专题 三角函数与解三角形-2022届广东省高三上学期期末考试数学试题分类汇编

广东省2021-2022学年高三数学期末考试分类汇编
专题05 三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2022·广东佛山·高三期末）已知1sin ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫
+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则tan α等于（ ）
A ．
B C ．D
2．（2021·广东汕头·高三期末）已知π
sin (,π)2
αα=∈，则cos()6πα-=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．
1
2
D 3．（2022·广东·金山中学高三期末）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点
()1,2P --，则sin 2α=（ ）
A ．
2
5
B ．
45
C D 4．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数()11
sin cos 33
f x x x =+的图象，可以
将函数()1
3
g x x =的图象（ ）
A ．向右平移34
π
个单位长度 B ．向右平移
4π
个单位长度 C ．向左平移
34
π
个单位长度 D ．向左平移4π
个单位长度
5．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则该函数的增区间为（ ）
A ．()2,222k k k ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦Z
B ．()52,266k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
Z 6．（2022·广东潮州·高三期末）已知1cos 3x =，则sin(2)2x π
+=（ ）
A ．7
9
-
B ．
79
C ．89
-
D ．89
7．（2022·广东东莞·高三期末）若π(0,)2α∈，21
2tan cos αα
=，则tan α=（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．2 D
8．（2022·广东深圳·高三期末）已知3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．4
5 B ．45- C ．35 D ．35
二、多选题
9．（2021·广东汕头·高三期末）对于函数()sin cos f x x x =，x ∈R ，则（ ） A ．f (x )的最大值为1
B ．直线34
x π
=-
为其对称轴 C ．f (x )在[0,]2π
上单调递增
D ．点(,0)2
π
为其对称中心
10．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数()2sin 24x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位得到 B ．()y f x =的图象关于直线38
x π
=-
对称 C ．()y f x =的表达式可以改写为()2cos 24f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
D ．若函数()f x 在,4m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11．（2022·广东中山·高三期末）已知函数 ()sin()0,0, ||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+ ⎪⎝
><⎭>的
部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
B ．函数()f x 的图象关于直线512x π
=-对称
C ．函数()f x 在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 图象向右平移
6
π
个单位可得函数2sin y x =的图象
12．（2022·广东揭阳·高三期末）已知向量
()()[)cos ,sin ,cos ,sin (,0,2,)m n ααββαβπαβ==∈>，且()0,1m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．221m n += B ．()1
cos 2
αβ-=-
C ．()sin 0αβ+=
D ．m n -的最大值为2
13．（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数()()πcos 02f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭的图象向右平移
π
2
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点
D ．若()g x 在π0,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的最大值为5
14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数()sin cos (*)n n f x x x n N =+∈，则（ ） A ．对任意正奇数n ，f (x )为奇函数
B ．当n =3时，f (x )在[0，
2π] C ．当n =4时，f (x )的单调递增区间是[,]()4
Z k k k π
ππ-+∈
D ．对任意正整数n ，f (x )的图象都关于直线4
x π
=
对称
15．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，若()0f =意x R ∈都有()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则下列结论正确的是（ ）
A ．()s 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()6πf x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()f x 的图象向左平移 6
π
个单位后，图象关于原点对称
D ．()f x 的图象向右平移
2 3
π个单位后，图象关于y 轴对称 16．（2022·广东清远·高三期末）将函数1cos (0)6⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭y x πωω图象上所有的点向右平
移
6π个单位长度后，得到函数2cos(2)||2⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭y x πϕϕ的图象，若函数12()f x y y =+，
则（ ）
A ．()f x
的最小值是B ．()f x 的图象关于直线4
x π
=对称
C ．()f x 的最小正周期是π
D ．()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
Z
17．（2022·广东汕尾·
高三期末）以下关于函数()sin 22f x x x =的命题，正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的最小正周期为π
B ．点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心
C ．直线3
x π
=的函数()y f x =图象的一条对称轴
D ．将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到的函数的图象关于原点对称
三、填空题
18．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，图中()1
02
f =
，5012f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则512f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
___________.
19．（2022·广东中山·高三期末）若2
sin 3
α=
，则cos2α=___________. 20．（2022·广东·铁一中学高三期末）某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋
剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，
1
，3
1(单位：cm )，则三个圆之间空隙部分的面积为______2cm .
