2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二年级上册学期联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二上学期联考数学试题
一、单选题
1．已知()2,1,3a =-，11,,2b λ⎛⎪=⎫
⎝⎭
，若//a b ，则实数λ等于（ ）
A ．6-
B ．32
C ．32
-
D ．6
【答案】C
【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可 【详解】因为()2,1,3a =-，11,,2b λ⎛⎪=⎫
⎝⎭
，且//a b ，
所以213112λ-==
，
解得3
2
λ=-，
故选：C
2．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，且MB xa yb zc =++，则x y z ++等于（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．0
D ．1-
【答案】D
【分析】以{}
,,a b c 为一组基底可表示出MB ，从而求得,,x y z 的值，进而得到结果. 【详解】
()
1111111111222MB MB B B D B AA DB AA AB AD AA =+=-=-=--11111
2222
AB AD AA a b c =--=--， 12
x ∴=
，1
2y =-，1z =-，1x y z ∴++=-.
故选：D.
3．已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（ ） A ．12l l ⊥
B ．12//l l
C ．1l 与2l 相交但不垂直
D ．1l 与2l 的位置关系不确定
【答案】C
【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ≠知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-， 121k k ≠-，12,l l ∴不垂直，A 错误；
若12k k =，则2
1210k k k =≥，与122k k =-矛盾，12k k ∴≠，12,l l ∴不平行，B 错误；
12,l l 不平行，也不垂直，12,l l ∴相交但不垂直，C 正确，D 错误.
故选：C.
4．已知双曲线()22
2210y x b a a b
-=>>两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C D 【答案】A
【分析】根据方程形式，结合图象，得到双曲线渐近线的斜率，再代入离心率公式求解.
【详解】因为双曲线的焦点在y 轴，且0b a >>，所以双曲线的渐近线的夹角是包含x 轴的角，则渐
近线的倾斜角为
6π，即tan 6a b π==，即223b a =，
离心率2c e a ==.
故选：A
5．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,,A B C 在抛物线上，F 为ABC 的重心，则AF BF CF ++=（ ） A ．1
2 B ．1
C ．32
D ．2
【答案】C
【分析】由抛物线方程确定焦点F 坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.
【详解】由抛物线方程知：1
,04
F ⎛⎫
⎪⎝
⎭；
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，
则()1231231113
4444
AF BF CF x x x x x x ++=+++++=+++；
F 为ABC 的重心，123134
x x x ++∴
=，则1233
4x x x ++=，
333
442
AF BF CF ∴++=+=. 故选：C.
6．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，焦距为2c ，M 是椭圆C 上
一点，l 是12F MF ∠的外角平分线，过2F 作l 的垂线，垂足为P ，则OP =（ ） A ．2a B ．b
C ．c
D ．a
【答案】D
【分析】延长2F P 交1F M 的延长线于点N ，结合图象，可知2MNF 为等腰三角形，2MF MN =，且P 为2F N 的中点，再结合椭圆定义可知12F N a =，结合中位线可得OP . 【详解】解：延长2F P 交1F M 的延长线于点N ，如图所示：
PM 平分12F MF ∠，且2MP F N ⊥，
2MNF ∴为等腰三角形，2MF MN =，且P 为2F N 的中点，
又
122MF MF a +=，
112MF MN F N a ∴+==，
P 为2F N 的中点，P 为12F F 的中点， 11
2
OP F N a ∴=
=. 故选：D.
7．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2c ．若以线段12F F 为
直径的圆与直线20ax by ac -+=有交点，则双曲线C 的离心率取值范围为（ ）
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(]1,2
D ．[)2,+∞
【答案】D
【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离d r ≤，列式求解.
【详解】以线段12F F 为直径的圆的方程是222x y c +=，与直线20ax by ac -+=有交点，则圆心到直
线的距离2d a c ==≤，则双曲线的离心率2c e a
=≥.
故选：D
8．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>外的一点作
的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆()22
:1044x y C m m
+
=<<的蒙日圆为22:7E x y +=，过圆E 上的动点M 作椭圆C 的两条切线，分别与圆E 交于P ，Q 两点，直线P Q 与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12
B ．M 到C
1
C ．若动点N 在C 上，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，则1234
k k =-
D ．MPQ 面积的最大值为7
2
【答案】D
【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断； B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；
C.根据PQ 为圆的直径，则点,A B 关于原点对称，利用点在椭圆上，证明123
4
k k =-；
D.利用圆的几何性质，确定MPQ 面积的最大值.
