2021-2022年高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点

2021年高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考
点
[例1] (本题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知得f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －
32cos 2x ＋34(2分) ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34
cos 2x (4分) ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3.(6分) 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.(7分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，π4上是增函数．(10分) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14
.(11分) 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明
(1)第(1)问无化简过程，直接得到f (x )＝
12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，扣5分．每一步用公式正确就得分． (2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分．
(3)第(2)问只求出f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分． (4)若单调性出错，只得1分．
(5)单调性正确，但计算错误，扣2分．
(6)若求出2x －π3
的范围，再求函数的最值，同样得分．
1．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，
所以2π2ω
＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.
若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8，π2上单调递减． [例2] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 审题路线图
(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π
f x 的周期为π
ω＝2
条件：f x 图象关于直线x ＝π3
对称
2×π3＋φ＝k π＋π2
k ∈Z
φ＝－π6
(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝154
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝3＋158 [规范解答] (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT
＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3
对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z . 由－π2≤φ＜π2
，得k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π6
. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3
， 得0＜α－π6＜π2
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝154. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12
＝
3＋158.
2．(xx·山东临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，
直线x ＝π3
是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；
(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后
再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3
是函数f (x )＝ 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2
(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12
(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12
. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 由题意可得
g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12
x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3
， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310
. 类型三 学会规范
[例3] (本题满分12分)已知函数f (x )＝a ·(b －a )，其中向量a ＝(cos ωx ，0)，b ＝(3sin ωx,1)，且ω为正实数．
(1)求f (x )的最大值；
(2)对任意m ∈R ，函数y ＝f (x )，x ∈[m ，m ＋π)的图象与直线y ＝12
有且仅有一个交点，求ω的值，并求满足f (x )＝
3－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12的x 值． [考生不规范示例]
解：(1)∵f (x )＝a ·(b －a )＝a·b －|a |2
＝3cos ωx sin ωx ＋0－cos 2ωx ＝
32sin 2ωx －cos 2ωx ＝32sin 2ωx －1＋cos 2ωx 2＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12
又∵－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6≤1，∴f (x )的最大值为12. (2)函数f (x )与直线y ＝12
有且只有一个交点， ∴f (x )的周期为π，∴2πω
＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6－12， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6－12＝3－12， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6＝32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，∴4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，7π3， ∴4x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，13π6， ∴4x －π6＝π3或2π3，即x ＝π8或x ＝5π24
. [规范解答] (1)∵a·b ＝3cos ωx sin ωx ＋0×1 ＝
32sin 2ωx .(2分) ∴f (x )＝a ·(b －a )＝a·b －|a |2 ＝32
sin 2ωx －cos 2ωx ＝
32sin 2ωx －1＋cos 2ωx 2
＝32sin2ωx －12cos 2ωx －12
(4分) ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12. ∵－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6≤1，∴f (x )的最大值为12.(6分) (2)函数f (x )的最大值为12，y ＝f (x )，x ∈[m ，m ＋π)的图象与直线y ＝12
有且仅有一个交点，(8分)
∴函数f (x )的周期T 为π.
∴2π2ω
＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝3－12， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝32.(10分) ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，∴2x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴2x －π6∈[0，π]，∴2x －π6＝π3或2π3，即x ＝π4或x ＝5π12
.(12分) [终极提升]——登高博见
限时规范训练一 三角函数图象与性质
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12
. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22
，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝
22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2
－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 2．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a·b .
(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程；
(2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值． 解：(1)∵g (x )＝f (x )＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x
＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 最小正周期T ＝2π2
＝π. 当2x ＋π4＝π2
＋k π(k ∈Z )时， x ＝k π2＋π8
. ∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．
(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x .
3cos 2x －3sin 2x －8sin x cos x ＝0.
(3cos x ＋sin x )(cos x －3sin x )＝0.
又x 是第一象限角，
∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13
. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13
＝2. 3．(xx·山东枣庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω＞0)．
(1)求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2
，求函数f (x )的单调递增区间．
解：(1)f (x )＝
32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，
f (x )的周期为π，所以
2πω
＝π，即ω＝2.
所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3
(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．
解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－132
2×4×5＝55
，所以P (1,2)． 由此可得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6
.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ， 得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．
因为0＜φ＜π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
x ＋π3. (2)由题意得g (x )＝2sin ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π6x －2＋π3＝2sin π6x . 所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3
x ＋ 3sin
π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6. 当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1), 即1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
x －π6∈(－1,3)．于是函数h (x )的值域为(－1,3)．
必考点二 解三角形
类型一 学会踩点
[例1] (本题满分12分)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin B sin C
. (2)若AD ＝1，DC ＝
22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12
AB ·AD sin ∠BAD ，(1分) S △ADC ＝1
2
AC ·AD sin ∠CAD (2分)
因为S △ABD ＝2S △ADC ，
∠BAD ＝∠CAD ，
所以AB ＝2AC .(4分)
由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12
.(6分) (2)因为△ABD 与△ADC 等高，
所以S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，
所以BD ＝ 2.(8分)
在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知，
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，(9分)
AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，(10分)
故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.(11分)
由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.(12分)
评分细则：得分点及踩点说明
(1)第(1)问，正确列出面积公式各得1分
(2)得出AB ＝2AC ，得2分
(3)将正弦比转化为边长比得2分，错误结果扣1分．
(4)第(2)问，正确得出BD 的值得2分，面积比转化正确，值算错扣1分
(5)正确利用余弦定理各得1分
(6)两式相加消去角得1分
1．(xx·高考全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos
B ＋b cos A )＝c .
