专题十五 导数与函数的最值及在实际生活中的应用

专题导数与函数的最值及在实际生活中的应用【高频考点解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．【热点题型】题型一函数的最值与导数例1、已知a∈R，函数f(x)＝ax＋ln x－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．【提分秘籍】1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2. 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论．【举一反三】已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；【热点题型】题型二 生活中的优化问题例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x 个月内累计的需求量p (x )(单位：百件)满足p (x )＝x2(39x －2x 2＋41)(1≤x ≤12且x ∈N *)．(1)求第x 个月的需求量f (x )的表达式；(2)若第x 个月的销售量满足g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －21x 1≤x <7，x ∈N *x 2e x ⎝⎛⎭⎫13x 2－10x ＋967≤x ≤12，x ∈N *(单位：百件)，每件利润q (x )＝100e x －6元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值，最大是多少？(e 6取值为403)【提分秘籍】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域；(2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； (4)还原到原实际问题中作答． 【举一反三】某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，出厂价为x 元(25≤x ≤40)．根据市场调查知，日销售量q (单位：个)与e x 成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．(1)求该玩具厂的日利润y 元与每个玩具的出厂价x 元之间的函数关系式；(2)若t ＝5，则每个玩具的出厂价x 为多少元时，该工厂的日利润y 最大？并求最大值．解析：(1)设日销量q ＝k e x (k ≠0)，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e 30ex ，∴y ＝100e 30x －20－te x(25≤x ≤40)．【热点题型】题型三 不等式的证明问题例3、已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝0，A (a ，f (a ))、B (b ，f (b ))是函数f (x )图象上不同的两点，且a >b >0，f ′(x )为f (x )的导函数，求 证：f ′⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<f a －f ba －b<f ′(b )；(2)易知原不等式等价于2a ＋b <f a －f b a －b <1b ，要证f a －f b a －b <1b ，只需证ln a b <ab －1，令ab＝t >1，即证ln t －t ＋1<0，令g (t )＝ln t －t ＋1，则g ′(t )＝1t －1<0，因此g (t )<g (1)＝0，f a－f b a －b<1b 得证．【提分秘籍】1．要证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义，可知对任意的x ∈(a ，b )，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．2．对于和形式的不等式的证明，一般地根据条件先构造一恒成立的不等式，将和式拆解，再利用同向不等式的可加性，进行转化放缩以证明结论．【举一反三】已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a >0)． (1)当x >0时，求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (2)在区间(1，e)上f (x )>x 恒成立，求实数a 的范围；(3)当a ＝12时，求证：f (2)＋f (3)＋…＋f (n ＋1)>2(n ＋1－n ＋1)(n ∈N *)．【热点题型】题型四 由不等式恒成立求参数范围 例4、设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx .(1)当a ＝b ＝12时，求函数f (x )的最大值；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；【提分秘籍】利用不等式恒成立求参数范围的方法(1)根据不等式分离参数．(2)利用分离参数后的不等式构造新函数F (x )． (3)判断F (x )的单调性及求其最值．(4)根据参数m ≥F (x )max 或m ≥F (x )min 求参数范围． 【热点题型】题型五 由不等式存在成立求参数范围例5、已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m >0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围．【提分秘籍】1．对于任意x 1∈D 1存在x 2∈D 2使得g (x 1)≥f (x 2)成立其解决方法是： (1)求出g (x )在D 1的最大值． (2)求出f (x )在D 2的最小值． (3)转化g (x )大≥f (x )小，求出参数范围． 2．若存在成立的不等式中参数可得如M ≥F (x )，则只需求出F (x )的最小值可解决问题． 【举一反三】已知函数f (x )＝a2x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－x －1.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M ，求满足该不等式的最大整数M ； (2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．【高考风向标】1．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．【解析】解：(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e－2<a<1.2．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．3．（2014·北京卷）已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx<b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立． 所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 4．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .5．（2014·湖北卷）π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 【解析】解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π. 6．（2014·湖南卷）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2x x＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.7．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 8．（2014·辽宁卷）当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]【答案】C 【解析】当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.9．（2014·全国卷）函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据 (i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．10．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)11．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.12．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．13．（2014·山东卷）设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 14．（2014·陕西卷）设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．下面用数学归纳法证明．故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．结论得证．15．（2014·天津卷）设f (x )＝x －a e x (a ∈R)，x ∈R.已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求a 的取值范围；(2)证明：x 2x 1随着a 的减小而增大；(3)证明：x 1＋x 2随着a 的减小而增大．这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝⎛⎭⎫2a －e 2a ＋⎝⎛⎭⎫ln 2a －e 2a <0. 故a 的取值范围是(0，e －1)．16．（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围．所以由(1)知，(i)当a≤－1时，h(x)在(－1，1)上是增函数，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－3a＋b，最小值是h(－1)＝－4－3a＋b，则－4－3a＋b≥－2且4－3a＋b≤2，矛盾．17．（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0.从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．18．