第九章弹性薄板弯曲问题

∂ 2 ∂ 2 FSx = − D ∇ w, FSy = − D ∇ w ∂x ∂y
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
基本假定： 基本假定： 1、垂直于中面的线应变 由 εz
可以忽略不计。 ε z 可以忽略不计。
=0 得 ∂w εz = = 0即横向位移w仅为x, y的函数， ∂z w = w( x, y )。
2、次要应力分量 τ zx ,τ zy 和σ z 远小于其他应力分量， 远小于其他应力分量， 引起的应变可忽略不计。 引起的应变可忽略不计。 γ zx = 0 , γ yz = 0 3、中面的纵向位移可以忽略不计。即 中面的纵向位移可以忽略不计。
第九章 弹性薄板弯曲问题
引言 杆件：受纵向荷载作用： 杆件：受纵向荷载作用：轴向拉压问题 受横向荷载作用：梁的弯曲问题。 受横向荷载作用：梁的弯曲问题。 薄板：受纵向荷载作用： 薄板：受纵向荷载作用：平面应力问题 受横向荷载作用：薄板的弯曲问题。 受横向荷载作用：薄板的弯曲问题。 薄板的弯曲理论是从空间问题的基本方 程和边界条件出发，按薄板的受力特征， 程和边界条件出发，按薄板的受力特征， 提出三个假设，按位移法导出薄板弯曲 提出三个假设， 问题的基本方程和边界条件。 问题的基本方程和边界条件。
2 2 2
σ 4、用w来表示主要应力： x , σ y ,τ xy 来表示主要应力：
Ez ∂ 2 w ∂2w σx = − ( 2 +µ 2 ) 2 1 − µ ∂x ∂y Ez ∂ 2 w ∂2w σy =− ( 2 +µ 2 ) 2 1 − µ ∂y ∂x
τ xy
Ez ∂ 2 w =− 1 + µ ∂x∂y
∂2w ∂2w ∂2w ∂2w M x = − D 2 + µ 2 , M y = − D 2 + µ 2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂2w M xy = M yx = − D(1 − µ ) ∂x∂y
横向切应力 τ xz ,τ yz 只合成横向剪力