生物统计学欧阳乐军
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概率(probability)：每一事件出现的可能 性，称为该事件的概率。
随机事件(random event)：若某特定事件只 是可能发生的几种事件中的一种，这种事 件称为随机事件。
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要认识随机事件的规律性，个别的试验或观察 是不适用的，必须在大量的实验中才能观察到。
下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
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二、事件的交（积事件）
事件A和B同时发生而构成的新事件， 称为事件A和B的积事件，记为AB，读作“A 和B同时发生”。
例如某小麦品种，以发生锈病赤霉病 为事件A，发生白粉病赤霉病为事件B，则 赤霉病发生这一新事件为AB，记为A∩B 。
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例如，观察施用某种农药后蚜虫的死亡数，记 “死”为0，“活”为1。如果每次观察5只，则 观察的结果将有0(5只全死)、1(4死1活)、2(3 死2活)、3(2死3活)、4(1死4活)、5(5只全活)， 共6种变量。由这6种变量的相应概率组成的分
布，就是n=5时活虫数的二项分布。
0.05 0 012345
(p=0.5,n=5)的概率分布图
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P( y) Cny p y qny
n! y!(n
y)!
p yqny
例4.2 某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即
p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗
试验，每次抽10头作为一组治疗。试问如 新药无疗效，则在10头中死3头、2头、1头， 以及全部愈好的概率为多少？
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P(A)=0.65,为10头的概率P(B)=0.18，则每
胎产仔≤10头的概率为：
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83
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二、独立事件的乘法
假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自出
现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
“1”，具概率p；给“彼”事件以变量 “0”，具概率q其概率关系为：
p＋q=1 q－1=p
如果我们每次抽取0、1总体的n个个体，则 所得变量y将可能有0，1，…n，共n+1种。 这n+1变量有它各自的概率而组成一个分布。
这个分布叫做二项概率分布，简称二项分布 (binomial distribution)。
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二、连续型随机变量
当n→+∞、i→0时，频率分布折线的极限是一条 稳定的函数曲线。 对于样本是取自连续型随机变量的情 况，这条函数曲线将是光滑的。
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连续型分布曲线
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变量y的取值仅为一范围，且y在该范围内取值 时，其概率是确定的，这种类型的变量称为连 续型随机变量(continuous random variate)。
有些总体的各个个体的某些性状，只能 发生非此即彼的两种结果，“此”和“彼” 是对立事件。例如种子的发芽与不发芽， 施药后害虫的死或活，产品的合格与不合 格。这种由非此及彼事件构成的总体，称 之为二项总体(binomial population)。
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为便于研究，通常给“此”事件以变量
b
P(a y b) a f ( y)dy
式中，f(y)称为y的概率密度函数
(probability density function)或分布密 度(distribution density)
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随机变量可能取得的每一个实数值或某一 范围的实数值是有一个相应概率于其对应 的，这就是所要研究和掌握的规律，这个 规律称为随机变量的概率分布。
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3.1.2 事件间的关系
一、事件的和（和事件）
事件A和事件B至少有一个发生构成的新事 件称为事件A和事件B的和或并，记为A∪B=A 发生，或B发生或A与B都发生”。 例如测定棉花的纤维长度，以＜28毫米为事 件A，28至30毫米为事件B，则抽取一根≤30 毫米的这一新事件为A＋B。
第三章 概率及概率分布
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3.1 事件、概率和随机变量
3.1.1 事件和事件发生的概率 3.1.2 事件间的关系 3.1.3 计算事件概率的法则 3.1.4 随机变量
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3.1.1 事件和事件发生的概率
事件(event)：在自然界中一种事物，常存 在几种可能出现的情况，每一种可能出现 的情况称为事件。
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这实际上是以n=4,从p=3/4， q=1/4的二
项总体中抽样构成二项分布的问题。
为方便，以“1”代表出现红花的事件，“0” 代表出现白花的事件。
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红花 数 4红
3红
2红
1红
0红
组合数
x
f(x)
(1,1,1,1)
3 P(x=3)=4p3q1=4×0.753×0.25=0.4219
2 P(x=2)=6p2q2=6×0.752×0.252=0.2109
1 P(x=1)=4p1q3=4×0.75×0.253=0.0409
0
P(x=0)=1q4=0.254=0.0039
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白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
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三、对立事件的概率
若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的概率为：
P( _ )=1－P(A)