【详解】A.因为椭圆()22
:1044x y C m m
+
=<<的蒙日圆为22:7E x y +=，根据蒙日圆的定义，47m +=，得3m =，所以椭圆22
:143
x y C +=，24a =，23b =，则21c =，所以椭圆的离心率12c e a ==，
故A 正确；
B.点M 是圆22:7E x y +=上的动点，椭圆的右焦点()10F ，
，则MF
1，故B 正确； C.根据蒙日圆的定义可知MP MQ ⊥，则PQ 为圆E 的直径,PQ 与椭圆交于两点,A B ，点,A B 关于原
点对称，设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,N x y ，
()2
22201010101222201010
1
013344
AN BN x x y y y y y y
k k x x x x x x
x x -
--+-⋅=
⋅===--+--，故C 正确； D.因为PQ
为圆的直径，PQ =，当点M 到直线PQ
的距离为r =PQM 的面积最大，此
时最大值是1
72⨯，故D 错误.
故选：D
二、多选题
9．已知空间向量()1,2,2a =-，()0,2,0b =，,a b 构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ） A ．向量()2,0,1c =-与α垂直 B ．向量()1,0,2d =与α平行
C ．若a 与b 分别是1l 与2l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成的角的余弦值为2
3
-
D ．向量b 在向量a 上的投影向量为()0,2,0- 【答案】AB
【分析】根据向量垂直的坐标表示可证得a c ⊥，b c ⊥，由此可知A 正确；根据d a b =+可知B 正确；根据两条直线所成角的向量求法可知C 错误；根据投影向量的求法可直接得到D 错误. 【详解】对于A ，2020a c ⋅=-++=，0000b c ⋅=++=，a c ∴⊥，b c ⊥， 又a 与b 不平行，c α∴⊥，A 正确；
对于B ，d a b =+，,,a b d ∴共面，则d 与α平行，B 正确；
对于C ，42cos ,323
a b a b a b
⋅<>=
=
=⨯⋅，12,l l ∴所成角的余弦值为2
3，C 错误；
对于D ，
4
cos ,3
a b b a b a ⋅<>=
=-，122,,333a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
b ∴在a 上的投影向量为488cos ,,,999a b a b a ⎛⎫
<>⋅
=-- ⎪⎝⎭
，D 错误. 故选：AB.
10．下列说法中，正确的有（ ）． A ．直线21y x =-在y 轴上的截距为1-
B ．过点()1,2P -且在x ，y 轴截距相等的直线方程为10x y +-=
C ．若点()0,0在圆22224280x y x y k k ++---+=外，则42k -<<
D ．已知点(),P x y 是直线3470x y +-=上一动点，过点P 作圆22:20C x x y 的两条切线，A ，
B
为切点，则四边形P ACB 【答案】ACD
【分析】由直线方程的斜截式可判断A ；由截距相等且等于0时，可判断B ；由点与圆的位置关系判断C ；由点到直线的距离结合勾股定理可判断D
【详解】对于A ：直线21y x =-在y 轴上的截距为1-，故A 正确；
对于B ：当在x ，y 轴截距相等且等于0时，直线方程为2y x =-，故B 错误； 对于C ：点()0,0在圆22224280x y x y k k ++---+=外，
则2280k k --+>，即2280k k +-<，解得42k -<<，故C 正确； 对于D ：圆2
2
:20C x x
y 即()2
2:11C x y ++=，圆心为()1,0C -，半径为1，
因为圆心到直线3470x y +-=的距离为2d ==，
所以min 2PC =，
又PA =
所以min PA ==
所以四边形P ACB 面积的最小值为min 112212
2
PA r ⨯⨯=⨯=D 正确； 故选：ACD
11．已知等轴双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过双曲线C 上的一点M
作两条渐进线的垂线，垂足分别为P ，Q ，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为2
B ．直线MP 与直线MQ 的斜率之积为定值
C ．四边形OPMQ 面积的最大值为2a （O 为坐标原点）
D ．12F F =【答案】BD
【分析】对于A ，由等轴双曲线定义可得答案.