21．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛
⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
ππααα
________．
四、解答题
22．（2022·广东佛山·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且
cos (2)cos a C b c A =-.
(1)求角A 的大小；
(2)若2,b BC =边上的中线AD =ABC 的面积.
23．（2021·广东汕头·高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ．已知2b cos B =c cos A +a cos C ． (1)求B ；
(2)若a =2，b ，设D 为CB 延长线上一点，且AD ⊥AC ，求线段BD 的长． 24．（2022·广东珠海·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
)
cos a b
C C =+．
(1)求B ；
(2)已知BC =D 为边AB 上的一点，若1BD =，2
ACD π
∠=
，求AC 的长．
25．（2022·广东中山·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a b c A b a B
+==．
（1）求A ；
（2）如图，已知2AB =，D 为AC 的中点，点P 在BD 上，且满足1AP CP ⋅=，求PAC △的面积．
26．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，在平面四边形ABCD 中，34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =.
(1)若AC =ABC 的面积； (2)若6
ADC π
∠=
，4CD =，求tan CAD ∠.
27．（2022·广东揭阳·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
cos sin B b A +=.
(1)求角A ；
(2)若a =ABC b c >，求b 和c 的值. 28．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①
b a =，②2sin tan b A a B =，③
()()sin sin sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加
以解答.
已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；
（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.
29．（2022·广东潮州·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
cos sin b C a B =， (1)求角B 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求ABC 面积的最大值．
30．（2022·广东东莞·高三期末）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos a b C c B =+. (1)求a ；
(2)若3
A π
=
，ABC ABC 的周长. 31．（2022·广东深圳·高三期末）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c B
C b
-=
． (1)求角B 的大小； (2)若边AB 上的高为
4
c
，求cos C ． 32．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形ABCD 中，
,,4,36
2
∠=∠=
∠=
==ADB BDC BCD AD CD π
π
．
(1)求AB ；
(2)求ABC 的面积．
33．（2022·广东汕尾·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=-
(1)求角B
(2)当b =3时，求ABC 的面积的最大值． 五、双空题
34．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角ABC 中，2,AB AC O ==为BC 的中点，E ，F 分别为线段,AB AC 上的动点，且120EOF ∠=.
（1）当OE AB ⊥时，则2EF 的值为__________. （2）
22
11
OE OF +的最大值为__________.
参考答案：
1. 【答案】A
【分析】利用诱导公式求出cos α，再用平方关系求出sin α即可计算作答. 【详解】因1
sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，于是得
sin α==
所以sin tan cos α
αα
==故选：A
2. 【答案】B
【分析】先根据π
sin (,π)2
αα=
∈求出2π3α=
，进而求出πcos()6α-
【详解】∵π
sin (,π)2
αα=∈，∴2π3α=
，故ππcos()cos 0.62α-== 故选：B 3【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求得sin
αα=求解.
【详解】由题意，角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，可得
r OP ==
根据三角函数的定义，可得sin
αα== 所以4sin cos sin 222
5
ααα==
=. 故选：B. 4. 【答案】A
【分析】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可．
【详解】()111
13sin cos 333
434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故选：A. 5. 【答案】C
【分析】利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+≤+
≤
+，
解得5,1212
k x k k ππ
ππ-
+≤≤+∈Z ，
所以函数的增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z . 故选：C. 6. 【答案】A
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简计算.
【详解】解：2
17sin(2)cos 22cos 121299
x x x π+==-=⨯-=-.
故选：A 7. 【答案】B
【分析】根据22sin cos 1αα+=，和sin tan cos α
αα
=，即可得到22tan tan 1αα=+，进而求出结果.
【详解】因为0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，所以cos 0α≠，
所以22222
1sin cos tan 1cos cos αα
ααα
+==+， 所以22tan tan 1αα=+，即()2
tan 10α-=，所以tan 1α=， 故选：B. 8. 【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论.
