中考专题--翻折专题3(含详细解析)

翻折练习3
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG 的周长是．
2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A 落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②，若AF ＝，则AD＝，AB＝．
3．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF 交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是．
4．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B 的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．
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5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D ＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE 翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE 长为．
6．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE交BC于点F，且CF＝，把△ADE沿DE翻折得到△A′DE，边A′D交EF、AC分别于点G、H，则△A′FG的面积为．
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8．如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为底边作等腰△DCB，DC＝DB，CD与AB交于E，将△DCB沿DC折叠，点B落到点F处，连接FD刚好经过点A，连接FB，分别交AC于G，交CD于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB是等腰直角三角形；③F A＝FG；④S△ABC+S△ADE＝S△DCB；⑤BH ＝CE +CG ．其中正确的结论有．（填写所有正确的序号）．
9．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝6，AB＝6．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF面积的最小值为．
10．在边长为的正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接AE，过点D作DM⊥AE于点M，连接MC．把△DMC沿DM翻折，点C的对应点为C′，DC′交AE于点P，连接AC'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为．
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11．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG 的周长为．
12．如图，一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别在边AD 、BC上，将纸片ABCD折叠，折痕为EF，使点C落在边AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围是≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF＝．以上结论中，正确的是．（填序号）．
13．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH＝．
14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为CD、AB的三等分点，现将矩形ABCD对折，使顶点B恰落在MN上的点P处，延长EP交AD边于F．若AB＝2，则折痕AE的长为．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，点P在对角线AC上，直线l过点P，且与AC垂直交AD边于点E．
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（1）如图1，若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心O重合，求BC的长；
（2）如图2，若直线l与AB相交于点F且AP ＝AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S，
①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②探索：是否存在这样的x，使得以A为圆心，以x ﹣长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x的值若
不存在，请说明理由．
16．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；
再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．
（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．
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17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠EDB ＝∠C，交AB于F，BE⊥DE于E，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．
小白的想法是，将△BDE以直线DE为对称轴翻折，再通过证明△GBH≌△FDH得到结论，请按照小白的想法完成此题解答．
证明：延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．
【解决问题】△ABC中，∠C＝2∠B，点E是线段BC的延长线上一点，CE＝kBC，AD平分∠BAC交BC于点D，EF⊥AD于F，交AC于G ，求的值．
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18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B1DE．
（1）当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；
（2）当DB1⊥AC时，求△DEB1和△ABC重叠部分的面积．
