2021年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平

2021年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三

讲平

第三讲平面向量

[考情分析]

平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.

年份卷别Ⅰ卷2021 Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷2021 Ⅱ卷Ⅲ卷2021 Ⅰ卷Ⅱ卷考查角度及命题位置向量垂直的应用・T13 向量加减法的几何意义・T4 向量垂直的应用・T13 平面向量垂直求参数・T13 平面向量共线求参数・T13 向量的夹角公式・T3 平面向量的坐标运算・T2 平面向量数量积的坐标运算・T4 [真题自检]

1．(2021・高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b

2

2

B．|a|＝|b| D．|a|>|b|

解析：依题意得(a＋b)－(a－b)＝0，即4a・b＝0，a⊥b，选A. 答案：A

2．(2021・高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)・a＝( ) A．－1 C．1

B．0 D．2

2

2

解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a＝2，a・b＝－3，从而(2a＋b)・a＝2a＋a・b＝4－3＝1.

法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)・a＝(1,0)・(1，－1)＝1，故选C. 答案：C

3．(2021・高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝

________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6

4．(2021・高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7. 答案：7

平面向量的概念及线性运算

[方法结论]

1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向

最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方

向是指向被减向量． 2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一

平面内两个不共线的向量e1，

e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四

边形法则及向量

共线定理来破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组

求解．

[题组突破]

1．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC

和OA相交→→

于点E.若OE＝λOA，则λ＝( )

3A. 44C. 5

3B. 51D. 2

5→→→→→→→2→→→2→

解析：通解：设OA＝a，OB＝b，由题意得DC＝OC－OD＝OA＋AC－OB＝OA＋BA－OB＝

2a－b.

333525→→→→→→→

因为OE＝λOA＝λa，设DE＝μDC＝2μa－μb，又OE＝OD＋DE，所以λa＝b＋2μa

－μb＝2μa333

?25

＋?－μ?33

?b， ??

λ＝2μ??所以?25

－μ＝0??33

4

，所以λ＝.

5

优解：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则

11144→→

即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又OE＝λOA，故λ＝. 24455

AFAC1

＝＝， BDBC2

答案：C

→→→

2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝( )

A．2 6C. 5

8B. 38D. 5

解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形1→11λ→→→→→

的边长为1，则AM＝(1，)，BN＝(－，1)，AC＝(1,1)，∵AC＝λAM＋μBN＝(λ－μ，＋μ)，

2222

1

λ－μ＝1??2∴?1??2λ＋μ＝1

6

λ＝??5

，解得?2

μ＝??5

8

，∴λ＋μ＝，故选D.

5

1→→μ→λ→→1→→→→→→

法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝(λ－)AB＋(＋μ)AD，

22221

λ－μ＝1??2→→→

又AC＝AB＋AD，∴?λ

??2＋μ＝1答案：D

3．已知平面向量a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量b满足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，则b＝( ) A．(2,1) C．(3,0)

B．(1,2) D．(0,3)

6

λ＝??5

，解得?2

μ＝??5

8

，∴λ＋μ＝，故选D.

5

解析：通解：设b＝(x，y)，则a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c可得，－(2－x)－(1－y)＝0，即x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b可得，3x＝0，则x＝0，y＝3，选D. 优解：因为a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐个验证选项可知，选D. 答案：D [误区警示]

在运用向量共线定理时，向量a与b共线存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.

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