A
四、完全事件系的概率
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4
统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验概 率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。 P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大 表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可 能性小。
29
7头愈好，3头死去的概率为：
P(3) C130(0.4)3(0.6)7 0.21499
8头愈好，2头死去的概率为：
P(2) C120(0.4)2 (0.6)8 0.12093
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9头愈好，1头死去的概率为：
P(1) C110(0.4)1 (0.6)9 0.04031
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3.2.2 二项式分布的概率计算方法
下面用一个例子来讲解这一问题。
红花豌豆和白花豌豆杂交，F2代出现红花的
概率为p=3/4，出现白花的概率为q=1/4。如
果将F1代种子成行种植，每行种4粒。问一 行全是红花、三株红花、二株红花、一株红 花、0红花的概率各是多少。
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小概率原理：若事件A发生的概率较小，如 小于0.05或0.01，则认为事件A在一次试验 中不太可能发生，这称为小概率实际不可能 性原理，简称小概率原理。
必然事件：对于一类事件来说，如在同一组 条件的实现之下必然要发生的事件 (P(W) =1)
不可能事件：如果在同一组条件下必然不发 生的事件(P(V) =0) 。
10头全部愈好的概率为：
P(0) C100(0.4)0 (0.6)10 0.00605
若计算10头中不超过2头死去的概率为多少？ 则应该应用累积概率，即：
2
F(2) p( y) P(0) P(1) P(2) 0.00605 0.04031 0.12093 0.16729
0
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3.2.3 二项式分布的形状和参数
一、形状
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0
0
1
2
3
4
5
P=0.35,n=5的概率分布图
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0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件 B为“产量高”，显然如果花的颜色与产 量无关，则事件A和B相互独立。
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3.1.3 计算事件概率的法则
一、互斥事件的加法
假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，
则
P(A+B)=P(A)+P(B)
例如：荣昌猪的每胎产仔数≤9头的概率
例如上例，黄色种子和白色种子构成完全事件系， 其概率为1。
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五、条件概率：已知事件B发生的条件
下，事件A发生的概率。记为：P(A|B) P(A|B)= P(AB)/P(B）
六、非独立事件的乘法
P(AB)=P(A)P(B|A)
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P(AB)=P(B)P(A|B)
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3.1.4 概率分布
随机变量：随机变量是指随机变数所取的某 一个实数值。
例如：在抛硬币试验中，币值面向上的用数 “1”表示，国徽面向上的用“0”表示。把
0，1作为变量y 的取值。 P(y=1)=0.5 P(y=0)=0.5
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三、互斥事件（互不相容事件）
如果事件A和B不能同时发生，即A和B 的交是不可能事件，则称事件A和B 互斥。例如棉花纤维长度“＜28毫 米”和“等于28毫米”不可能同时 发生，为互斥事件。
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四、事件的独立性
若事件A发生与否不影响B发生的可能性， 则称事件A和事件B相互独立。
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一、离散型随机变量及概率分布
变量y的取值可用实数表示，且y取某一值时，
其概率是确定的，这种类型的变量称为离 散型随机变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率
一一列出所形成的分布，称为离散型随机
变量的概率分布：
变量yi 概率P(y=yi)
y1 y2 y3 … yn P1 P2 P3 …Pn
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例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒是 白色，采用复置抽样。试求下列两事件的 概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到白 色；(2)两次都抽到黄色。
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先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1) (0,0,1,1) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)
(0,0,0,0)
4
P(x=4)=1p4=0.754=0.3164
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3.2 二项式分布
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3.2.1 二项总体与二项式分布 3.2.2 二项式分布的概率计算方法
3.2.3 二项式分布的形状和参数
3.2.4 多项式分布 3.2.Байду номын сангаас 泊松分布—二项分布的一种 极限分布
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3.2.1 二项总体与二项式分布
27
上例各项的概率相当于(p+q)4的展开： (p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4
同理，以样本容量为n进行的抽样，得 到的概率分布为(p+q)n的展开。
每一项的系数为：
Cnk
n! k!(n
k)!