对于B ，因C 为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，由题可得答案.
对于C ，由B 选项可知四边形OPMQ 为矩形，再设(),M x y ，表示出MP MQ ⋅可得答案.
对于D ，分别计算12F F 与.
【详解】因()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>为等轴双曲线，则a b =，渐近线为y x =±.
对于A ，222
2
22
2c a b e e a a +===⇒=
A 错误.
对于B ，因双曲线C 两条渐近线互相垂直，则直线MP 与直线MQ 互相垂直，故其斜率乘积为1-，为定值.故B 正确.
对于C ，由B 选项分析可知，可知四边形OPMQ 为矩形.又设(),M x y ，
则22
2
OPMQ x y S MP MQ -=⋅=
⋅
=
.
因(),M x y 在双曲线上，故2
2
2
x y a -=，则2
2
OPMQ
a S =，故C 错误.
对于D 选项，由C 选项分析可知==.
又12F F 2c ====.故D 正确. 故选：BD
12．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形，1AA P 为直四棱柱内一点，且
1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．当1
2
m =时，三棱锥1P ACD -的体积为定值 B ．当1
2
n =
时，存在点P ，使得PA PC ⊥
C ．当1m n +=时，PA PC +
D ．当21m n +=时，存在唯一的点P ，使得平面PAD ⊥平面PBC 【答案】ACD
【分析】对于A 选项，Q ，R 分别为AB ，11D C 的中点，连结QR ，判断出点P 在线段QR 上运动，由QR ∥平面1ACD ，得到点P 到面1ACD 的距离为定值，而1ACD △的面积为定值，即可判断； 对于B 选项，
连结1BC ，设M ，N 分别为1AD ，1BC 的中点，连结MN ，则MN AB ∥.判断出
点P 在线段MN 上运动，由2222AP CP AC +>=，判断出不可能存在点P ，使得PA PC ⊥； 对于C 选项，连结1BD ，判断出点P 在线段1BD 上运动.连结1CD ，将1BCD 翻折到平面1ABD 内，得到四边形1ABC D '，解四边形，即可判断.
对于D 选项，设M 为1AD 的中点，连结BM ，判断出P 在线段BM 上运动.设S 为1AA 的中点，连结SM ，连结BS ，过P 作PT SM ∥交BS 于点T ，判断出ATB ∠为二面角A PT B --的平面角，当AT BS ⊥时，平面PAD ⊥平面PBC ，即可判断. 【详解】对于A 选项，
设Q ，R 分别为AB ，11D C 的中点，连结QR ，则1QR AD ∥.QR ⊄面1ACD ，1AD ⊂面1ACD ，所以QR ∥平面1ACD .
因为1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，当1
2
m =
时，所以点P 在线段QR 上运动，QR ∥平面1ACD ，所以点P 到面1ACD 的距离为定值，而1ACD △的面积为定值，因此三棱锥1P ACD -的体积为定值，故A 正确； 对于B 选项，
连结1BC ，设M ，N 分别为1AD ，1BC 的中点，连结MN ，则MN AB ∥. 因为1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，当1
2
n =
时，所以
点P 在线段MN 上运动，且1AP AM >=，1CP CN >=，从而2222AP CP AC +>=，故不可能存在点P ，使得PA PC ⊥，故B 错误； 对于C 选项，
连结1BD ，则由1m n +=可知B ，P ，1D 三点共线，故点P 在线段1BD 上运动.
连结1CD ，将1BCD 翻折到平面1ABD 内，得到四边形1ABC D '，其中1AB BC '==，112AD C D '==，1AB AD ⊥，1BC C D ''⊥，连结AC '，如图1，所以1AC BD '⊥，455
AC '=，所以
45
5
PA PC PA PC AC ''+=+≥=
，故C 正确； 对于D 选项，
设M 为1AD 的中点，连结BM ，则12AP mAB nAD mAB nAM =+=+，由21m n +=知P 在线段BM 上运动.设S 为1AA 的中点，连结SM ，则SM AD BC ∥∥，连结BS ，过P 作PT SM ∥交BS 于点T ，则易知PT 为平面P AD 与平面PBC 的交线，AT PT ⊥，BT PT ⊥，故ATB ∠为二面角A PT B --的平面角，当AT BS ⊥时，平面PAD ⊥平面PBC ，且T 点唯一确定，所以P 点也唯一确定.故D 正确. 故选:ACD.
