新人教A版高中数学全套讲义：解三角形

正弦定理和余弦定理
1．1.1正弦定理
[新知初探] 1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C.
[点睛]正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形()
(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立()
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()
解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．
(2)正确．由正弦定理知a
sin A＝
b
sin B，即b sin A＝a sin B.
(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．
答案：(1)√(2)√(3)×
2．在△ABC 中，下列式子与sin A
a
的值相等的是( ) A.b
c B.sin B sin A C.sin C c
D.c sin C
解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C
， 所以sin A a ＝sin C c .
3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 3 C.1033
D ．5 6 解析：选B 由正弦定理得，b ＝
a sin B
sin A
＝10×32
12
＝10 3.
4．在△ABC 中，A ＝π
6，b ＝2，以下错误的是( )
A ．若a ＝1，则c 有一解
B ．若a ＝3，则c 有两解
C ．若a ＝4
5
，则c 无解
D ．若a ＝3，则c 有两解
解析：选D a ＝2 sin π
6＝1时，c 有一解；当a <1时，c 无解；当1<a <2时，c 有两个
解；a >2时，c 有一解．故选D.
已知两角及一边解三角形
[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°
sin 45°＝46，
由
a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°
＝8×
2＋6
4
22
＝4(3＋1)．
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[活学活用]
在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3
D.
32
解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323
2×2
2＝
23，故选B.
已知两边及其中一边的对角解三角形
[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝3
2.
∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝
b sin C
sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C
sin B ＝2sin 15°sin 45°
＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－2
2
.
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
[活学活用]
在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵
a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22
. ∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝
c sin B
sin C ＝6·sin 75°sin 60°
＝3＋1.
三角形形状的判断 [典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π
2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭
⎫π
2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b
2R ，
∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]
∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π
2－B ， ∴a sin A ＝b sin B.
由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．
利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径
(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝
a 2R ，sin B ＝
b 2R ，sin C ＝c
2R
. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．
[活学活用]
在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin A cos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．
层级一 学业水平达标
1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37
D.57
解析：选A 根据正弦定理得
sin A sin B ＝a b ＝5
3
. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
解析：选B 由题意有
a sin A ＝
b ＝b sin B
，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．
3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C
c ，则C 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．90°
解析：选B 由正弦定理得，
sin A a ＝sin C c ＝cos C
c
， 则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.
4．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π
4，b ＝2，则a 等于( )
A ．1
B ．2 C. 3
D ．2 3
解析：选A 由正弦定理得
a
sin π6＝2
sin π4
， ∴a ＝1，故选A.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.
33
C.6
3
D ．－
63
解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝
33
. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．
解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．
答案：④
7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b
2R ，sin C
＝c
2R
， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2
，
即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形
8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A
＝________. 解析：由正弦定理及已知得1sin A ＝AC sin 2A ，∴AC cos A
＝2. 答案：2
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝
c sin A sin C ＝1×sin 45°
sin 75°
＝3－1，
所以最小边长为3－1.
10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°
＝
22×
22
12＝4.
∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝
a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°
1
2
＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )
A ．120°
B ．105°
C ．90°
D ．75°
解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3
⎝⎛⎭
⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，
∴C ＝120°.故选A.
2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )
A. 2 B ．2 C ．4
D ．2 2
解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，
∴⎩
⎨⎧
a ＋
b ＋
c ＝4(2＋1)，
b ＋
c ＝2a ，解得a ＝4.故选C.
3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )
A.833
B.2393
C.2633
D ．2 3
解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝2R ＝
a
sin A ＝13sin 60°＝2393
. 4．在△ABC 中，若A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，最大边为最小边的2倍，则三个角A ∶B ∶C ＝( )
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶4
C ．3∶4∶5
D ．4∶5∶6
解析：选A 由A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，可得B ＝π
3，又最大边为最小
边的2倍，所以c ＝2a ，所以sin C ＝2sin A ，即sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝2sin A ⇒tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，从而C ＝π
2
，则三个角A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故选A.