（2013·安徽卷）设函数f n (x)＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.19．（2013·安徽卷）设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．20．（2013·安徽卷）若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3 B．4C．5 D．621．（2013·福建卷）已知函数f(x)＝x －aln x(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．22．（2013·湖北卷）设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值； (2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1；(3)设x ∈R ，记[x]为不小于x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，－32＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7)23．（2013·湖北卷）已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－12【解析】D 【解析】f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝1x ，故曲线y ＝ln x上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a的取值范围是0，12.因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.24．（2013·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a ， f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝⎛⎭⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a>12.25．（2013·北京卷）设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 【解析】解：(1)设f(x)＝ln x x ，则f′(x)＝1－ln x x 2.所以f′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于 g(x)>0(x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且26．（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝(1＋x)e －2x，g(x)＝ax ＋x 32＋1＋2xcos x ．当x ∈[0，1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11＋x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．从而当x ∈(0，1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2.从而a ＋1＋G(x)≤a ＋3，所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立． 下面证明，当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立． f(x)－g(x)≤11＋x －1－ax －x 32－2xcos x＝－x 1＋x －ax －x 32－2xcos x＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x22＋2cos x .记I(x)＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G(x)，则I′(x)＝－1（1＋x ）2＋G′(x)．当x ∈(0，1)时，I′(x)＜0.故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0，1)，使得I(x 0)＞0，此时f(x 0)＜g(x 0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．下面证明，当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为27．（2013·辽宁卷）设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值28．（2013·全国卷）已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x （1＋λx ）1＋x.(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，证明：a 2n －a n ＋14n＞ln 2.29．（2013·全国卷）若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)30．（2013·山东卷）设函数f(x)＝x e 2x＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R)． (1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e－2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1； 当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.31．（2013·陕西卷）已知函数f(x)＝e x ，x ∈R.(1)若直线y ＝kx ＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x>0，讨论曲线y ＝f(x)与曲线y ＝mx 2(m>0)公共点的个数；(3)设a<b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由．综上所述，x>0时，若0<m<e24，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；若m＝e24，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；若m>e24，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a)e b －a ＋(b －a)－2e b －a ＋2>0，∴e b ＋e a 2－e b －e ab －a>0， 因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a. 32．（2013·四川卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f (x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．33．（2013·四川卷）设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sinx 上存在(x 0，y 0)使得f(f(y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[e －1－1，1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]【答案】A 【解析】因为y 0＝sin x 0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x ＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，故a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，e x ＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．34．（2013·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－535．（2013·天津卷）已知函数f(x)＝x 2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s ，使t ＝f(s)；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g(t)．证明：当t>e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12. (2)证明：当0<x≤1时，f(x)≤0，设t>0，令h(x)＝f(x)－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(e t )＝e 2t ln e t －t ＝t(e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f(s)成立．36．（2013·天津卷）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A ，若－12，12A ，则实数a 的取值范围是( ) A.1－52，0B.1－32，0C.1－52，0∪0，1＋32D ．－∞，1－52在x<0时，f(x)＝－ax 2＋x ，f(x ＋a)＝－a(x ＋a)2＋x ＋a ，令f(x)＝f(x ＋a)，则x ＝1－a 22a ，令1－a 22a<12，可得a 2＋a －1<0，故1－52<a<0. 37．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.38．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．【答案】－49 【解析】由已知，a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103d ＝23，a 1＝－3，∴nS n ＝n 3－10n 23，易得n ＝6或n ＝7时，nS n 出现最小值．当n ＝6时，nS n ＝－48；n ＝7时，nS n ＝－49.故nS n 的最小值为－49.39．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x)的极值点，则f′(x 0)＝040．（2013·浙江卷）已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极大值。