九年级数学下册第26章反比例函数26.1.3反比例函数的图象和性质的综合运用

若点P在第四象限，则a>0，b<0
∴S矩形 AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.
y
P
B
S
A
A
O
x
B
P
自己尝试证明k>0
的情况.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
第十页，共二十七页。
新知讲解
方法(fāngfǎ)
归纳
对于(duìyú)反比例函y
k x
点Q是数其图象上的，任意一点(yī diǎn)，作QA垂直于y
x
(xiàngxiàn)内，y的值随x的增大而减小； 当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大
而增大;
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形;
3.在反比例函数
轴所围成的
y
k
(k
的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标 0)
x.
S矩形 k
第二十五页，共二十七页。
x
分别把点B，C，D的坐标代入，
得6×(－1)=－6，则点B在该函数图象上,
3×2=6≠－6，则点C不在该函数图象上 -0.5×12=－6，则点D在该函数图象上．
第六页，共二十七页。
新知讲解
二 反比例函数解析式中k的几何意义
合作(hézuò) 探究
1.在反比例函数
y 的4图象上分别取点P，Q x
向x轴、y轴作垂线，围成面积(miàn jī)分别为
反比例函数解析式为
.
y＝ - 3 x
已知y与x-3成反比例，当x=4时，y=-1；那么
1 (nàme)当x=-4时，y= 7 ．
第二十一页，共二十七页。
随堂检测
1．反比例函数 y = 的k 图象(tú xiànɡ)与一次函数y=2x+1的图象的 一个交点是(1，k)，则反比例函 x
数的解析式是______y _． 3 x
垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，
则（ C ）
y
A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC
C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB
A
B C
O
x
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典例精析
例3：如图,过反比例函数(hánysh= ù)kx k= ﹣12.
图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则 y
12/11/2021
第二十七页，共二十七页。
自主学习
自主学习任务：阅读课本 30页- 31页，掌握下列知识(zhī shi)要点。
1、用待定系数法求反比例函数解析(jiě xī)式；
2、能利用反比例函数的图象与性质解决问题.
第三页，共二十七页。
自主学习反馈
1.若反比例函数
y 的k图象经过点（-1，-2），则k的值为
．
2
x
2.已知反比例函数的图象经过A（2，-3），那么(nàme)此反比例函数的关系式为 ）
me)当x=-4时，y=
．
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小组展示
争先恐后(zhēng xiān kǒng hòu)
1组
2组
3组
4组
第二十页，共二十七页。
解析一览
做一做下面(xià mian)的题目，看谁做得又快又准
1、2组 确。
3、4组
如图所示，设A为反比例函数 y＝图象k 上 x
一点，且矩形(jǔxíng)ABOC的面积为3，则这个
y
6（x x
.
0）
3.已知某双曲线过点
（，3，则 这1 个） 双曲线的解析式为
3
．y 1（x 0）
x
4.如图，已知一次函数y=kx-3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数
0）交于y C点1 2，且AB=AC，则k的值为
.
x
3 2
（x＞
第四页，共二十七页。
新知讲解
一 用待定系数法求反比例函数的解析式
分析(fēnxī):联立两个函数解析式，解方程即 可.
第十八页，共二十七页。
分层教学
做一做下面(xià mian)的题目，看谁做得又快又准
1、2组 确。
3、4组
如图所示，设A为反比例函数
图y ＝象上k
x
一点(yī diǎn)，且矩形ABOC的面积为3，则这个
反比例函数解析式为
.ຫໍສະໝຸດ Baidu
已知y与x-3成反比例，当x=4时，y=-1；那么(nà
垂足分别为C， D，则四边形ACBD的面积为( )
D
A．2
B．4
C．6
D．8
第二十三页，共二十七页。
学以致用
解析： ∵过反比例函数图象上的点A，B分别作y轴
的垂线(chuíxiàn)，垂足分别为C，D，
∴
s△
＝
AOC
s
＝
△ OD
B
|k|＝1 2，由直线和双曲线的对称性可知OC＝OD，
2
AC＝BD，
式，并画出图象.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y k1x 和
y
k2 x
，
由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这两个函数 图象上的点， 即点P的坐 标分别满足这两个解析式.
因此 4k1(3)
, 4 k2
3
解得
k1
4 3
，
k2 12
第十六页，共二十七页。
新知讲解
在每个象限内，y随x的增大而增大.
