝33.
故△ABC 的周长为3＋33.
23、如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝b cos C ＋c cos B .
(1)求角A 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，且BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝2，BC ＝4，求AD 的长． 【答案】
【解】(1)由题意及正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ． ∵sin A ≠0，∴cos A ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.
(2)在△ABC 中，由余弦定理得，
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即16＝4＋AC 2－2AC ，
解得AC ＝1＋13，或AC ＝1－13(负值，舍去)． ∵BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝2，BC ＝4， ∴
AD DC ＝AB BC ＝12，∴AD ＝13AC ＝1＋133
. 24、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a
＋cos B b
＝sin C c
. (1)证明：sin A sin B ＝sin C . (2)若b 2＋c 2－a 2
＝65bc ，求tan B ．
【答案】(1)见解析 (2)4 【解析】(1)证明：由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B ＝
c
sin C
，可知原式可以化简为
cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C
sin C
＝1，因为A 和B 为三角形的内角，所以sin A sin B ≠0， 则两边同时乘以sin A sin B ，可得 sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，
由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，∴sin C ＝sin A sin B ，故原式得证．
(2)由b 2＋c 2－a 2
＝65
bc ，根据余弦定理可知，
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3
5
.
因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A ＞0，则sin A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352
＝4
5
，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋
cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝1－cos A sin A ＝1－34＝1
4
，所以tan B ＝4. 25、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2
B ＋cos B ＝1－cos A cos
C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 3
【解析】(1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2
B )－cos(A ＋
C )＝1－cos A cos C ，
∴－sin 2
B －(cos A cos
C －s in A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2
B ＝sin A sin
C . 由正弦定理，得b 2
＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.
则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12
，
当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2
B ≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝32
. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3
2＝ 3.
∴△ABC 的面积的最大值为 3.
26、在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2
A －3cos(
B ＋
C )＝sin 3A ＋ 3. (1)求A 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】 (1) π3 (2) 3
2
c
【解析】(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①， ∵3A ＝2A ＋A ，
∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③，
将①②③代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，
又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.
(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π
3－B ，
∵△ABC 为锐角三角形，∴
2π3－B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2且
B ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，
解得B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c
sin C
，
∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2π3－B sin B ＝3tan B
＋1，
又B ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)，
∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，23.
27、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B
cos A .
(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．
【答案】 (1) 见解析 (2) 1
2.
【解析】(1)由题意知 2⎝
⎛⎭⎪
⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B
，
化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ．
因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝
a ＋b
2
，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
a 2
＋b 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 222ab
＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12
， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为1
2
.
28、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)若23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π
3，求b ＋c 的取值范围．
【答案】(1) 5 (2)b ＋c ∈(3，23]
【解析】(1)∵23cos 2
A ＋cos 2A ＝23cos 2
A ＋2cos 2
A －1＝0， ∴cos 2
A ＝125
，
又A 为锐角，∴cos A ＝1
5
，
而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2
－125
b －13＝0，
解得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.
(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6
， ∴12＜sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得 b 2＋c 2－3＝bc ，
即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34
(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c ＞3，∴b ＋c 的取值范围为(3，23]．。