5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝b sin 45°，
所以
32b ＝2
2
a ，① 又因为a ＋
b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)
6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即
sin C ＝AB ·sin A
BC ＝
5sin 120°7＝53
14
. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝
11
14
. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝33
14
. 答案：
33
14
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a sin A ＝c
3cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)如果CA ·
CB ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由⎩⎨⎧
a sin A ＝c sin C
，a
sin A ＝
c
3cos C
，得sin C ＝3cos C ，
故tan C ＝3，又C ∈(0，π)，所以 C ＝π
3
.
(2)由CA ·
CB ＝|CA ||CB |cos C ＝1
2ba ＝4得ab ＝8， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3
2
＝2 3.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0.
(1)求B ；
(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．
解：(1)由正弦定理知：sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0， ∵sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C 代入上式得： 3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C >0，∴3sin B －cos B －1＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
(2)由(1)得：2R ＝
b
sin B
＝2，a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝23sin ⎝⎛⎭
⎫C ＋π6. ∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π
6∈(3，23]， ∴a ＋c 的取值范围为(3，23]．
1．1.2 余弦定理
(1)余弦定理的内容是什么？
预习课本P5～6，思考并完成以下问题
[新知初探]
余弦定理
[点睛]余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()
解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a2
2bc<0.
因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．
(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( ) A.39 B ．8 3 C ．10 2
D ．7 3
解析：选D 由余弦定理得：
c ＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150° ＝147 ＝7 3.
3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°
D ．30° 解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.
4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.1
4 B.34 C.24
D.
23
解析：选B 由
b 2＝ac
且c ＝2a 得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.故选 B.
已知两边与一角解三角形
[典例] (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π
6，则a ＝________cm ；
(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9
10
，则BC ＝________. [解析](1)由余弦定理得： a ＝
602＋(603)2－2×60×603×cos π
6
＝4×602－3×602＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×9
10，
所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5.
[答案] (1)60 (2)4或5
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．
[活学活用]
在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得，
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.
又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，
∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.
已知三角形的三边解三角形
[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)
＝2
2，
∴A ＝45°.同理可求B ＝30°，故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝2
2，∴A ＝45°.
由正弦定理a sin A ＝b sin B 知23sin 45°＝6
sin B ，
得sin B ＝
6·sin 45°23
＝1
2. 由a >b 知A >B ，∴B ＝30°.
故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°.
(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
[活学活用]
已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，
由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12，
∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.
利用余弦定理判断三角形形状 [典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为
b 2(1－cos 2C )＋
c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2
⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭
⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 2
2ab ，
∴b 2＋c 2＝
[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 4
4a
2＝a 2. ∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]
由正弦定理，已知条件可化为
sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C .
又sin B sin C ≠0，
∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． (2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断． [活学活用]
在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．
解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已
知条件得
a ·
b 2＋
c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 2
2ab
＝0，
通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.
正、余弦定理的综合应用
题点一：利用正、余弦定理解三角形
1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin
B.
(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝
2
2
，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6
4
. 故由正弦定理得a ＝b ·sin A
sin B
＝1＋ 3.
由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin C
sin B ＝2×sin 60°sin 45°
＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)
a 2sin 2B ＋
b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .
∴原式得证．
法二：(化为边的关系式)
左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a 2R ·b 2＋c 2－a 22bc ＝ab 2Rc
(a 2
＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝
ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c
2R
＝2ab sin C ＝右边， ∴原式得证．
题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用
3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .
(1)求边长a 的值；
(2)若△ABC 的面积为S ＝3sin A ，求AB ·AC 的值． 解：(1)由正弦定理，得b ＋c ＝2a .① 又a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，② 联立①②，解得a ＝4. (2)∵S △ABC ＝3sin A ， ∴1
2bc sin A ＝3sin A ，即bc ＝6. 又∵b ＋c ＝2a ＝42， ∴由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc ＝1
3.
