机器人动力学.

1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i i v i ai
i , q i q
Oi




i ezi1 ) i Rii1 (i 1 si q
Z i-1


Xi
i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i i v i ai
i , q i q
Oi Xi





Z i-1
i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
I Cxy I Cyy I Cyz I Cxz I Cyz I Czz
2018年10月8日7时42分
I Cxx I C I Cxy I Cxz
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2 牛顿—欧拉方程法 3.2.1 牛顿—欧拉方程
2、欧拉方程→惯性力矩 惯性张量矩阵简介： a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。 b.元素名称：
V
V
V
ICxy xydv
V
I Cxz xzdv
V
I Cyz yzdv
V
实验测试法： 惯量摆仪器。
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： 已知机器人各个关节的速度和加速度： ①从1～n递推出机器人每个杆件在自身坐标系 中的速度和加速度； ②机器人每个杆件质心上的速度和加速度； ③机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i , q i q
Z i-1
i i v i ai
m1 g
τ1=0
f1=mg
关节需要的驱动力（矩）：
mg
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.1 引言 3.1.2 动力学分析
机器人各个关节处于运动状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩：
1 , 1
m1
2 , 2
m2 l1 l2
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
牛顿—欧拉方程法递推过程： 正向递推： 已知机器人各个关节的速度和加速度 → 从1～n递 推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速 度 → 机器人每个杆件质心上的速度和加速度 → 再 用牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的 惯性力和惯性力矩。 反向递推： 根据正向递推的结果 → 从n～1递推出机器人每个 关节上承受的力和力矩 → 得到机器人每个关节所需 要的驱动力（矩）。 2018年10月8日7时42分
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i i v i ai
i , q i q
Oi Xi




i Rii 1 i 1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： ①杆件速度和加速度 递推计算公式 已知：i-1杆件速度和加速度 i关节速度和加速度
i , q i q
Z i-1
i i
Oi


v i ai
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
v i Rii 1 [v i 1 (1 si )qi e zi 1 ] Rii 1 ( i 1 pi 1i )
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2 牛顿—欧拉方程法 3.2.1 牛顿—欧拉方程
2、欧拉方程→惯性力矩 惯性张量矩阵计算： 理论计算方法：
2 2 2 2 I Cxx ( y 2 z 2 ) dv I Cyy ( z x )dv I Czz ( x y ) dv
FC m aC
①矢量。 ②质心上的线加速度。
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2 牛顿—欧拉方程法 3.2.1 牛顿—欧拉方程
2、欧拉方程→惯性力矩
①矢量。 ②质心上的惯性张量矩阵。
M IC ( IC )
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.1 引言 3.1.1 静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩：
m1=mg(l1+l2) l1 τ1=0 f1=mg m2=mgl2 l2 τ2=mgl2 f2=mg τ3=mg
f3=mg
关节需要的驱动力（矩）：
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i , q i q
i i v i ai
Oi Xi




vi Rii 1[vi 1 (1 si )qi ezi1 ]
Z i-1
i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.1 牛顿—欧拉方程 3.2.2 递推计算公式 3.2.3 递推算法应用
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2 牛顿—欧拉方程法 3.2.1 牛顿—欧拉方程
1、牛顿方程→惯性力
,d d 3 3
τ3 m3
τ1 f1
τ2 f2
f3
关节需要的驱动力（矩）：
m(l1 l2 ) 1
2 m(l1 l2 ) 1
mg md 3
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
牛顿—欧拉方程法原理：将机器人的每个杆件看成刚体 ，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性 张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速 度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件正向 递推出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用 牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯 性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节反 向递推出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到 机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了 机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度 之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i i v i ai
i , q i q
Oi Xi




i ezi1 ) i Rii 1 ( i 1 si q
Xi
i 1 , i 1 , vi 1 , ai 1


i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
计算：i杆件速度和加速度
i , q i q
i , i , vi , ai
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章


Rii 1 si qi ezi1
Z i-1
i 1 i 1
Oi-1

i vi 1 ai 来自1i-1Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
i , q i q
Oi




Xi
II、关节速度和加速度 的矢量化：
i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
qi ezi1 , qi ezi1
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
I Cxx I C I Cxy I Cxz
I Cxy I Cyy I Cyz
I Cxz I Cyz I Czz
Icxx，Icyy，Iczz——惯量矩； Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz——惯量积。 2018年10月8日7时42分
第 3章
逆问题：已知关节驱动力（矩），
求关节运动。
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
数学模型：
i , q i 关节运动→位移、速度、加速度变化→ qi , q
关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τ i
动力学方程：
i , q i ) ， i=1，…，n i f (qi , q
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式 分析： I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵
M i 1 i Ri 1i 0 pi 1i 1
Z i-1
3.2.2 递推计算公式
i i v i ai
Z i-1


i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
i-1
Xi-1
关节i 2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
i e z i 1 ) i Rii 1 ( i 1 si q i e z i 1 ) Rii 1 ( i 1 si q
mg
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.1 引言 3.1.1 静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。 考虑杆件自重时： 关节承受的力和力矩：
m1=mg(l1+l2) l1 m2=mgl2 m2 g l2 τ2=mgl2 f2=mg m3 g f3=mg τ3=mg
i , q i ，求τi。 正问题：已知 qi , q
i , q i 逆问题：已知τi ，求 qi , q 。
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.1
引言
3.1.1 静力学分析 3.1.2 动力学分析
2018年10月8日7时42分
第 3章
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学 牛顿—欧拉方程法
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： （第一种杆件坐标系） ①杆件速度和加速度 递推计算公式 建立相邻两个 杆件的坐标系： {i-1}、{i}
Oi Z i-1
Xi
i
Oi-1 Xi-1
i-1
Zi
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.2
3.2.2 递推计算公式
1、正向递推： ①杆件速度和加速度递推计算公式
i , q i q
Z i-1
i i v i ai
Oi Xi




i Rii 1 i 1


i 1 i 1
Oi-1


i vi 1 ai 1
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
3.1 引言
3.2 牛顿—欧拉方程法
3.3 拉格朗日方程法
习题
2018年10月8日7时42分
第 3章
机器人动力学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
动力学研究的问题：
机器人各个关节的运动与关节需
要的驱动力（矩）之间的关系。 正问题：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。