【点睛】空间背景下的动点轨迹的处理方法的两种：
（1）要求熟悉一些常见情况，利用面面相交得到动点的轨迹方面； （2）利用数形结合，用解析的方法来研究空间轨迹.
三、填空题
13．在空间直角坐标系Oxyz 中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________. 【答案】1
【分析】由四边形OABC 为平行四边形，可得OA CB =，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：(2,1,1)OA =，(,,1)CB b c =-， 因为四边形OABC 为平行四边形， 所以OA CB =， 所以2b =，1c =-， 则1b c +=. 故答案为：1.
14．设抛物线24y x =的焦点为F ，1,4A t ⎛⎫
⎪⎝⎭
为抛物线上一点，则AF =________．
【答案】5
16
【分析】将抛物线24y x =化为标准方程，根据抛物线定义即可求出AF .
【详解】抛物线24y x =的标准方程为2
14x y =
，准线方程为116
y =-， 根据抛物线定义可得115
41616
AF =+=. 故答案为：
516
. 15．已知直线1:3l mx ny m n +=+与直线()2:30,l nx my n m m n --+=∈R 相交于点M ，点N 是圆()()2
2
:334C x y +++=上的动点，则MN 的取值范围为________．
【答案】22≤≤+MN 【分析】根据题设易知1l 过定点()3,1A ，2l 过定点()1,3B 且12l l ⊥，则M 在以AB 为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C 的圆心距，根据动点分别在两圆上知MN 的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案.
【详解】由题设，()()()1:310,-+-=∈l m x n y m n R 恒过定点()3,1A ，
()()()2:130,-+-=∈l n x m y m n R 恒过定点()1,3B ，
因为0-=mn nm ，所以12l l ⊥，即垂足为M ，
所以M 在以AB 为直径的圆上，圆心为()2,2D ，半径为22
AB
=， 故M 轨迹方程为()()2
2
:222-+-=D x y ，
而()()2
2
:334C x y +++=的圆心为()3,3C --，半径为2，
所以两圆圆心的距离为252552+=，而M 、N 分别在两圆上，故MN 的最大值为2252262++=+，最小值为5222422--=-，
所以422262-≤≤+MN . 故答案为：422262-≤≤+MN .
16．椭圆
()2
2
2210x y a b a b
+=>>的一个焦点是()1,0F ，O 为坐标原点，过F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若恒有2
2
2
OA OB AB +<，则椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】510⎛- ⎝⎭
， 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示12120x x y y +<，利用不等关系，转化求离心率的取值范围.
【详解】设过点F 的直线l 的直线方程为1x my =+与椭圆交于A ，B 两点， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()2
222221b my a y a b ++=，
整理为：()22222222
20b m a y mb y b a b +++-=，
2122222mb y y b m a +=-+，222
12222
b a b y y b m a -=+，
若恒有222
OA OB AB +<，则222
cos 02OA OB AB
AOB OA OB
∠+-=<⨯，
所以AOB ∠是钝角，即12120x x y y +<，
()()1212110my my y y +++<，()()21212110m y y m y y ++++<，
()222222
2222222110b a b m b m b m a b m a -+⋅-+<++，整理为222
221a b m a b ++>恒成立，
所以22221a b a b
+<，即()
2222
11a a a a +-<-，整理为42310a a -+>，
解得：2a >
2a <
所以a >10c e a a ⎛==∈ ⎝⎭，
故答案为：0⎛ ⎝⎭
四、解答题
17．已知圆心坐标为()1,2的圆C 与x 轴相切． (1)求圆C 的方程；
(2)设直线:0l x y m +-=与圆C 交于A ，B 两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求m 的值．
条件①：AB =②：120ACB ∠=︒． 【答案】(1)()()2
2
124x y -+-=
(2)3m =
【分析】（1）由圆心坐标为()1,2，且圆与x 轴相切，所以圆心到x 轴的距离即半径，写出圆的标准方程.