∴AB ·AC ＝bc cos A ＝2.
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
层级一 学业水平达标
1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2，∴A ＝60°.
2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝
13
14
，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17 D ．－18
解析：选C 由余弦定理，得
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×13
14＝9，
所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3
＝－1
7.
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2
2ab >0，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 2
2ab
>0得－cos C >0，
所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．
4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.43 B ．8－4 3 C ．1
D.23
解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝4
3
.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )
A.π6
B.π3或2π3
C.π3
D.π6或5π6
解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32
， 所以B ＝π3或B ＝2π
3
，故选 B.
6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：0
7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3，则a ＝________. 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos
2π
3
， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：1
8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝________.
解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 解得b ＝4. 答案：4
9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B
＝82－2×15－2×15×1
2＝19.
∴b ＝19.
10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角． 由余弦定理的推论，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－1
2.
又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝
3
2
. 由正弦定理，得sin C ＝c sin A
a ＝5×32
7＝
53
14
. ∴最大角A 为120°，sin C ＝
53
14
. 层级二 应试能力达标
1．在△ABC 中，有下列关系式：
①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C . 一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．不能确定
解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2
＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .
3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，则△ABC 是( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c
2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，
∴cos B ＝a
c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，
即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则
a sin (30°－C )
b －
c ＝( )
A.12
B.
32
C ．－12
D ．－
32
解析：选A 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，又b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则cos A ＝－1
2，
又0°<A <180°，则A ＝120°，有B ＝60°－C ，所以a sin (30°－C )b －c ＝sin A sin (30°－C )
sin (60°－C )－sin C
＝
34cos C －3
4 sin C 32cos C －3
2
sin C ＝1
2.故选A. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．
解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝2
2，
∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 3
6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B
sin C 的值为________．
解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，
解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.
答案：3
5
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B
＝2c －a
b .
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若cos B ＝1
4，△ABC 的周长为5，求b 的长．
解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k ，
则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，
所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A
sin B
，
即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin C
sin A ＝2.
(2)由
sin C
sin A
＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝1
4
，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×1
4＝4a 2，
所以b ＝2a .
又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.
8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC . (1)若∠DAC ＝30°，求B ；
(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有
AC sin ∠ADC ＝DC
sin ∠DAC
，
∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32
， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，
∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ，
∴sin B＝AC
BC ＝
3
3，cos B＝
6
3，AB＝6x，
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，
即(22)2＝6x2＋4x2－2×6x×2x×
6
3＝2x
2，
得x＝2.故DC＝2.
应用举例
第一课时解三角形的实际应用举例
[新知初探]
实际测量中的有关名称、术语
名称定义图示
仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l
与水平线的夹角
俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时
与水平线的夹角
方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指
定方向线是指正北或正南或正东或正西，
方向角小于90°)
错误!
方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()
(3)方位角和方向角是一样的()
解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、
距离求得．
(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．
答案：(1)×(2)×(3)×
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()
A．北偏东15°B．北偏西15°
C．北偏东10°D．北偏西10°
解析：选B如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝
45°，
而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.故选B.
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为() A．α＞βB．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.
4.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1 km，船B在
灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为
________km.
解析：由题意得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，
又AC＝1，BC＝3，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝7，∴AB＝7.
答案：7
测量高度问题
[典例]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平
面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得
塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．
由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD
sin ∠CBD .
∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin β
sin (α＋β).
在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θ
sin (α＋β)
.
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m 解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.
2.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.
解析：因为∠SAB ＝45°－30°＝15°，
∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 所以∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.