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19．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
[感知]如图①，当点H与点C重合时，可得FG＝FD．
[探究]如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
[应用]在图②中，当AB＝5，BE＝3时，利用探究的结论，求FG的长．
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20．如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD ＝，AB ＝；如图2，若将△F AB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．
（1）求证：四边形ADCB是矩形；
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（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．
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21．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB ＝+1，AD ＝．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE 的长为；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
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22．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②．
（1）求证：EG＝CH；
（2）已知AF＝2，求AD和AB的长．
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23．（一）实践与操作
第一步：取一张正方形纸片ABCD，按图1对折，得折痕EF，摊开展平；
第二步：将B点折到EF上B′，如图2．
（二）解决问题
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（1）如图3，连接BB′，试判定△ABB′的形状，并证明你的结论；
（2）如图4，连接AC，交BB′于P，作PQ⊥AB于Q，若AB＝2，求PQ．
24．如图，在△ABD中，AB＝AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．
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（1）依题意补全图形；
（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；
（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．
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25．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F两点分别在边AB，BC上运动，△BEF沿EF折叠后为△GEF，（1）若BF＝a，则线段AG的最小值为．（用含a的代数式表示）
（2）问：在E、F运动过程中，取a＝时，AG有最小值，值为．
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翻折练习3
参考答案与试题解析
一．填空题（共15小题）
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG 的周长是．
【分析】连接CD，DG，作DM⊥AC于M，DN⊥EF于N．只要证明CG＝GF，即可推出△ECG的周长＝EG+CG+EC ＝EG+FG+EC＝EF+EC＝BE+EC＝BC；
【解答】解：连接CD，DG，作DM⊥AC于M，DN⊥EF于N．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，
∴CD＝BD＝AD，∠DCA＝∠B＝45°
由翻折的性质可知：DB＝DF，BE＝EF，∠B＝∠F＝45°，
∴∠F＝∠DCM，
∵DF＝DC，∠DNF＝∠DMC，
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∴△DNF≌△DMC（AAS），
∴CM＝FN，DM＝DN，
∵DG＝DG，∠DMG＝∠DNG＝90°，
∴Rt△DGN≌Rt△DGM（HL），
∴GM＝GN，
∴GF＝CG，
∵△ECG的周长＝EG+CG+EC＝EG+FG+EC＝EF+EC＝BE+EC＝BC，
在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝CA，
∴BC ＝，
∴△GCE 的周长为，
（方法二：连接CF，利用等角对等边可证CG＝FG，可以证明△GCE的周长＝BC的长）
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A 落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②，若AF ＝，则AD ＝+2，AB＝2+2．
【分析】由折叠的性质可知∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A ＝90°，AF＝，那么DG＝，利用勾股定理求出
DF＝2，于是可得AD＝AF+DF＝+2；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到AF＝BE，于是AB＝AE+BE＝
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+2+＝2+2．
【解答】解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF ＝，
∴DG ＝，DF＝2，
∴AD＝AF+DF ＝+2；
由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，
∴∠GEF+∠HEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BEC＝∠AFE，
在△AEF与△BCE中，
，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，
∴AB＝AE+BE ＝+2+＝2+2．
故答案为：+2；2+2．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．
3．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF 交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ 的周长最小值是2+2．