【详解】3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，3cos cos sin 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴-=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故选：D. 9. 【答案】BD
【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x ，再逐一分析各选项中的条件判断作答. 【详解】依题意，1()sin cos sin 22
f x x x x ==，()f x 的最大值为1
2，A 错误；
当34x π=-时，3131()sin()4222f ππ-=-=，则直线34
x π=-为()f x 图象的对称轴，B 正确；
当02
x π≤≤，即02x ≤≤π时，由022
x π≤≤
得04x π
≤≤
，即()f x 在[0,]4
π
上单调递增，
由
22
x ππ≤≤得
42ππx ≤≤，即在[,]42
ππ
上单调递减，C 错误； 因()02
f π
=，则点(,0)2π为其对称中心，D 正确．
故选：BD 10. 【答案】BD
【分析】对于A ，由平移规则可判断；对于B ，代入检验可判断；对于C ，利用诱导公
式可判断；对于D ，根据值域建立不等式后可判断. 【详解】对于A ，由函数2sin 2y x =的图象向左平移8
π
个单位可得到函数()y f x =的图象，所以A 选项错误； 对于B ，当38x π=-
时，242
x ππ
+=-，所以B 选项正确； 对于C ，()2sin 22cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以C 选项错误；
对于D ，由,4x m π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
得2,2444x m πππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在的值域为⎡⎤⎣⎦，得52244m πππ≤+≤，解得82
m ππ≤≤，所以D 选项正确． 故选：BD 11. 【答案】AB
【分析】根据函数图像易得A 及函数的周期，即可求得ω，再利用待定系数法求得ϕ，再根据正弦函数的性质及平移变换逐一分析判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：由图可知2A =，43124
T πππ
=-=， 所以2T π
πω
=
=，所以2ω=，
则()2sin(2)f x x ϕ=+，
将点,212π⎛⎫
⎪⎝⎭代入得：2sin 26πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
所以2,Z 62
k k ππ
ϕπ+=+∈，
又||2ϕπ<
，所以3
π
ϕ=， 所以()2sin(2)3
f x x π
=+，
对于A ，因为()2sin()06
3
3
f πππ
-=-+=，
所以函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，故A 正确；
对于B ，因为55()2sin()21263
f πππ
-=-
+=-，为最小值， 所以函数()f x 的图象关于直线512
x π
=-
对称，故B 正确； 对于C ，因为2,3
6x ππ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦，所以[]2,03x π+∈-π， 所以函数()f x 在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上不单调递减，故C 错误； 对于D ，将函数()f x 图象向右平移
6
π
个单位，
可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，故D 错误.
故选：AB. 12. 【答案】BC
【分析】先根据向量加法，可直接求出5,66
ππ
αβ=
=. 对选项A ，直接求出向量m 和n 的模，然后验证即可； 对选项B ，直接求出余弦值； 对选项C ，直接求出正弦值； 对选项D ，直接求出向量m n -的模.
【详解】根据向量的加法可得：cos cos 0
sin sin 1
αβαβ+=⎧⎨
+=⎩ 根据诱导公式及同角三角函数的关系，且[)[)0,2,0,2,απβπαβ∈∈>，解得：
5,66
ππαβ=
= 对选项A ，221,1m n ==，则有：222m n +=，故选项A 错误； 对选项B ，则有：()21
cos cos
32
παβ-==-，故选项B 正确； 对选项C ，则有：()()sin sin 0αβπ+==，故选项C 正确； 对选项D ， 3131,,,2222m n ⎛⎫
⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则有：
()
3,0m n -=- 故有：32m n -=≠，故选项D 错误. 故选：BC 13. 【答案】BCD
【分析】利用题目已知条件，求出ω，再结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛
⎫=-=> ⎪⎝
⎭
∴()sin ()2g x x πω⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎦，且(0)1g =-，
∴()1222k k Z πωπ⎛
⎫-=-∈ ⎪⎝
⎭，即14k ω=-为奇数，
∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡
⎤=-=±⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 错.
由上得：ω为奇数，∴()cos 022g ππω⎛⎫
-=±-= ⎪⎝⎭
，故B 对.