(0≤k≤n)
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计算二项分布任何一项概率的通式为：
随机事件(random event)：若某特定事件只 是可能发生的几种事件中的一种，这种事 件称为随机事件。
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要认识随机事件的规律性，个别的试验或观察 是不适用的，必须在大量的实验中才能观察到。
下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
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二、事件的交（积事件）
事件A和B同时发生而构成的新事件， 称为事件A和B的积事件，记为AB，读作“A 和B同时发生”。
例如某小麦品种，以发生锈病赤霉病 为事件A，发生白粉病赤霉病为事件B，则 赤霉病发生这一新事件为AB，记为A∩B 。
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例如，观察施用某种农药后蚜虫的死亡数，记 “死”为0，“活”为1。如果每次观察5只，则 观察的结果将有0(5只全死)、1(4死1活)、2(3 死2活)、3(2死3活)、4(1死4活)、5(5只全活)， 共6种变量。由这6种变量的相应概率组成的分
布，就是n=5时活虫数的二项分布。
0.05 0 012345
(p=0.5,n=5)的概率分布图
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P( y) Cny p y qny
n! y!(n
y)!
p yqny
例4.2 某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即
p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗
试验，每次抽10头作为一组治疗。试问如 新药无疗效，则在10头中死3头、2头、1头， 以及全部愈好的概率为多少？
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P(A)=0.65,为10头的概率P(B)=0.18，则每
胎产仔≤10头的概率为：
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83
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二、独立事件的乘法
假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自出
现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
“1”，具概率p；给“彼”事件以变量 “0”，具概率q其概率关系为：
p＋q=1 q－1=p
如果我们每次抽取0、1总体的n个个体，则 所得变量y将可能有0，1，…n，共n+1种。 这n+1变量有它各自的概率而组成一个分布。
这个分布叫做二项概率分布，简称二项分布 (binomial distribution)。
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二、连续型随机变量
当n→+∞、i→0时，频率分布折线的极限是一条 稳定的函数曲线。 对于样本是取自连续型随机变量的情 况，这条函数曲线将是光滑的。
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连续型分布曲线
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18
变量y的取值仅为一范围，且y在该范围内取值 时，其概率是确定的，这种类型的变量称为连 续型随机变量(continuous random variate)。
有些总体的各个个体的某些性状，只能 发生非此即彼的两种结果，“此”和“彼” 是对立事件。例如种子的发芽与不发芽， 施药后害虫的死或活，产品的合格与不合 格。这种由非此及彼事件构成的总体，称 之为二项总体(binomial population)。
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为便于研究，通常给“此”事件以变量
b
P(a y b) a f ( y)dy
式中，f(y)称为y的概率密度函数
(probability density function)或分布密 度(distribution density)
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随机变量可能取得的每一个实数值或某一 范围的实数值是有一个相应概率于其对应 的，这就是所要研究和掌握的规律，这个 规律称为随机变量的概率分布。
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3.1.2 事件间的关系
一、事件的和（和事件）
事件A和事件B至少有一个发生构成的新事 件称为事件A和事件B的和或并，记为A∪B=A 发生，或B发生或A与B都发生”。 例如测定棉花的纤维长度，以＜28毫米为事 件A，28至30毫米为事件B，则抽取一根≤30 毫米的这一新事件为A＋B。
第三章 概率及概率分布
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1
3.1 事件、概率和随机变量
3.1.1 事件和事件发生的概率 3.1.2 事件间的关系 3.1.3 计算事件概率的法则 3.1.4 随机变量
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3.1.1 事件和事件发生的概率
事件(event)：在自然界中一种事物，常存 在几种可能出现的情况，每一种可能出现 的情况称为事件。
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25
这实际上是以n=4,从p=3/4， q=1/4的二
项总体中抽样构成二项分布的问题。
为方便，以“1”代表出现红花的事件，“0” 代表出现白花的事件。
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红花 数 4红
3红
2红
1红
0红
组合数
x
f(x)
(1,1,1,1)
3 P(x=3)=4p3q1=4×0.753×0.25=0.4219
2 P(x=2)=6p2q2=6×0.752×0.252=0.2109
1 P(x=1)=4p1q3=4×0.75×0.253=0.0409
0
P(x=0)=1q4=0.254=0.0039
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白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
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三、对立事件的概率
若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的概率为：
P( _ )=1－P(A)
A
四、完全事件系的概率