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【分析】如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ＝PN，PB＝PG，推出PQ+PG＝PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题．
【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．
由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，HG＝CD＝4，
∵QH＝QG，
∴QG＝2，
在Rt△BCN中，BN ＝＝2，
∵∠CBG＝90°，PC＝PG，
∴PB＝PG＝PC，
∴PQ+PG＝PN+PB≥BN＝2，
∴PQ+PG的最小值为2，
∴△GPQ的周长的最小值为2+2，
故答案为2+2．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会
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添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B 的对应点B’始终落在边CD上，则A、E 两点之间的最大距离为2﹣．
【分析】如图，作AH⊥CD于H．由B，B′关于EF对称，推出BE＝EB′，当BE的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝60°，
∵AD＝AB ＝2，
∴AH＝AD•sin60°＝，
∵B，B′关于EF对称，
∴BE＝EB′，
当BE的值最小时，AE的值最大，
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根据垂线段最短可知，当EB时，BE的值最小，
∴AE的最大值＝2﹣，
故答案为2﹣．
【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D ＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE 翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE 长为．
【分析】如图，作AH⊥CD于H，交BC 的延长线于G ，连接AC′．首先证明EA平分∠BAG，推出＝，想办法求出AG，BG，EG，CG即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥CD 于H，交BC的延长线于G，连接AC′．
由题意：AD＝AD′，∠D＝∠D′，∠AFD′＝∠AHD＝90°，
∴△AFD′≌△AHD（AAS），
∴∠F AD′＝∠HAD，
∵∠EAD′＝∠EAD，
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∴∠EAB＝∠EAG，
∴＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）
∵AB∥CD，AH⊥CD，
∴AH⊥AB，
∴∠BAG＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴tan B＝tan D ＝＝，
∴＝，
∴AG ＝，
∴BG ＝＝＝，
∴BE：EG＝AB：AG＝4：3，
∴EG ＝BG ＝，
在Rt△ADH中，∵tan D ＝＝，AD＝5，
∴AH＝3，CH＝4，
∴CH＝1，
∵CG∥AD，
∴＝，
∴CG ＝，
∴EC＝EG﹣CG ＝﹣＝．
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故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
6．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB ＝，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x 的取值范围是≤x ≤．．
【分析】当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．求出EF的长；
当点P落在DC上时，求出EF的长即可解决问题；
【解答】解：当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAC＝∠BCD＝90°，DC∥AB，AB＝CD ＝，AD＝BC＝5，
∵DE＝2，
∴EC＝，
∵∠CEB＝∠PBM，
∴tan∠CEB＝tan∠PBM，
∴＝＝，设PM＝3k，则BM＝2k，
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∵四边形AMPN是矩形，
∴PM＝AN＝3k，PN＝AM ＝﹣2k，
在Rt△PDN中，∵PD＝AD＝5，DN＝5﹣3k，PN ＝﹣2k，∴25＝（5﹣3k）2+（﹣2k）2，
整理得：117k2﹣462k+256＝0，
解得k ＝或（舍弃）
∴PM＝2，BM ＝，AM＝4，设AG＝GP＝m，
在Rt△PGM中，m2＝（4﹣m）2+22，
解得m ＝，
∴AH＝AG ＝，
∵EH ＝，
∵＝＝tan∠CEB ＝，
∴HF ＝，
∴EF ＝，
当点P落在DC上时，如图，
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∵AD＝DP＝5，DE＝2，
∴EP＝3，
∵tan∠CEB ＝＝，
∴PF ＝，
∴EF ＝＝，
∴≤x ≤．
故答案为≤x ≤．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE交BC于点F，且CF ＝，把△ADE沿DE翻折得到△A′DE，边A′D交EF、AC分别于点G、H，则△A′FG 的面积为．
【分析】作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，连接DF．利用全等三角形的性质求出CM，CN，DM，FN，再证明∠DEM＝∠A′FG，推出tan ∠DEM ＝tan∠A′FG，可得＝，由此构建方程求出A′G即可解决问题．
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【解答】解：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECN＝∠ECM，
∵∠EMC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，
∴△ECN≌△ECM（AAS），
∴EM＝EN，CN＝CM，
∵∠ENC＝∠EMC＝∠MCN＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠ENF＝∠EMD＝90°，
∴△ENF≌△EMD（ASA），