由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π=-
=-，25
T π
=,由图像可知()g x 在()0,π上
有4个极值点,故C 对，
∵()g x 在π0,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调，所以π052T πω-≤=,解得：05ω<≤，又∵14k ω=-，
∴ω的最大值为5，故D 对 故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题. 14. 【答案】BD
【分析】通过判断(0)f 的值，判断A 的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求
解最大值，判断B 的正误；求出函数的单调增区间判断C 的正误；判断()()2
f x f x π
-=，
判断D 的正误．
【详解】解：对于A ，取1n =，则()sin cos f x x x =+，从而(0)10f =≠，此时()f x 不是奇函数，则A 错误；
对于B ，当3n =时，22()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x '=-=-，
当x [0,)4π∈时，()0f x '<；当(,]42x ππ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[0,)4
π
上单调递减，
在(,]42
ππ
上单调递增，
所以()f x 的最小值为33()4
f π=+，故B 正确；
对于C ，当4n =时，
4422222211cos413()sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21cos42444
x f x x x x x x x x x -=+=+-=-=-=+，
令242k x k πππ-+≤≤，则4,4
42
k k x k Z πππ
-
+
≤≤∈， 所以()f x 的递增区间为[,]()4
2
2
k k k Z πππ
-+∈，则C 错误；
对于D ，因为()sin ()cos ()cos sin ()2
2
2
n n n n
f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，所以()f x 的图象关于
直线4
x π
=
对称，则D 正确；
故选：BD. 15. 【答案】BD
【分析】先根据条件()0f =b 值，根据()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭可知
3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
为函数最大值，据此列出关于a 的方程，求出a 值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A 、B 的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B 、D 的正误.
【详解】
()sin cos ,(0)f x a x b x f =+=，
b ∴=，
又对任意x R ∈都有()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，
则()3
f π
为()f x 的最大值，
()3f π∴== ，
整理得：2(3)0a -= ，则3a = ，
所以()3sin ))63
f x x x x x ππ
==+=- ，
因此A 选项错误，B 正确；
()f x 的图象向左平移
6π
个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
()))6
63g x x x π
ππ
=+
+=+ ，该函数图象不关于原点对称，故C 错误；
()
f x 的图象向右平移
23π个单位后，得到函数2())63
x x x ππ
ϕ=+-=- 的图象，
该图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：BD 16. 【答案】ACD
【分析】根据题意先求出2y ，进而求出()f x ，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案.
【详解】由题意知，12cos 2,cos 2cos 26666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦y x y x x ππππ，则
11()cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 26622f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++-=⋅++⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2x =，()f x 的最小值是π，故A ，C 正确；
令2()x k k π=∈Z ，得()2
k x k π=
∈Z ，若
24k ππ=，则1
2=∉Z k ，故B 错误； 令222()-≤≤∈Z k x k k πππ，得()2
-
≤≤∈Z k x k k π
ππ，即()f x 的单调递增区间是
,()2k k k πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
Z ，故D 正确．
故选：ACD. 17. 【答案】AD
【分析】整理可得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，代入周期公式，可判断A 的正误，根据2
12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭可判断B 的正误，根据03f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可判断C 的正误，求得平移后的解析式，可判断D 的
正误，即可得答案.
【详解】由题意得()sin 222sin 23f x x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭，所以最小正周期22T ππ=
=，所以A 对．
2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以B
错．
2sin 20333πππf ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C
错．
将函数2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应的函数为
2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，是奇函数，所以D 对．
故选：AD ．
18. 【答案】【分析】根据图象和已知信息求出()f x 的解析式，代值计算可得512f π⎛-⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】由已知可得()1
sin 2
0==f φ，()f x 在0x =处附近单调递增，且0ϕπ<<，故
6
π
ϕ=
，
又因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是函数()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个对称中心，
所以，
5126πωππ+=，可得2ω=，故()sin 26f x x π⎛
⎫+ ⎝
=⎪⎭，
因此，52sin sin sin 123
33f ππ
πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为：. 19. 【答案】1
9
【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.
【详解】2
2
21cos212sin 1239αα⎛⎫
=-=-⨯= ⎪⎝⎭
.
故答案为：1
9
.
20. 【答案】(10
π3
-
【分析】由已知可得AB =2BC =,4AC cm =,得到=2
B π
∠，,6
3
A C π
π
∠=
∠=
，求出
ABC
S
，A 中的小扇形的面积，B 中的小扇形的面积，C 中的小扇形的面积，然后
用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.
【详解】如图，
A 的半径为
)
1cm,
B 的半径为
)
1cm,
C 的半径为
(
3cm,
11AB ∴+=,132cm BC +,
134AC cm +, 222
=
2
AB BC AC B π
∴+∠=，,
又2AC BC =,可得,6
3
A C π
π
∠=∠=
,
)
211
2cm 22
ABC
S
BC AB =
⋅=⨯⨯，
A 中的小扇形的面积为()
2211)cm 26π⨯⨯=，
B 中的小扇形的面积为()
2211)cm 22π⨯⨯=，
C 中的小扇形的面积为((
)
221(32cm 23
π
π⨯⨯=，
则三个圆之间空隙部分的面积为
((()
210π23
cm π--=
故答案为：(10
π3
-
【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.