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统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验概 率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。 P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大 表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可 能性小。
29
7头愈好，3头死去的概率为：
P(3) C130(0.4)3(0.6)7 0.21499
8头愈好，2头死去的概率为：
P(2) C120(0.4)2 (0.6)8 0.12093
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30
9头愈好，1头死去的概率为：
P(1) C110(0.4)1 (0.6)9 0.04031
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3.2.2 二项式分布的概率计算方法
下面用一个例子来讲解这一问题。
红花豌豆和白花豌豆杂交，F2代出现红花的
概率为p=3/4，出现白花的概率为q=1/4。如
果将F1代种子成行种植，每行种4粒。问一 行全是红花、三株红花、二株红花、一株红 花、0红花的概率各是多少。
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小概率原理：若事件A发生的概率较小，如 小于0.05或0.01，则认为事件A在一次试验 中不太可能发生，这称为小概率实际不可能 性原理，简称小概率原理。
必然事件：对于一类事件来说，如在同一组 条件的实现之下必然要发生的事件 (P(W) =1)
不可能事件：如果在同一组条件下必然不发 生的事件(P(V) =0) 。
10头全部愈好的概率为：
P(0) C100(0.4)0 (0.6)10 0.00605
若计算10头中不超过2头死去的概率为多少？ 则应该应用累积概率，即：
2
F(2) p( y) P(0) P(1) P(2) 0.00605 0.04031 0.12093 0.16729
0
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3.2.3 二项式分布的形状和参数
一、形状
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0
0
1
2
3
4
5
P=0.35,n=5的概率分布图
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0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件 B为“产量高”，显然如果花的颜色与产 量无关，则事件A和B相互独立。
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3.1.3 计算事件概率的法则
一、互斥事件的加法
假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，
则
P(A+B)=P(A)+P(B)
例如：荣昌猪的每胎产仔数≤9头的概率
例如上例，黄色种子和白色种子构成完全事件系， 其概率为1。
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五、条件概率：已知事件B发生的条件
下，事件A发生的概率。记为：P(A|B) P(A|B)= P(AB)/P(B）
六、非独立事件的乘法
P(AB)=P(A)P(B|A)
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P(AB)=P(B)P(A|B)
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3.1.4 概率分布
随机变量：随机变量是指随机变数所取的某 一个实数值。
例如：在抛硬币试验中，币值面向上的用数 “1”表示，国徽面向上的用“0”表示。把
0，1作为变量y 的取值。 P(y=1)=0.5 P(y=0)=0.5
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三、互斥事件（互不相容事件）
如果事件A和B不能同时发生，即A和B 的交是不可能事件，则称事件A和B 互斥。例如棉花纤维长度“＜28毫 米”和“等于28毫米”不可能同时 发生，为互斥事件。
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四、事件的独立性
若事件A发生与否不影响B发生的可能性， 则称事件A和事件B相互独立。
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一、离散型随机变量及概率分布
变量y的取值可用实数表示，且y取某一值时，
其概率是确定的，这种类型的变量称为离 散型随机变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率
一一列出所形成的分布，称为离散型随机
变量的概率分布：
变量yi 概率P(y=yi)
y1 y2 y3 … yn P1 P2 P3 …Pn
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例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒是 白色，采用复置抽样。试求下列两事件的 概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到白 色；(2)两次都抽到黄色。
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先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1) (0,0,1,1) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)
(0,0,0,0)
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P(x=4)=1p4=0.754=0.3164
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3.2 二项式分布
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3.2.1 二项总体与二项式分布 3.2.2 二项式分布的概率计算方法
3.2.3 二项式分布的形状和参数
3.2.4 多项式分布 3.2.Байду номын сангаас 泊松分布—二项分布的一种 极限分布
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3.2.1 二项总体与二项式分布
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上例各项的概率相当于(p+q)4的展开： (p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4
同理，以样本容量为n进行的抽样，得 到的概率分布为(p+q)n的展开。
每一项的系数为：
Cnk
n! k!(n
k)!
(0≤k≤n)
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计算二项分布任何一项概率的通式为：