∴FN＝DM，DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝45°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠EDA′+∠A′DF＝45°，
∵∠ADE＝∠A′DE，
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∴∠A′DF＝∠CDF，
∵DA＝DA′＝DC，DF＝DF，
∴△A′DF≌CDF（SAS），
∴∠DA′F＝∠DCF＝90°，CF＝F A ′＝
∵∠GED＝∠GA′F＝90°，∠EGD＝∠A′GF，
∴∠A′FG＝∠A′DE＝∠ADE＝∠DEM，
∵CF+CD＝CN﹣NF+CM+DM＝2CM ＝+4＝，
∴CM ＝，
∴FN＝DM＝4﹣＝，
∵∠DEM＝∠A′FG，
∴tan∠DEM＝tan∠A′FG，
∴＝，
∴＝，
∴A′G ＝，
∴S△GF A′＝×A′G×A′F ＝××＝．
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
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8．如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为底边作等腰△DCB，DC＝DB，CD与AB交于E，将△DCB沿DC折叠，点B落到点F处，连接FD刚好经过点A，连接FB，分别交AC于G，交CD于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB是等腰直角三角形；③F A＝FG；④S△ABC+S△ADE＝S△DCB；⑤BH ＝CE +CG．其中正确的结论有②③④．（填写所有正确的序号）．
【分析】由翻折可知：CA＝CB＝CF，推出点F，A ，B在以C为圆心CA为半径的圆上推出∠AFB＝∠ACB＝45°，再利用等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．
【解答】解：由翻折可知：CA＝CB＝CF，
∴点F，A，B 在以C为圆心CA为半径的圆上，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，
∵DF＝DB，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴∠BDF＝90°，故②正确，
∴∠BDH＝∠FDH＝45°，
∵DC＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB＝67.5°，
∴∠CBG＝67.5°﹣45°＝22.5°，故①错误，
易证∠F AG＝∠FGA＝67.5°，
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∴F A＝FG，故③正确，
易证∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DA＝DE，
∵DC＝DB，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴S△ADC＝S△DEB，
∴S△ADC+S△ECB＝S△DEB+S△ECB，
∴S△ACB+S△ADE＝S△DBC，故④正确，
作AT⊥CD于T，易证△ATC≌△CHB，△ATE≌△CHG，
∴BH＝CT，CG＝AE，
∵CT＝CE+ET，
显然ET ≠CG，故⑤错误，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查分钟，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中点压轴题．．
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9．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝6，AB＝6．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF 面积的最小值为．
【分析】作CH⊥AB于H．首先证明△ECF是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD的最小值为3，延长即可解决问题；
【解答】解：作CH⊥AB于H．
∵CA＝CB，CH ⊥AB，
∴AH＝BH＝3，
∴cos∠CAH＝＝，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴∠ACB＝120°，CH＝AC＝3，
由翻折不变性可知：CD＝CE＝CF，∠ACE＝∠ACD，∠BCD＝∠BCF，
∴∠ECF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴△ECF是顶角为120°的等腰三角形，
∴当CE的长最短时，△ECF的面积最小，
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根据垂线段最短可知，当CD与CH重合时，EC＝CD＝CH＝3，
∴S△ECF ＝××＝，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．在边长为的正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接AE，过点D作DM⊥AE于点M，连接MC．把△DMC沿DM翻折，点C的对应点为C′，DC′交AE于点P，连接AC'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为++．
【分析】如图，连接CC′，延长DM交CC′于K，作C′E⊥AB于E交CD于F．利用三角形的面积公式求出C′E，C′F，再利用勾股定理求出DF，CF，CC′，利用相似三角形的性质求出DE，再利用平行线分线段成比例定理求出EM，DM，MK，求出PM，PC′，MC′即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CC′，延长DM 交CC′于K，作C′E⊥AB于E交CD于F．
∵S△ABC′＝1，
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∴××EC′＝1，
∴EC ′＝，
∵四边形AFCB是矩形，
∴EF＝BC ＝，
∴FC ′＝﹣＝，
在Rt△DFC′中，DF ＝＝＝，
∴CF ＝﹣＝，
∴CC ′＝＝，
由翻折的性质可知：DK⊥CC′，DK⊥AE，PM＝ME，DP＝DE，CK＝KC ′＝，∴AE∥CC′，
∴∠AED＝∠FCC′，
∵∠ADE＝∠CFC′＝90°，
∴△CFC′∽△DEA，
∴＝，
∴＝，
∴DE ＝，
∵EM∥CK，
∴＝，
第34页（共63页）
∴＝，
∴EM ＝，
∴PM＝ME ＝，
∵DP＝DE ＝，
∴PC ′＝﹣＝，
∴DM ＝＝＝，
∵＝＝，
∴MK ＝，
∴MC ′＝＝＝，
∴△PMC′的周长＝PM+PC′+MC ′＝++，
故答案为++．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG 的周长为2+3﹣．