. 21【答案】1
8
-
【分析】首先利用两角和差公式及二倍角公式化简原式得到
22sin cos 2sin cos 4sin cos αααα
αα
--+=
，再利用同角三角函数商数关系求解即可. 【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )
442sin 22sin cos ⎛
⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
ππααααααααα
222sin cos 2sin cos tan 12tan 1
4sin cos 4tan 8--+--+===-ααααααααα．
故答案为：1
8
-
22．【答案】(1)3
π
【分析】（1）根据cos (2)cos a C b c A =-，利用正弦定理转化为
sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）在ABC 中，由余弦定理得到2242a c c =+-，然后分别在ADB 和ADC 中，利
用余弦定理结合,2,ADC ADB b AD π∠+∠===2
2
462
a c +=+，联立
求得c ，再利用三角形面积公式求解. （1）
解；因为cos (2)cos a C b c A =-， 所以sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=， 即 sin 2sin cos B B A =， 因为 (),0,A B π∈， 所以 1sin 0,cos 2
B A ≠=， 所以3
A π
=；
（2）
在ABC 中，由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-， 即2242a c c =+-①，
在ADB 中，由余弦定理得2
2
2222a a c AD AD ADB ⎛⎫
=+-⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭
，
在ADC 中，由余弦定理得2
2
2222a a b AD AD ADC ⎛⎫
=+-⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭
，
因为,2,ADC ADB b AD π∠+∠===
两式相加得2
2
462
a c +=+②，
由①②得2c =，
所以11sin 22sin 223
ABC
S
bc A π
==⨯⨯⨯=23．【答案】(1)3B π=
(2)4BD =+
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B ，由此求得B . （2）利用正弦定理求得,BAC C ∠∠，由cos CA
C CD
∠=列方程来求得BD . (1)
2cos cos cos b B c A a C =+，
由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+sin()sin C A B =+=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 1
cos 2B ∴=
3
B π∴=. (2)
由（1）知3
ABC π
∠=
，2,a BC b CA ===
由正弦定理：sin sin BC CA BAC ABC
=∠∠
得2sin sin 3
BAC =
∠
sin BAC ∴∠， 4
BAC π
∴∠=
或34
BAC π
∠=（舍去）， 53
4
12
C π
π
ππ∴∠=-
-
=
， AD AC ⊥，所以由cos CA C CD ∠=得cos()64
CA
CD CB BD ππ=+=
+，
26cos(
)
64
BD ∴+=++
4BD ∴=+
24．【答案】(1)6
B π
=
(2)AC =
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；
（2）由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算． (1)
∵)cos a b
C C =+，∴)
sin sin cos A B
C C =+，
即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，
所以cos sin sin B C B C =，因为sin 0C >，
所以cos B B =，所以tan B = 因为()0,B π∈，所以6
B π
=．
(2)
因为BC =1BD =，6
B π
∠=
，根据余弦定理得
2222cos 112217CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，∴CD = ∵2BDC A π
∠=
+∠，∴sin sin cos 2BDC A A π⎛⎫
∠=+∠= ⎪⎝⎭
．
在BDC 中，由正弦定理知，sin sin BC CD BDC B =∠∠2
=
cos A =
∴tan CD A AC =
=
，∴AC =．
25．【答案】（1）
2
π
；（2）PAC
S =
【分析】（1）先把
sin cos a A
b B =边角统一可求出4B π=，再由a b
c b a
+=结合余弦定理与正弦定理的边角互化，即可得到答案；
（2）由数量积的定义，余弦定理，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】解：（1）由
sin cos a A
b B
=，可得sin cos sin sin A B B A =， 又sin 0A ≠，则tan 1B =． 因为(0,)B π∈，所以4
B π
=
．
由a b c b a +=，可得22a b bc =+，即22222a c b c b ac a
+-+=， 所以2cos c b a B +=．
由正弦定理可得sin sin 2sin cos C B A B +=， 则sin()sin 2sin cos A B B A B ++=， 可得sin sin()B A B =-，
则B A B =-或π+-=B A B （舍去），所以22
A B π
==
．
（2）因为1AP CP ⋅=，所以cos 1AP CP APC ⋅∠=．
又因为2222cos AC AP CP AP CP APC =+-⋅∠，所以226AP CP +=．
因为2222cos CP CD DP CD DP CDP =+-⋅∠，2222cos AP AD DP AD DP ADP =+-⋅∠， 两式相加可得222222CP AP CD AD DP +=++