（2）若选①，由弦长，半径，弦心距之间的关系，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m ；若选②，由圆心角为120︒解等腰三角形，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m . 【详解】（1）圆心坐标为()1,2，因为圆与x 轴相切， 所以圆心到x 轴的距离等于半径，即2r =， 圆的方程为：()()2
2
124x y -+-=
（2）若选条件①，设圆心到直线l 的距离为d ，因为AB =
则1d ==，
由点到直线的距离公式，
22
12111m +-=+，解得32m =±.
若选条件②，设圆心到直线l 的距离为d ，由120ACB ∠=︒，
cos601d r =︒=，由点到直线的距离公式，
2
2
12111
m +-=+，解得32m =±.
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，1AC BC ==，123AA =．M 为侧棱1BB 的中点，连接1,,AM CM C M ．
(1)求1C M 与平面ACM 所成角； (2)求二面角C AM B --的余弦值． 【答案】(1)π
3
(2)64
【分析】（1）以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果； （2）根据二面角的向量求法可直接求得结果.
【详解】（1）以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则(1C
，(M ，()1,0,0A ，()0,0,0C ，()0,1,0B ，
(10,1,C M ∴=，()1,0,0=CA
，(AM =-， 设平面ACM 的法向量(),,n x y z =，
则00CA n x AM n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令1z =，解得：0x =
，y =()
0,3,1n ∴=-；
11123cos ,2C M n C M n C M n
⋅∴<>=
=
=⨯
⋅ 设1C M 与平面ACM 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，则1sin cos ,2
C M n θ=<>=，π3θ∴=.
（2）由（1）知：(
AM =-，()1,1,0AB =-， 设平面AMB 的法向量(),,m a b c =，
则0
AM m a b AB m a b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =，0c ，
()1,1,0m ∴=； 3cos ,2m n m n m n
⋅∴<
>=
=
=
⨯⋅ 由图形知：二面角C AM B --为锐二面角，则二面角C AM B --19．已知直线:l y x =与双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>相交于A ，B 两点，且A
，B 两点的横坐标之积
为32
-．
(1)求双曲线C 的离心率e ；
(2)设与直线l 平行的直线m 与双曲线C 交于M ，N 两点，若OMN 的面积为O 为坐标原点），求直线m 的方程． 【答案】(1)2
(2)20x y -+=或20x y --=
【分析】（1）联立直线:l y x =与双曲线22
2:1y C x b
-=，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，结合
韦达定理即可求出b ，进而求出a ，c ，即可得到双曲线C 的离心率；
（2）由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为y x n =+，联立方程组，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，结合韦达定理即可表示出OMN 的面积，建立方程即可求出n ，进而求得直线m 的
方程．
【详解】（1）联立方程组2221
y x y x b =⎧⎪⎨-=⎪⎩
，消去y ，得()
222
10b x b --=，
由题意，22
3
12
b b -=--，即23b =， 即双曲线2
2
:13
y C x -=，即21a =，2224c a b =+=， 1a ∴=，2c =，
即双曲线C 的离心率e 2=
=c
a
. （2）由直线m 与直线l 平行，设直线m 的方程为：y x n =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 设直线与x 轴交点为(),0E n -，
联立方程组2213y x n y x =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，消去x ，得2226330y ny n -+-=，
()()
2
22Δ6423312240n n n ∴=--⨯⨯-=+>， 123y y n +=，21233
2
n y y -=
， ()
()22
2
212121233
434362
n y y y y y y n n -∴-=+-=-⨯=+，
2212111
363632222
OMN
S
OE y y n n n n ∴=⋅⋅-=⋅-⋅+=⋅⋅+=，解得2n ，
∴直线m 的方程为20x y -+=或20x y --=.