第35页（共63页）
【分析】如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．首先证明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性质求出FK，再证明∠ABK＝30°，吧问题特殊化后即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABH＝90°，∠F+∠DAE＝90°，
∴∠ABK＝∠DAE，
∴△ABK≌△ADE（ASA），
∴AK＝DE＝2，
∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，
∴△AKF∽△BKA，
∴＝，设KF＝x，
则有＝，
整理得x2+3x﹣4＝0，
解得x＝1或﹣4（舍弃），
∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，
第36页（共63页）
∵sin∠ABK ＝＝＝，
∴∠ABK＝30°，
∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，
∴MA＝MB，
在Rt△ABH中，∵AB＝2，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，
∴BH ＝AB ＝，AH ＝BH＝3，
∵AD＝AB＝AG＝2，
∴HG＝2﹣3，
∴BG ＝＝＝3﹣，
∴△BMG的周长＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2+3﹣．
故答案为2+3﹣．
【点评】本题考查正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．如图，一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD折叠，折痕为EF，使点C落在边AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF 的取值范围是≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF ＝．以上结论中，正确的是
①③④．（填序号）．
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①；
第37页（共63页）
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②；
③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝6﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G 与点D重合时，CF＝CD，求出BF，然后写出BF的取值范围，判断出③；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④．
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故②错误；
③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝6﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即32+x2＝（6﹣x）2，
解得x ＝，
点G与点D重合时，CF＝CD＝3，
∴BF＝3，
∴线段BF 的取值范围为≤BF≤3，
第38页（共63页）
故③正确；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（6﹣）﹣＝，
由勾股定理得，
EF ＝，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①③④．
故答案为：①③④
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
13．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH ＝．
【分析】连结GE，根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE＝AE＝FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．根据全等三角形的性质可得DG＝FG＝16，可设AB＝BF＝DC＝x，在Rt△BCG 中，根据勾股定理可求BF的长，再在Rt△BFH中，根据勾股定理可求FH＝BH的长．
第39页（共63页）
【解答】解：连结GE．
∵E是边AD的中点，
∴DE＝AE＝FE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠BFE＝90°，
∴∠D＝∠EFG＝90°．
在Rt△EFG与Rt△EDG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）；
∴DG＝FG＝16，
设DC＝x，则CG＝16﹣x，BG＝x+16
在Rt△BCG中，
BG2＝BC2+CG2，
即（x+16）2＝（16﹣x）2+242，
解得x＝9，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠AEB＝∠FEB，
∴∠CBE＝∠FEB，
∴BH＝EH，
设BH＝EH＝y，则FH＝12﹣y，
第40页（共63页）
在Rt△BFH中，
BH2＝BF2+FH2，
即y2＝92+（12﹣y）2，
解得y ＝，
∴12﹣y＝12﹣＝．
故答案为：．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构造全等三角形．
14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为CD、AB的三等分点，现将矩形ABCD对折，使顶点B恰落在MN上的点P处，延长EP交AD边于F．若AB＝2，则折痕AE 的长为2．
【分析】过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，设BE＝x，根据翻折变换的性质用x表示出PE，证明△EGP∽△PHA，根据相似三角形的性质求出x，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，
设BE＝x，
第41页（共63页）
由翻折变换的性质可知，P A＝AB＝2，PE＝BE＝x，
∵N为AB的三等分点，AB＝2，
∴PH＝AN ＝，
∴AH ＝＝，
∴GB ＝，GE ＝﹣x，
∵∠EP A＝∠B＝90°，∠EGP＝∠PHA＝90°，
∴△EGP∽△PHA，
∴＝，即，
解得，x＝2，即BE＝2，
∴AE ＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，点P在对角线AC上，直线l过点P，且与AC垂直交AD边于点E．（1）如图1，若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心O重合，求BC的长；