，解得DP = 如图，过点P 作PE AC ⊥，
则
PAC ABC
S EP DP S
AB BD =
=== 又因为1
22
ABC
S AB AC
=
⋅=， 所以PAC
S
=
26．【答案】(1)1 (2)2
【分析】（1）对ABC 采用余弦定理可求得BC ，再结合正弦面积公式即可求解； （2
）可设CAD θ∠=，在ACD 中以,AC CD 为边列出正弦定理，同理，结合角度关系
表示出sin ACB ∠，在ABC 中，以,AC AB 为边列出正弦定理，两式联立即可求解. (1)
（1）因为1AB =
，AC =34
ABC π
∠=
，由余弦定理可得 2222cos AB BC ABC AB BC AC ⋅⋅∠=+-
，代值化简得BC =
，
11sin 1122ABC S AB BC ABC =
⋅⋅∠=⨯⨯=△； (2)
（2）设CAD θ∠=，在ACD 中，由正弦定理可得s n sin i C A D C CD
A θ
=∠①，由AB AD ⊥可得
2
BAD π
∠=
，则2
BAC π
θ∠=
-，3424
ACB ABC BAC πππππθθ∠=-∠-∠=-
-+=-， 在ABC 中，由正弦定理可得
sin sin AC AB
ABC ACB =∠∠②，①②得sin sin sin sin ABC CD ACB ADC AB
θ∠∠=⋅∠，
整理得sin 2cos θθ=，化简得tan 2θ=，故tan 2CAD ∠=. 27．【答案】(1)3
A π
=
(2)2,1b c ==
【分析】（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后根据诱导公式、两角和的正弦公式化简即可得答案；
（2）由余弦定理及三角形的面积公式列出方程组求解即可得答案. (1)
解：在ABC
cos sin B b A +=，
cos sin sin A B B A C +=， 又()C A B =π-+，
()cos sin sin A B B A A B ++
，即sin sin sin B A A B =，
sin 0,tan B A ≠∴=
()0,,.3
A A ππ∈∴=
(2)
解：由余弦定理及三角形面积公式得222
2cos 331sin 23ABC b c bc a S bc ππ⎧+-==⎪⎪
⎨⎪==⎪⎩
，即2232b c bc bc ⎧+-=⎨=⎩，
因为b c >，所以解得2,1b c ==.
28
．【答案】（1）π3
B =；（2【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由余弦定理可得2316ac b =-，利用基本不等式可求出b 的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.
【详解】（1）选①，由正弦定理得sin
sin B A =
∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， ∵0πB <<，∴ππ5π666
B -<-<， ∴ππ66
B -=，∴π3B =. 选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B b A B =
， 由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B =⋅
， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2
B =
， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. 选③，∵()()sin sin πsin A B C C +=-=，
由已知结合正弦定理可得()22a c a c b -+=，
∴222
a c
b a
c +-=，∴2221cos 222a c b ac B ac ac +-===， ∵()0,πB ∈，∴π3
B =. （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴2
21632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，
∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 2
S ac B =【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.
29．【答案】(1)120B =︒
【分析】（1）由已知结合正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =，而
sin sin()A B C =+
代入化简可得tan B =B 的大小，
（2）由点D 在边AC 上，且AD =2DC ，可得23BD BA AD BA AC =+=+1233
BA BC =+，平方化简后可得224236a c ac +-=，再利用基本不等式可得18ac ≤，从而可求出面积的最大值
(1)
因为cos sin b C a B =，
所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =+
,
所以sin cos sin()sin B C B C C B =+，
所以sin cos sin cos cos sin sin B C B C B C C B =+，
所以cos sin sin 0B C C B =，
因为sin 0C ≠，所以tan B =
因为0180B ︒<<︒，所以120B =︒
(2)
因为点D 在边AC 上，且AD =2DC ， 所以23BD BA AD BA AC =+=+
()
212333BA BC BA BA BC =+-=+， 所以2
2221214433999BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭, 所以2214244cos 9939
c ac a π=++，即224236a c ac +-=， 因为2244a c ac +≥，所以4236ac ac -≤，即18ac ≤，当且仅当2a c =时取等号，
所以ABC 面积为1212sin 18sin 2323ac ππ≤⨯=当且仅当2a c =，即3,6a c ==时取等号，
所以ABC 30．【答案】(1)1a =；
(2)3.