在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°
sin 30°
＝
1 000×
22
12
＝1 0002，
所以BC＝AB·sin 45°＝1 0002×
2
2＝1 000(m)．
答案：1 000
测量角度问题
[典例]如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？
[解]由题意，知AB＝5(3＋3) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得
BD
sin∠DAB
＝
AB
sin∠ADB
，
即BD＝AB sin∠DAB
sin∠ADB
＝
5(3＋3)sin 45°
sin 105°
＝5(3＋3)sin 45°
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝10 3 n mile.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得
CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×1 2
＝30 n mile，
则救援船到达D点需要的时间为30
30＝1 h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
[活学活用]
在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝103t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－
1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝6，且sin∠ABC＝AC
BC·sin∠BAC＝
2
6
·
3
2＝
2
2，
∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝
BD·sin∠CBD
CD＝10t sin 120°
103t
＝
1
2，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
测量距离问题
题点一：两点间不可通又不可视
1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两
点间的距离．
即AB＝a2＋b2－2ab cos α.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
解：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝2007 (m)．
即A，B两点间的距离为2007 m.
题点二：两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .
若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.
解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC
sin B
，
∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°
sin 60°＝206(m)．
即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 答案：20 6
题点三：两点都不可到达
3.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA
＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .
若测得CD ＝
3
2
km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．
解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝
32
. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC
sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin
30°＝
6
4
. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝
6
4
(km)．
∴A ，B 两点间的距离为6
4
km.
当A ，B 两点之间的距离不能直接测量时，求AB 的距离分为以下三类：
(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C ，使得A ，B 与C 之间的距离可直接测量，测出AC ＝b ，BC ＝a 以及∠ACB ＝γ，利用余弦定理得：
AB ＝a 2＋b 2－2ab cos γ.
(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B 同侧的点C ，测出BC ＝a 以及∠ABC 和∠ACB ，先使用内角和定理求出∠BAC ，再利用正弦定理求出AB .
(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C ，D ，测出CD ＝m ，∠ACB ，∠BCD ，∠ADC ，∠ADB ，再在△BCD 中求出BC ，在△ADC 中求出AC ，最后在△ABC 中，由余弦定理求出AB .
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )
A ．12 m
B ．8 m
C ．3 3 m
D ．4 3 m
解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，
AB sin C ＝AC
sin B
， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·
sin 120°sin 30°
＝4 3.
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )
A.176
2 n mile/h
B ．34 6 n mile/h C.1722
n mile/h
D ．34 2 n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN 中，
PM sin 45°＝MN
sin 120°
，
∴MN ＝
68×32
＝346，∴v ＝MN 4＝176
2 n mile/h.
3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )
A.a sin α·sin β
sin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin α·cos βsin (β－α) D.a cos α·sin βcos (α－β)
解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β
，又因为在Rt △ABD 中，BD ＝
x tan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a
1tan α－
1
tan β
＝
a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin β
sin (β－α)
，故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A ．20 3 m ，
403
3
m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2)m,20 3 m
D.1532 m ，2033
m
解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝
403
3
(m)． 5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A.150
7 min B.157 h
C ．21.5 min
D ．2.15 h
解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝
120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝5
14时，CD 2取得最小值，即两船间
的距离最近，所以它们的航行时间是150
7
min ，故选A.
6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得
AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：7
7．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：
如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°， 设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×2
2
＝502， 所以x ＝
DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×1
3
3
－50 2
＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，
则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝
AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝106
3(cm)．
答案：
106
3
9.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．
解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×
1
3＝102＝A 2B 2，
∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.
在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×2
2
＝200， ∴B 1B 2＝102，
∴乙船每小时航行302海里．
10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 千米，AC ＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．
解：由∠ADC ＝150°知∠ADB ＝30°，由正弦定理得
1
sin 30°＝AD sin 120°
，所以AD ＝ 3. 在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 150°，即32＝(3)2＋DC 2－2·3·DC cos 150°，即DC 2＋3·DC －6＝0，解得DC ＝
－3＋33
2
≈1.372 (千米)，∴BC ≈2.372 (千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.
层级二 应试能力达标
1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定。