（2）如图2，若直线l与AB相交于点F且AP ＝AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S，
第42页（共63页）
①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②探索：是否存在这样的x，使得以A为圆心，以x ﹣长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x的值若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及轴对称的性质得到AC＝2AB，进而利用勾股定理求解即可．
（2）①五边形的面积＝矩形的面积﹣S△AEF，利用相似可求得AE，AF的长度．
②圆与直线l相切，半径x ﹣应等于AP长．
【解答】解：（1）∵O是矩形ABCD的对称中心，
∴OB＝AO ＝AC（1分）
又∵AB＝OB，AB＝3，
AC＝6，（1分）
在Rt△ABC中BC2＝AC2﹣AB2
∴．（2分）
（2）①在Rt△ADC中
∵AD＝x，AB＝3，
∴．（1分）
第43页（共63页）
∵AP ＝（1分）
易证△APF∽△ABC ，＝，
，（1分）
同理可得，（1分）
∴＝，
∴，
即：（）．
②若圆A与直线l相切，
则，（1分）
15x2﹣24x＝0，x1＝0（舍去），．（1分）
∵，
∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．（1分）
【点评】本题考查了翻折变换的知识，同时涉及了矩形和切线的性质，注意掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆与直线相切，半径等于圆心到直线的距离．
二．解答题（共10小题）
16．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；
再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．
（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．
第44页（共63页）
【分析】（1）如图1中，在RT△ABC中，由AD′＝2AB推出∠AD′B＝30°，再证明四边形AED′H是菱形即可解决问题．
（2）如图2中，先证明△DD′G≌△DD′C得出DG＝DC＝AB＝AG，发现△AGD、△GED′、△DEC都是等腰直角三角形，再证明△ABE≌△ECF即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形AED′H是平行四边形，
∴AG＝GD，
∵EH⊥AD，
∴四边形AED′H是菱形，
∴∠AD′H＝∠AD′B，
∵△AEG是由△AEB翻折得到，
∴AB＝AG＝D′G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠AD′B＝30°，
∴∠AD′H＝30°．
（2）结论：△AEF是等腰直角三角形．
理由：如图2中，连接DD′．
∵四边形ABCD是矩形，
第45页（共63页）
∴AD∥BC，∠ADD′＝∠DD′C，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵AD＝AD′，
∴∠ADD′＝∠AD′D，
∴∠DD′A＝∠DD′C，
在△DD′G和△DD′C中，
，
∴△DD′G≌△DD′C，
∴DG＝DC＝AB＝AG，
∵∠AGD＝90°，
∴∠GAD＝∠GDA＝∠AD′E＝∠DED′＝45°，
∴EG＝GD′＝BE＝CD′，
∵∠AD′B+∠FD′C＝90°，
∴∠FD′C＝′D′FC＝45°，
∴CD′＝CF＝BE，
∵∠CED＝∠CDE＝45°，
∴EC＝CD＝AB，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF，
∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，
第46页（共63页）
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠EDB ＝∠C，交AB于F，BE⊥DE于E，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．
小白的想法是，将△BDE以直线DE为对称轴翻折，再通过证明△GBH≌△FDH得到结论，请按照小白的想法完成此题解答．
证明：延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．
【解决问题】△ABC中，∠C＝2∠B，点E是线段BC的延长线上一点，CE＝kBC，AD平分∠BAC交BC于点D，EF⊥AD于F，交AC于G ，求的值．
第47页（共63页）
【分析】【探究】结论：DF＝2BE．如图1中，延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．只要证明△BHG≌△DHF即可；
【解决问题】延长AC到H，使得AB＝AH．只要证明CD＝CH，EF∥BH，即可解决问题；
【解答】解：【探究】：结论：DF＝2BE．
理由：如图1中，延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．
∵BE＝EG，DE⊥BG，
∴DB＝DG，∠BDE＝∠GDE，
∵∠EDB ＝∠C，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC，
∴∠BHD＝∠A＝90°，
∵∠BFE＝∠DFH，∠BEF＝∠DHF＝90°，
∴∠GBH＝∠FDH，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
第48页（共63页）
∵∠BHG＝∠DHF＝90°，
∴△BHG≌△DHF，
∴DF＝BG＝2BE．
【解决问题】：延长AC到H，使得AB＝AH．
∵∠DAB＝∠DAH，AD＝AD，AB＝AH，
∴△DAB≌△DAH，
∴∠ABD＝∠AHD，DB＝DH，
∵∠ACB＝2∠ABD，∠ACB＝∠AHD+∠CDH，
∴∠CDH＝∠CHD，
∴CD＝CH，
∵AB＝AH，DB＝DH，
∴AD垂直平分BH，
∵EF⊥AD，
∴EF∥BH，
∴△ECG∽△BCH，
∴＝＝，
第49页（共63页）
∴＝．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B1DE．
（1）当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；
（2）当DB1⊥AC时，求△DEB1和△ABC重叠部分的面积．
【分析】（1）分两种情形画出图形即可解决问题；
（2）当DB1⊥AC时（如图3），设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，根据S四边形PQED ＝﹣；
【解答】解（1）如图1，若四边形为ACB1D的平行四边形，则有，DB1∥AC，且DB1＝AC＝3，
第50页（共63页）。