2016年江苏省盐城四中九年级上学期数学期中试卷与解析

2015-2016学年江苏省盐城四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A．x+2y=5 B．x2+y=3 C．3x=x2﹣4 D．x+=3
2．（3分）一元二次方程x2﹣kx﹣1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
3．（3分）有15位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取八位同学进入决赛，小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的（）
A．平均数B．众数C．最高分数D．中位数
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均
是9.2环，方差分别为S
甲2=0.55，S
乙
2=0.60，S
丙
2=0.50，S
丁
2=0.40，则成绩最稳
定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA、PB交优弧AB于点C、D，若∠AOB=60°，则判断∠APB大小正确的是（）
A．∠APB=30°B．∠APB＞30°C．∠APB＜30°D．不能确定
6．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．长度相等的弧叫等弧B．直角所对的弦是直径
C．同弦所对的圆周角相等D．等弧所对的弦相等
7．（3分）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，4，现随机从口袋里取出一张卡片，这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．1
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．（3分）方程x2﹣3x=0的根为．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB为．
12．（3分）一组数据8，7，8，6，6，8的众数是．
13．（3分）数据11、12、13、14、15的方差是．
14．（3分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为cm2．
15．（3分）一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色
棋子的频率稳定在80%．则n很可能是枚．
16．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．
18．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2=0的解为．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1=0
（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3=0有一根是1．（1）求a的值；
（2）求方程的另一根．
21．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小
丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）求点P在一次函数y=x+1图象上的概率．
22．（8分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有条．
23．（10分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小明已根据成绩表算出了甲成绩的平均数和方差，请你完成下面两个问题．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）求m的值和乙的平均数及方差；
（2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O 交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
25．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．
27．（10分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
28．（14分）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
2015-2016学年江苏省盐城四中九年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A．x+2y=5 B．x2+y=3 C．3x=x2﹣4 D．x+=3
【解答】解：A、x+2y=5是二元一次方程，故本选项错误；
B、x2+y=3是二元二次方程，故本选项错误；
C、3x=x2﹣4是一元一次方程，故本选项正确；
D、x+=3是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2﹣kx﹣1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【解答】解：∵△=（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）=k2+4，
∵k2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
3．（3分）有15位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取八位同学进入决赛，小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的（）
A．平均数B．众数C．最高分数D．中位数
【解答】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．故选：D．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均
是9.2环，方差分别为S
甲2=0.55，S
乙
2=0.60，S
丙
2=0.50，S
丁
2=0.40，则成绩最稳
定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵S
甲2=0.55，S
乙
2=0.60，S
丙
2=0.50，S
丁
2=0.40，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
5．（3分）如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA、PB交优弧AB于点C、D，若∠AOB=60°，则判断∠APB大小正确的是（）
A．∠APB=30°B．∠APB＞30°C．∠APB＜30°D．不能确定
【解答】解：如图，
∵∠AOB与∠ACB为优弧AB所对的圆心角和圆周角，
∴∠ACB=∠AOB=×60°=30°，
∵∠ACB是△PBC的外角，
∴∠APB＜∠ACB=30°．
故选：C．
6．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．长度相等的弧叫等弧B．直角所对的弦是直径
C．同弦所对的圆周角相等D．等弧所对的弦相等
【解答】解：A、能互相重合的弧是等弧，故选项错误；
B、90°的圆周角所对的弦是直径，故选项错误；
C、同弦所对的圆周角相等或互补，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
7．（3分）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，4，现随机从口袋里取出一张卡片，这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．1
【解答】解：∵一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，
∴共有4种等可能的结果，
∵这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长，能构成三角形的有：3，2，4；4，2，4；共2种情况，
∴能构成三角形的概率是：=．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴OM=2，NO=8，
∴NM=6，
∵PD⊥NM，
∴DM=3
∴OD=5，
∴OQ2=OM•ON=2×8=16，OQ=4．
∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．
即点P的坐标是（4，5）．