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得a 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得bc ，利用余弦定理可得出22b c +的值，可求得b c +的值，即可得解.
（1）
解：因为2cos cos a b C c B =+，由正弦定理得sin sin cos sin cos a A B C C B =+， 即()sin sin a A B C =+，
由B C A +=π-，得()sin sin sin a A B C A =+=，因为sin 0A >，所以1a =.
（2）
解：由1sin 2ABC S bc A ==△，3A π=，得12bc ，解得1bc =， 由2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，即222b c +=.
由()22224b c b c bc +=++=，得2b c +=，
故3a b c ++=，所以ABC 的周长为3.
31．【答案】(1)4B π=
；
(2)cos C =
【分析】（1）利用余弦定理可求得tan 1B =，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出4
a =，利用余弦定理可得出
b =，再代入sin cos a
c B C b -=即可得解. (1) 解：由余弦定理，得222sin 2a b c a c B ab b
+--=， 所以，()2222sin a b c a a c B +-=-， 所以，2222sin b a c ac B =+-，
又因为2222cos b a c ac B =+-，所以，sin cos B B =，则tan 1B =，
()0,B π∈，因此，4B π=
.
(2)
解：因为ABC 的面积21sin 28c S ac B ===，则a =，
由余弦定理，得2
2222252cos 28b a c ac B c c c ⎫=+-=+-⨯=⎪⎪⎝⎭，
所以，b =，
所以，sin cos a c B C b -===32．【答案】(1)2AB =；
(2)ABC S
.
【分析】（1）在Rt BCD
中求出BD =然后在ABD △中，利用余弦定理即可求出AB 的长；
（2）首先判断出ABD △为直角三角形，从而可求出ABC ∠，然后利用三角形的面积公式即可求出答案.
(1)
因为BCD △为直角三角形，,36=
=BDC CD π∠，
所以3==∠=BC BD DBC π
．
在ABD △
中，4,6==∠=AD BD ADB π
， 由余弦定理，得2222cos 46AB AD BD AD BD π
=+-⋅⋅=，所以2AB =．
(2)
由（1）知2AB =
，BD =4=AD ，所以222AB BD AD +=，
所以ABD △为直角三角形，且2ABD π∠=
， 所以5236ABC ABD CBD πππ∠=∠+∠=
+=，
故15sin 26ABC S AB BC π=⋅⋅= 33．【答案】(1)3B π=
【分析】（1）由正弦定理角化边可得222b a c ac =+-，根据余弦定理结合角B 的范围，即可得答案.
（2）由题意，结合基本不等式，可得9ac ≤，代入面积公式，即可得答案.
(1)
由正弦定理得：22()a c b ac -=-，整理得222b a c ac =+-，
所以2221cos 22
a c
b B a
c +-==， 因为(0,)B π∈，所以3B π=
(2)
因为2222b a c ac ac ac ac =+-≥-=，
所以9ac ≤（当且仅当a c =时等号成立），
所以ABC
面积的最大值max 19sin 2S B =⨯=34．【答案】
1 【分析】第一个空：过点O 作OD AC ⊥于点D ，在Rt OFD △中，可求出OF ，从而在OEF 中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出2211OE OF +的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.
【详解】当OE AB ⊥时，1OE =，过点O 作OD AC ⊥于点D ， 在Rt OFD △中，1OD =，30DOF ∠=，2cos303
OD OF ==， 在
OEF 中，由余弦定理，得2222cos120EF OE OF OE OF =+-⋅︒=
.
（2）设7412OEA ππ∠αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，则56OFA π∠α=-， 过点O 分别作,AC AB 的垂线于,D G 两点，则1OD OG ==， 在OFD △与OEG 中，221sin OE α=，22215sin sin 66OF ππαα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以222211sin sin 2163OE OF ππααα⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以当512πα
=时，22max 111OE OF ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭.
+. 1。