导数及其应用运算单调性极值与定积分午练专题练习(五)含答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．已知函数y =f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是（2020年高考浙江卷（文））
2．设P 为曲线2
:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,
]4
π
,则点P 横坐标的取值范围是( )
A
D
C B
A.1[1,]2--
B.[1,0]
- C.[0,1] D.1
[,1]2
(2020辽宁理) 3．由曲线y=2
x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）112
(B)
14
(C)
13
(D)
7
12
（2020山东理7) 4．
设
a >0,b>0,e
是
自
然
对
数
的
底数 （
）
A ．若e a
+2a=e b +3b,则a>b B ．若e a +2a=e b
+3b,则a<b
C ．若e a
-2a=e b
-3b,则a>b D ．若e a
-2a=e b
-3b,则a<b （2020浙江文）
5．设曲线
1*
()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n
x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）
A.1n
B.11n +
C. 1n
n + D.1
答案 B
6．设函数)()0(1)6
s in()(x f x x f '>-+
=的导数ωπ
ω
的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是
( ) A ．9
π
=x
B ．6
π
=
x
C ．3
π
=
x D ．2
π
=
x
答案 C
7．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()
00S t S =，则导函数()'
y S t =的图像
大致为
8．设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1)g 处的切线方程为
21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 A ．4 B ．14-
C ．2
D ．1
2
- （2020江西卷理）
9．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x
都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为 A ．3
B ．
52
C ．2
D ．
3
2
（江苏） 10．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）(2020福建理)
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．若不等式2
9ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c
的取值范围是 ▲ ．
12．（文）已知函数13)(2
3++-=ax ax x x f 在区间),(+∞-∞内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是
13．已知函数ax x x f +-=3
)(在区间()1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是 .
14．函数2
()l n 1f x a x x
=++在[,)e +∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ．
16．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ▲ ． 评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．（本题满分10分）
18．已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R .
（1）当2=a 时，求函数()f x 的单调区间；
（2) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值. （本题满分16分）
19． 已知函数()ln(1)(1),x
f x a e a x =+-+(其中0a >) ,
点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+.
(Ⅰ） 证明: 函数()f x 在R 上是减函数； (Ⅱ）求证：⊿ABC 是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请
说明理由．
20．已知函数3
()f x x x =-．
(1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
(2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．（全国二理 本小题满分12分）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．A 3．A
解析：A 由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
⎰（111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。

4．A
【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则
()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其
余选项用同样方法排除. 5． 6． 7．A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对
数学的探究能力和应用能力。

最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A 。

8．A
【解析】由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x
''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A
9． 10．D
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
11． (]9ln 3-∞-， 12． 13． 14． 15．7- 16． 评卷人
得分
三、解答题
17． 解（1）当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋4ln x ，
从而f ′(x )＝－2＋4
x ，其中x ＞0． ……………… 2分 所以f ′(1)＝2．
又切点为(1，－2)，
所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即2x －y －4＝0． ……………… 4分 （2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，
所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)
x ，其中x ＞0．
①当a ＝0时，f ′(x )＝－
2(x －2)
x
，x ＞0． 由 f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是
(2，＋∞)； ……………… 6分
②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1
a ．
所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1
a )； ……………… 8分
③当a ＝1
2时，f ′(x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0， 所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；
④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1
a 或x ＞2，
所以函数f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)；单调减区间为(1
a ，2)． 综上，
当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1
a )； 当a ＝1
2时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；
当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1
a ，2)． ……………… 10分 18． 解： (Ⅰ) 21
)(-='x
x f (0x >), …………………2分 ①由021)(>-='x x f ，得2
1
0<<x …………………4分 ②由021)(<-=
'x x f ，得2
1
>x ……………………………6分 故函数()f x 的单调递增区间为)21,0(,单调减区间是),2
1[+∞. ……………… 8分
(Ⅱ)①当
1
1a
≤,即1a ≥时,函数()f x 在区间[1,2]上是减函数, ∴()f x 的最小值是(2)ln 2
2f a =-. ………………10分 ②当
12a ≥，即1
2
a ≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是(1)f a =-. ………………12分 ③当112a <
<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1
[,2]a
是减函数． 又(2)(1)ln 2f f a -=-， ∴当
1
ln 22
a <<时,最小值是(1)f a =-； 当ln21a ≤<时,最小值为(2)ln 2
2f a =-. ………………15分 综上可知,当0ln2a <<时, 函数()f x 的最小值是a x f -=m i n )(；当ln 2a ≥时，函数
()f x 的最小值是a x f 22ln )(min -=. ………………16分 19．解：(Ⅰ)
()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+
(1)()(1)011x x
x x
ae a e f x a e e
-+-'∴=-+=<++恒成立,………………………… 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. …………………………4分
(Ⅱ） 证明:据题意1,12233
(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3, 由(Ⅰ)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=
2
3
1x x +…………………………6分 12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--
12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--…………………8分
123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<
0,(,)2
BA BC B π
π∴⋅<∴∠∈
即⊿ABC 是钝角三角形……………………………………..10分 (Ⅲ）假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =
即
2132()()()f x f x f x =+
3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()x x x a e a x a e e a x x ⇔+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)x x x a e a x a e e a x ⇔+-+=++-+
3212ln(1)ln(1)(1)
x x x e e e ⇔+=++31332122122(1)(1)(1)2x x x x x x x x x e e e e e e e e +⇔+=++⇔+=++
3212x x x e e e ⇔=+ ① …………………………………………..14分
而事实上, 31
3
1222x
x x x x e e e e ++≥= ②
由于31x
x
e e <,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾. 所以⊿ABC 不可能为等腰三角形..16分
20．（1）求函数()f x 的导数；2
()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，
即
23(31)2y t x t =--．
(2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使
23(31)2b t a t =--．
2222
12123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-即：22
21321232[()()][()()]
x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程
32230t at a b -++=
有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-
6()t t a =-．
当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
t (0)-∞， 0 (0)a ， a
()a +∞， ()g t ' +
0 -
0 +
()g t
极大值
a b +
极小值
()b f a -
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多
有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；
当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．
综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.
a b b f a +>⎧⎨-<⎩，
即 ()a b f a -<<．。