20．如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD =．以BD 为折痕把ABD △和CBD △向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）．
(1)求证：EF BD ⊥；
(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点G 为ABD △的重心，EG ⊥平面ABD ，且直线EF 与平面FBD 所成角为60︒． ①AB 的长度；
②求二面角A BE D --的余弦值． 【答案】(1)详见解析 (2)①2;②1
3
【分析】（1）通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理，证得BD ⊥平面EFH ，即可得到EF BD ⊥； （2）以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABE 和平面BED 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ，FH ， 因为AB =AD ，BC =DC ， 所以EB =ED ，FB =FD ， 故EH ⊥BD ，FH ⊥BD ， 因为EH
FH H =，,EH FH ⊂平面EFH ，
所以BD ⊥平面EFH 。

因为EF ⊂平面EFH ， 所以BD ⊥EF ；
（2）①连接AH ，由于AB =AD ，则AH ⊥BD ， 因为点G 为ABD △的重心， 所以点G 必在直线AH 上，
过点G 作GM //BD 交AD 于点M ，则AH ⊥GM ， 因为EG ⊥平面ABD ，,GM AG ⊂平面ABD ， 所以EG ⊥GM ，EG ⊥AG ，
以G 为坐标原点，GM 所在直线为x 轴，GA 所在直线为y 轴，GE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
2BC CD ==BC CD ⊥，
所以22BD CD ==，1
12
FH BD =
=，
因为平面EBD ⊥平面FBD ，由（1）知：∠EHF 为平面EBD 与平面FBD 的二面角， 所以∠EHF =90°， 由（1）知：EH ⊥BD ， 因为FH
BD H =，
所以EH ⊥平面BDF ，则∠EFH 即为直线EF 与平面FBD 所成角， 故∠EFH =60°，
则tan 60EH FH =︒⋅= 由勾股定理可得：
2ED EB ==，
即△EBD 为等边三角形，
所以ABD △是等边三角形，那么2AB =; ②
由以上可知23AG AH =
=
GH =
所以EG ===
所以,1,,,1,A B E D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()
1,BA =
，1,BE ⎛= ⎝⎭
,()2,0,0BD =
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，
则=+3=0
3=+=03
BA m x y BE m x y z ⎧⋅
⎪⎨⋅⎪
⎩， 令=1y
得：x =z = 所以3,1,m ⎛=- ⎝
⎭
， 设平面BED 的法向量为()111,,x n y z =， 则1111==03=+=03BD n x
BE n x y ⎧⋅⎪
⎨⋅⎪⎩
解得：1=0x ，令11y =，则1z =，
所以20,1,4n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则221
3,1,0,1,12414cos ,9311311428m n m n m n
⎛⎫⎛⎫
-⋅- ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭===
=⋅++⨯+
， 设平面A BE D --的夹角为θ，显然为锐角， 则1
cos cos ,3
m n θ==.
所以二面角A BE D --的余弦值是1
3
.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为3
2
，点()()0000,0A x y x y ≠为椭圆C 上
的一点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过原点O 的直线BD 与椭圆C 交于点,B D ，且直线BD 的斜率与直线OA 的斜率满足20BD OA k k +=，求ABD △面积的最大值．
【答案】(1)2
214
x y +=
(2)2
【分析】（1）利用椭圆的性质求,,a b c 即可得到椭圆方程；
（2）设直线BD 为y kx =，直线与椭圆方程联立解出BD 的值，再根据点到直线的距离得到ABD
△
在BD 边上的高，利用20BD OA k k +=可得00,x y 与k 的关系，利用均值不等式求面积的最大值即可. 【详解】（1
）由题意得24a c a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩222
a b c =+，
所以2,1,a b c === 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）由题意直线BD 斜率存在，设直线BD 为y kx =，()()1122,,,B x y D x y ， 由2
21
4x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得22(41)40k x +-=，所以120x x +=，122441x x k =-+，
所以BD ==
因为00
220BD OA y k k k x +=+
=，所以002kx y =-，002k x y
=-，
又点A 到直线BD
的距离d =
， 由椭圆和直线的对称性不妨设00y >
，则d =
所以
1122ABD
S
BD d =⨯⨯=⨯==
=
又因为22
0044x y +=，所以
(
)2222
0000222222000
00064161161441642036y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22
002200
64y x x y =即22
008x y =时等号成立，
所以2200161
9x y +≥，2ABD S ≤△，
故ABD △面积的最大值为2.