(1)求C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为
332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，
即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，
故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332
. 又C ＝π3
，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，
故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.
类型二 学会审题
[例2] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
审题路线图：
[规范解答] (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C ·sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，
故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②
由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .
又B ∈(0，π)，所以B ＝π4
. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24
ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4
. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤4
2－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为2＋1.
2．(xx·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝
tan A cos B ＋tan B cos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ；
(2)求cos C 的最小值．
解：(1)证明：由题意知
2⎝
⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，
即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .
因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋B )＝si n(π－C )＝sin C ，
从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，
由正弦定理得a ＋b ＝2c .
(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12
， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，
故cos C 的最小值为12
. 类型三 学会规范
[例3] (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .
(1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．
[考生不规范示例]
(1)∵b 2＝ac ，a ＝b
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14
(2)∵a 2＋c 2＝b 2，a ＝2∴c ＝a ＝2∴S ＝1
[规范解答] (1)由题设及正弦定理可得b 2
＝2ac .(2分)
又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14
.(6分) (2)由(1)知b 2
＝2ac .
因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.(8分)
故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.
所以△ABC 的面积为S ＝12ac ＝12×2×2＝1.(12分) [终极提升]——登高博见
限时规范训练二 解三角形
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝12
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72
. (2)设∠PBA ＝α，则∠BCP ＝α，
在Rt △BCP 中，PB ＝BC sin α＝sin α，
在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin 30°－α
， 化简得3cos α＝4sin α.
所以tan α＝
34，即tan ∠PBA ＝34. 2．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3
，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2， cos ∠ADC ＝17
.
(1)求sin ∠BAD ；
(2)求BD ，AC 的长．
解：(1)在△ADC 中，因为
cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437
. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )
＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得
BD ＝AB ·sin∠BAD sin ∠ADB ＝8×33
1443
7
＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝82＋52－2×8×5×12
＝49. 所以AC ＝7.
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12
c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12
＝ 12
sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34
π，得 －cos 2B ＝－cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ]＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， ∴2sin C cos C ＝sin 2C 解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255
， cos C ＝
55. 又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝223
b ， 又因为A ＝π4，12
bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．
(1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，
又sin B ≠0，从而tan A ＝3，
由于0＜A ＜π，所以A ＝π3
. (2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3
， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，
因为c ＞0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332
. 法二：由正弦定理，得7sin π3
＝2sin B ， 从而sin B ＝
217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277
. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114
. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332
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解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)求角C 的大小；
(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ＋b 的值．
解：(1)由题意得3a 2c ＝sin A ，由正弦定理得3sin A 2sin C
＝sin A ， 又sin A ≠0，∴sin C ＝
32，又0°＜C ＜90°， ∴C ＝60°.
(2)∵S △ABC ＝12
ab sin 60°＝3，∴ab ＝4. 又c ＝2，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos 60°，
即4＝a 2＋b 2－2ab ·12
，即4＝(a ＋b )2－2ab －ab ， ∴(a ＋b )2＝4＋3ab ＝16，∴a ＋b ＝4.
2．已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝
⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．
(1)求φ的值及图中x 0的值；
(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不
变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．
解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos
πx ·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
2cos 2φ2－1－sin πx ·sin φ ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)．
由题图可知，cos φ＝
32，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6. 又cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6， 所以x 0＝53
. (2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位长度得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6 ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3. 所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13
时，g (x )取得最大值3； 当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32
.
3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .
(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；
(2)求y ＝1－2cos 2A 1＋tan A
的值域． 解：(1)由已知，m ∥n ，则2b cos C ＝2a －c ，
由正弦定理，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－sin C ，
即2sin B cos C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，
在△ABC 中，sin C ≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝π3
. 又b 2＝ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
因而ac ＝a 2＋c 2
－2ac cos π3，即(a －c )2＝0， 所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．
(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A
＝1－2cos 2A －sin 2A 1＋sin A cos A
＝1－2cos A (cos A －sin A )
＝sin 2A －cos 2A
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4，由已知条件B ＝π3知A ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，2π3. 所以，2A －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4
，3π4.
因而所求函数的值域为(－1，2]．
4．已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)在△ABC 中，若A ＝π4，c ＝2，且锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2
＋π6＝12，求△ABC 的面积S . 解：(1)由题意得，
f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3，
所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.
(2)由(1)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，
所以sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.
由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin π4sin π6＝2
212＝2，
又c ＝2，所以a ＝2 2.
又sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6＋24
， 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×22×2×6＋24
＝1＋ 3.。