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．（3分）方程x2﹣3x=0的根为x1=0，x2=3．
【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）=0，
解得，x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，则m=4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB为50°．
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°，
∴∠ACB=∠AOB=50°．
故答案为：50°．
12．（3分）一组数据8，7，8，6，6，8的众数是8．
【解答】解：数据8出现了3次，出现次数最多，所以此数据的众数为8．
故答案为8．
13．（3分）数据11、12、13、14、15的方差是2．
【解答】解：平均数=（11+12+13+14+15）÷5=13，
方差=[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]=2．故答案为：2．
14．（3分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面
积为15πcm2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
15．（3分）一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%．则n很可能是8枚．
【解答】解：不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个棋子，其中黑色棋子n个，
根据古典型概率公式知：P（黑色棋子）==80%，
解得n=8．
故答案为：8．
16．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是4．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条
切线PQ，Q为切点，则切线长PQ．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣4，0）、B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴AB=4
∴OP=AB=2，
∴PQ=；
故答案为：．
18．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2=0的解为﹣3或1．
【解答】解：根据规定运算，方程（x+1）*2=0可化为（x+1）2﹣22=0，
移项，得（x+1）2=4，
两边开平方，得x+1=±2，
解得x1=1，x2=﹣3，
故答案为：﹣3或1．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1=0
（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）方程移项得：2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0，
解得：x1=3，x2=6．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3=0有一根是1．（1）求a的值；
（2）求方程的另一根．
【解答】解：（1）将x=1代入方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3=0可得（a+1）﹣1+a2﹣3a﹣3=0，
解可得：a=﹣1，a=3；
a=﹣1时，原方程是一元一次方程，故舍去；
则a=3；
（2）由（1）得：a=3，
则原方程为4x2﹣x﹣3=0，
且其中有一根为1，设另一根是m，
则m•1=m=﹣，
故m=﹣．
21．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）求点P在一次函数y=x+1图象上的概率．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：
∴点P所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，0），（1，2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，2）；
（2）∵只有（1，2），（﹣2，﹣1）这两点在一次函数y=x+1图象上，
==．
∴P
（点P在一次函数y=x+1的图象上）
22．（8分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条．
【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求；
（2）如图所示：AB，CD即为所求；
（3）如图：连接DO，
∵OP=3cm，DO=5cm，
∴在Rt△OPD中，DP==4（cm），
∴CD=8cm，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条．
故答案为：4．
23．（10分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小明已根据成绩表算出了甲成绩的平均数和方差，请你完成下面两个问题．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）求m的值和乙的平均数及方差；
（2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【解答】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，
则m=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4，=30÷5=6，
S2乙=[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]=1.6．
（2）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O 交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
【解答】（1）解；∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°，
（2）证明：连接OE．
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO=∠EAO，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切．
25．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．
【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴的长度=的长度==；
∴、的长度之和为+=．
27．（10分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
则6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
故平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）=9720（元）；
方案②可优惠：80×100=8000（元）．
故选择方案①更优惠．
28．（14分）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【解答】解：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=30°，
∴OE==3，
∴点E的坐标为（3，0）；
（2）如图1所示：
∵∠PAE=15°，∠AEO=30°，
∴∠APO=∠PAE+∠AEO=45°，
∴OP=OA=3，
∴QP=7，
∴t=7秒；
如图，∵∠AEO=30°，∠PAE=15°，
∴∠APE=15°=∠PAE，
∴AE=PE，
∵AE==6，
∴t=QP=OQ+OE+PE=10+3；
∴t=7或10+3s．
（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，∴点A为切点，如图2所示：
∵AE=6，∠AEO=30°，
∴PE==4，
∴QP=QE﹣PE=（4+3）﹣4=4﹣，∴t=（4﹣）秒．
当点P与O重合时，⊙P与AC相切，
∴t=4秒；
当PA=PB时，⊙P与BC相切，
设OP=x，则PB=PA=6﹣x，
在Rt△OAP中，x2+32=（6﹣x）2，
解得：x=，
∴t=4+=（秒）；
∴t=4﹣或4或秒．
赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

D
B
C。