第五页，共二十七页。
新知讲解
y k
解：(2)设反比例函数(hánshù)的解析式为 x
∵函数的图象经过点A(-1.5，4)，
∴把点A的坐标代入解析式，得
，4
k 1 .5
解得k=-6， ∴这个函数的解析式为
y
6 ．x
(3)∵反比例函数的解析式为
∴-6=xy
y ， 6
2. 如图，直线(zhíxiàn)y=k1x+b与双曲线yk =x 2 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，
则不等式k1x +b ＞ 的k 解2 集是 ________1__＜_．x＜5
x
第二十二页，共二十七页。
学以致用
如图，函数(hánshù)
y＝-x
与函数y
4 x
的图象相交于A， B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，
S1，S2的矩形，填写表格：
y 4 x
S1的值
P（2,2）Q（4,1）
4
S2的值 4
y
5
4
3 2 1
• P
S1 S2
• Q
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 -5
S1与S2的关系
猜想与k的关系
S1=S2
S1=S2=k
第七页，共二十七页。
新知讲解
2.若在反比例函数 y 4 中也用同样的方法(fāngfǎ)分别
例1.已知反比例函数的图象经过点A(-1.5，4)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
(2)求这个函数的解析式；
(3)判断点B(6，-1)，C(3，2)，D(-0.5，12)是否(shì fǒu)在这个函数的图象上，并说明理由；
解：(1)∵反比例函数的图象(tú xiànɡ)经过点A(-1.5，4)， ∴这个函数的图象位于第二、四象限，
x
y
P
Q
S1
S2
取P，Q两点，填写表格：
o
x
y 4 x
P（-1,4） Q（-2,2）
S1的值 4
S2的值 4
S1与S2的关系
S1=S2
猜想与k的关系
S1=S2=-k
第八页，共二十七页。
新知讲解
合理(hélǐ)猜 想
由前面的探究过程(guòchéng)，可以猜想: 若点P是 y k 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP
C.
×
o
函数(hánshù)增减性 k＞0
D.
x
√
y
k＜0
o
y o
k＞0 x
x
归纳 由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符 合题意的答案.
第十五页，共二十七页。
新知讲解
例4.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们(tā men)的解析
第二十六页，共二十七页。
B组
内容(nèiróng)总结
No 九年级下册。在每个象限内，y随x的增大而增大.。得6×(－1)=－6，则点B在该函数图象上,。
综上，S矩形(jǔxíng) AOBP=|k|.。|k|。做一做。做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。1＜x＜5。 ＝4×2＝8.。B组
Image
个性化作业
(zuòyè)
A组
1.完成 九年级下册26.1.3反比例函数的图象和性质的综合运用A组课后作业(zuòyè)。 2.预习课本并完成下一节自主学习检测题目。
1.完成 九年级下册26.1.3反比例函数的图象和性质的综合运用B组课后作业。
2.预习课本并完成下一节自主学习检测(jiǎn cè)题目。
s s s s ∴
＝
＝
＝ ＝2，
∴四边△ A形O CACBD的△面O D积A 为：
△ ODB ＋
△ OBC
＋
＋
s
＝4×2＝8.
△
A
O
C
s△ ODA
s△ ODB
s△ OBC
故选D.
第二十四页，共二十七页。
课堂小结
1.反比例函数的 y k (k图象0)与性质: 当k>0时,图象位于第一、三象限(xiàngxiàn)，在每一象限
这两个函数的解析(jiě xī)式分别为
y
4 3
x和
y ，1 2 它们的图象如图所示. x
P
y = - 12 x
这两个图象有何共同特点 (tèdiǎn)？另外一个交点坐
标是什么？
y 4 x 3
第十七页，共二十七页。
新知讲解
做一做
反比例函数(hánsyhù) 1 2 x
的图象与正比例函数(hánshù)y=3x的图象的交点坐标为(2_,_6_)_,(_-_2_,_-_6_)．
轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的
关系是S矩形 AOBQ=
|k|
推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是
S△QAO=S△QBO=
k
2
第十一页，共二十七页。
y
A
• Q
OB
x
反比例函数的面积 不变性
新知讲解
典例精析
例2.如图，在函数
y
=
1 x
(x>0)
的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作
26.1.3 反比例函数的图象和性质(xìngzhì)的的综合运用
九年级下册
第一页，共二十七页。
学习目标 1 掌握用待定系数法求反比例函数(hánshù)解析式；理解并掌握反比例函数(hánshù)
的系数k的几何意义；
2 能利用反比例函数的图象(tú xiànɡ)与性质解决问题.
第二页，共二十七页。
kP y= x
AO
x
归纳 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.
第十三页，共二十七页。
新知讲解
二 反比例函数与一次函数的综合
合作(hézuò) 探究
在同一坐标系中，函数
y k1
和y=k2xx+b的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么(shén me)条件？
y
k1>0,
k2>0,
x
的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
第九页，共二十七页。
新知讲解
我们(wǒ men)就k<0的情况给出证
设明点： P的坐标(zuòbiāo)为(a,b)
∵点P(a,b)在函数
y
k x
的图象上，
∴ b k ，即ab=k
a 若点P在第二象限，则a<0，b>0
S ∴ 矩形(jǔxíng) AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；
O
b>0
A
y k1>0,
y k1<0,
xO k2>0,
b<0
B
x
Ox
k2<0,
b<0
C
第十四页，共二十七页。
y k1>0,
O
x
k2<0,
D
b>0
典例精析
例3.函数(hánsyhùk)xk
y与 kx
(k
0)
y
的图象大致是(
D)
k＜0
k＞0
A× .
o
x
B.
×
又函数(hánshù)与y轴交点 y
-k＞0，知k＜0