2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 1.1 正弦定理二 精品

1.1 正弦定理(二)
学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用两边夹角求三角形面积．
知识点一 正弦定理的常见变形 1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝____________； 2.
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝________； 3．a ＝________，b ＝________，c ＝________； 4．sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________. 知识点二 判断三角形解的个数
思考1 在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数． 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一． 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ，可求得sin B ＝b sin A
a
.在由sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．
思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？ 梳理 解三角形4个基本类型：
①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及其一边对角；④已知一边两角． 其中只有类型③解的个数不确定． 知识点三 三角形面积公式的拓展
思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？
梳理 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝1
2bc sin
A ＝1
2
ac sin B .
类型一 判断三角形解的个数 引申探究
例1中b ＝28 cm ，A ＝40°不变，当边a 在什么范围内取值时，△ABC 有两解(范围中保留sin 40°)?
例1 在△ABC 中，已知a ＝20 cm ，b ＝28 cm ，A ＝40°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)
反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
跟踪训练1 已知三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．
类型二 利用正弦定理求最值或取值范围
例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．
反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题：
(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题． 跟踪训练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c
b 的取值范围．
类型三 三角形面积公式的应用 命题角度1 已知边角求面积
例3 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积．
反思与感悟 三角形面积公式S ＝12ab sin C ，S ＝12bc sin A ，S ＝1
2ac sin B 中含有三角形的边角
关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．
跟踪训练3 在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A.
22 B.24 C.3
2 D.3＋14
命题角度2 给出面积求边角
例4 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为
3
2
，则AC 的长为________． 反思与感悟 利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标．
跟踪训练4 已知锐角三角形ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°
1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( ) A ．45° B ．30° C ．75°
D ．90°
2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
3．已知△ABC 的面积为3
2
，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝________.
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．
2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
答案精析
问题导学 知识点一
1．a ∶b ∶c 2.2R 3.2R sin A 2R sin B 2R sin C 4.a 2R b 2R c
2R
知识点二
思考1 解 sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<53
9<1，所以当B 为锐角时，
满足sin B ＝53
9的角有60°<B <90°，
故对应的钝角B 有90°<B <120°， 也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．
思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题． 知识点三
思考 △ABC 中，如果已知边AB 、BC 和角B ，边BC 上的高记为h a ，则h a ＝AB sin B ．从而可求面积． 题型探究
例1 解 根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝28sin 40°20≈0.899 9.
因为0°<B <180°，且b >a ，B >A ， (1)当B ≈64°时，
C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋64°)＝76°， c ＝a sin C sin A ＝20sin 76°
sin 40°≈30(cm)．
(2)当B ≈116°时，
C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋116°)＝24°， c ＝a sin C sin A ＝20sin 24°sin 40°
≈13(cm)．
综上，B ≈64°，C ≈76°，c ≈30 cm 或B ≈116°，C ≈24°，c ≈13 cm. 引申探究
解 如图，∠A ＝40°，CD ⊥AD .
AC ＝28 cm ，
以C 为圆心，a 为半径画圆弧， 当CD ＜a ＜AC ，即b sin A ＜a ＜b ， 28sin 40°＜a ＜28时，
△ABC 有两解(△AB 1C ，△AB 2C 均满足题设)． 跟踪训练1 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，b sin A ＜a ＜b ， 所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，
因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)， 所以B ＝60°或120°.
当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝ 43；
当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝4 3 或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 例2 解 ∵a ＝2b sin A ，
∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ， 又∵A ∈(0，π
2)，sin A ≠0，
∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π
6.
令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin []π－(B ＋A ) ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A
＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π
6sin A
＝32cos A ＋3
2sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由锐角△ABC 知， π2－B <A <π2，∴π3<A <π
2. ∵2π3<A ＋π3<5π6
，
∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴3
2<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即
32<y <3
2
. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛
⎭
⎫
32，32.
跟踪训练2 解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ， 所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π
3，
所以1
2<cos B <1，
所以1<2cos B <2，
又c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ， 所以1<c
b
<2.
例3 解 由正弦定理，得
1sin 30°＝3sin C ，∴sin C ＝3
2
. ∵0°<C <180°，AB >AC ，∴C >B ， ∴C ＝60°或120°. ①当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12×3×1＝3
2；
②当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝3
4
.
跟踪训练3 D [B ＝180°－A －C ＝180°－30°－45°＝105°， 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝1
12×6＋24＝6＋22
，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×1×6＋22×sin 45°＝3＋14.]
例4 1 跟踪训练4 B 当堂训练 1．C 2.B 3.
3
2。