22．已知()0,2A ，()0,2B -，P 为平面上的一个动点．设直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满
足121
3
k k ⋅=-．记动点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点31,22M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的动直线l 与曲线C 交于E ，F 两点．曲线C 上是否存在定点N ，使得NE NF ⊥恒
成立（直线l 不经过点N ）？若存在，求出点N 的坐标，并求2
2
11NE
NF
+
的最小值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)22
1124x y +=（0x ≠）
； (2)存在，()3,1N ，最小值为29
.
【分析】（1）设点(),P x y ，然后根据121
3
k k ⋅=-列方程，整理即可得到曲线C 的方程；
（2）当直线l 的斜率不存在时，根据NE NF ⊥列方程得到()31N ,或()3,1-，然后分别验证()31N ,或
()3,1-时NE NF ⊥是否成立，即可得到()31N ,，然后在三角形NEF 中利用等面积和勾股定理得到
2
2
2
NE NF EF +=，NE NF EF d ⋅=⋅，即可得到
2
2
2111
d NE
NF
+
=
，然后求最小值即可.
【详解】（1）设点(),P x y ，则0x ≠，因为1213k k ⋅=-，所以2213y y x x -+⋅=-，整理得22
1124
x y +=， 所以曲线C 的方程为()22
10124
x y x +
=≠. （2）当直线l 的斜率不存在时方程为32x =，代入曲线C 的方程中得231164y +=
，解得y =
所以此时32E ⎛ ⎝⎭
，3,2F ⎛ ⎝⎭， 设()00,N x y ，则2200
1124x y +=①
，0032NE x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，003,2NF x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，因为NE NF ⊥，所以2
2
00313024NE NF x y ⎛⎫⋅=-+-= ⎪⎝⎭
②，联立①②解得03x =或32（舍去）
，01y =±，所以()31N ,或()3,1-，
当()31N ,时，且当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y kx b =+，()11,E x y ，()22,F x y ，因为直线l 经过31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时，所以3122k b +=-，
联立22
1124
y kx b
x y =+⎧⎪⎨+=⎪
⎩得()2221363120k x kbx b +++-=，122613kb x x k -+=+，2122
31213b x x k -=+， ()113,1NE x y =--，()223,1NF x y =--，
()()()()12123311NE NF x x kx b kx b ⋅=--++-+-
()()()22121213210k x x kb k x x b b =++--++-+
()()()()()()
222221312362101313k b kb k kb b b k k +-+---+-++=+
222
421818213b k kb b k -++-=+ 2
22
131313421818222222213k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++----- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭=+ 22229612189271313k k k k k k k ++-+--++=+ 0=，
所以0NE NF ⋅=，即NE NF ⊥，
当()3,1N -时，同理可得2
613k NE NF k -⋅=+，所以此时NE NF ⊥不恒成立， 所以存在定点()31N ,使NE NF ⊥，1
121332k +
≠=-， 设点N 到直线l 的距离为d ，因为三角形NEF 为直角三角形，所以222
NE NF EF +=，NE NF EF d ⋅=⋅， ()222222222
1
11NE NF EF d NE NF NE NF EF d ++===⋅⋅， 当直线l 斜率不存在时，32d =，2149
d =， 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1322y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，则d =2222141421921921k k d k k k k +⎛⎫=⋅=+ ⎪-+-+⎝⎭
， 当0k =时，2149
d =， 当0k >时，()2214241991k d k ⎛⎫=+> ⎪ ⎪-⎝⎭
， 当0k <时，2142422111199922d k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥=+=+≥ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪-+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，当且仅当1k =-时等号成立，
综上所述，存在定点()31N ,使NE NF ⊥，221
1NE NF +的最小值为2
9
. 【点睛】方法点睛：（1）求动点轨迹方法：
①直译法：建系，设动点坐标，根据条件列方程，整理，检验；
②代入法：有两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，且两动点之间存在关系，可以根据两动点的关系代入到已知的轨迹方程中，即可得到轨迹方程；
③参数法：动点的横纵坐标不存在直接关系，但是都跟某个参数存在关系，可以通过消参的方法得到轨迹方程；
④定义法：动点的轨迹符合已知的曲线的定义，即可根据已知曲线的定义来求轨迹方程；
（2）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。