4.5 单纯形法的灵敏度分析

运 筹 学
6
 j＋（ck＋ck）ak j＋cBm am j ＝cB1a1 j＋cB 2 a2  j＋ck akj  ＋cBm am   j＋ck ak j ＝cB1a1 j＋cB 2 a2 ＝z j＋ck ak j
运
筹
学
7
根据上式可知检验数 了  j , 且有：
当 a
kj
j  k时， j  0,即：
0
时， ck
 
j
 akj
,
j
 akj
 0;  0;
当
 0 akj
时， ck
j
 akj
筹
,
j
 akj
运
学
9
而当 j＝k 时，   j  ck  ck  zk   ck  ck  zk  ck akk 而xk 是基变量   k＝0，akk  1 所以，   0.
T     z j  (cB1 , cB 2 ,, ck ,cBm )(a1 j , a2 j ,, akj , amj )
 a1 j       变成了   zj  (cB1 , cB 2 ,, ck＋ck ,cBm )  akj     a   mj 
§4.5 单纯形法的灵敏度分析
源自文库
运
筹
学
1
单纯形法的实质是:
令 A  ( B, N ) ，
Ax  b
x =( x B , x N )。
分块 左乘 B 1 即
x N =0
Bx B  Nx N  b
x B  B 1 Nx N  B 1 b
x B  B 1 b  B 1 Nx N
 B 1 b   x 0   
投入生产； 这样，在初始单纯形表上，资源
T 从而 指标变为b  （300   , 400, 250） ，
最优单纯形表上 常数列应该变为：
运 筹 学
37
 1 0 1 300     50         1  b  B b   2 1 1  400    50  2   0 0 1  250   250      
情况：
运
筹
学
30
第一种情况：新的检验数均非正，而且
对应的新的资源指标非负。原问题的最优基 不变，变化后的常数列上的数据即为最优解。 第二种情况：新的检验数均非正，而且 新的资源指标中有负值。此时，用对偶单纯 形法继续迭代运算，求出新的最优解即可。
运
筹
学
31
例3：在第二章例1为中分析，若： （1）如果设备的台时数和第一种原料
运 筹 学
10
也就是说，要使得最优解不变， 对于除了a'kk以外的 所有大于0的a'kj，C k的增量满足ΔC k  所有小于0的a'kj满足ΔC k   j a' kj ，
j
a' kj
，
所以可知Ck的变化范围为:     j  j  max  a'kj  0   ΔC k  Min  a'kj  0       a' kj   a' kj 
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
27500
运
筹
学
13
我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3 进行灵敏度分析。这里σ3=-50，所以当c3的增
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB  (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成   (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j  1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
运 筹 学
2
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，Xk是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系，所以当 ck 变成 ck  ck 时，在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的 目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck  ck . 这时  k  ck  zk
就变成了ck Vck  zk   k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck  0 即 可，也就是 ck 的增量 ck   k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck  ck 时，最终单纯形表中约束
 j ( j  1, 2,m) 变成
 j  c j  zj
)  c j  ( z j  ck akj   (c j  z j )  ck akj    j  ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
 0  j  ck akj   j   ck akj
这样可以知道当-50≤Δc1≤50时，也就是x1的目标函数 c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
运
筹
学
15
由于约束方程系数增广矩阵在迭代 中只是其本身的行的初等变换与 ck 没
有任何关系，所以，不论是哪一种情
形，都可以直接将价格指标的变化反
映在最优单纯性表上进行计算。
运
筹
学
16
例2： （1）在上例中，我们对X1的系数进
该工厂的最优生产计划有什么变化；
运
筹
学
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（1）如果设备的台时数和第一种原料
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，即在初始单纯
T 形表上，资源指标变为 b  时， （300, 400, 270）
最优单纯形表上 常数列变为：
 1 0 1 300   30       1  b  B b   2 1 1  400    70   0 0 1  270   270      
运 筹 学
11
例1：
max z  50 x1  100 x2 s.t x1  x2  300  x1  x2  400  x2  250  x1 , x2  0
最优单纯形表如下
运 筹 学
12
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
由于所有的（即原问题满足
可行性条件对偶问题满足可行性
条件），所以该工厂在甲、乙产 品的利润变化后，生产计划不变。
运
筹
学
24
（3）将甲、乙产品的利润变化
情况直接反映到最优单纯形表（422）上，可得表4-24。
运
筹
学
25
表4-24
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
b
x1
60 1 0
x2
55 0 0
x3
x5
3
x2
55
0
60 0
1
55 0
2
50 -5
-1
5 -5
0
0
200
zj
j
17000 0
由于所有的
 j  0( j  1,2,5),
则已
求得最优解，且所有的资源指标均非 负，即该工厂在甲、乙产品的利润变
化后，应该将生产计划调整为生产甲
乙两种产品分别为100件和200件，最 大利润为17000万元。
1 -C’1+100 C’1-100
X2 100 0 ZJ CJ -ZJ C’1 0
18
从σ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并 且从σ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，
必然存在一个检验数大于0，我们可
以通过迭代来得到新的最优解。
运
筹
学
19
再例如，在本例的基础上提出以
要使得原来最优生产计划中所生产的产品仍然 投入生产，即要求原最优基不变，只要
 50       b   50  2   0  50    25  250   
运 筹 学
38
（3） 如果两种原料的供应量没有变 化，设备的台时数变为350个单位，
也就是说，在初始单纯形表上，资源
T 从而，最 指标变为 b  （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
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 1 0 1 350   100       1  b  B b   2 1 1  400    50   0 0 1  250   250      
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
量Δc3≤50时，最优解不变。
再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏
度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’  50 和 a13’大于0， a15’小于0，可知 3   50, 有:
a13 1
运
筹
学
14
   j '  max  a 1 j  0   max 50  50，同理    a '1 j     5   j '  有： min  a 1 j  0   min    50.    a '15   a '1 j 
运 筹 学
35
因为 b  (30,70,270)T  0, 所以，原 问题的最优基不变。但是，原问题
的最优解变为：
X  (30,270,0,70,0)
*
T
最优值变为：
Z  CB B b  28500
*
运 筹 学
36
1
（2） 如果两种原料的供应量没有变
化，则设备的台时数为 300   时，原 来最优生产计划中所生产的产品仍然
行灵敏度分析时，只需在最终的单纯形表中，用
C’1代替原来的C1=50,计算得下表：
运
筹
学
17
迭代 基 次数 变 量
CB
X1 C’1
X2 100
S1 0
S2 0
S3 0
b
50 50
250
X1 S2 2
C’1 1 0 0
0 0
1 100 0
运
1 -2
0 C’1 - C’1
筹 学
0 1
0 0 0
-1 1
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B  B b,Z  CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
x4
2
x2
55
0
60 0
1
55 0
0
60 -60
0
0 0
1
-5
250
250
zj j
j
16750
5
表4-25
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
x1
60
1 0
x2
55
0 0
x3
0
-1 -2
x4
0
1 1
x5
0
0 1
b
100 50
比值
x1
下问题：
（2） 若甲产品的利润由50万元 变成74万元，乙产品的利润由100万元
变成78万元时，该工厂的最优生产计
划有什么变化；
运 筹 学
20
（3）若甲产品的利润由50万元
变成60万元，乙产品的利润由100 万元变成55万元时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
21
解：（2）将甲、乙产品的利
润变化情况直接反映到最优单纯
形表（4-22）上，可得表4-23。
运
筹
学
22
表4-23
迭代次数
基变 量
Cb
74
x1
74 1
x2
78 0
x3
0 1
x4
0 0
x5
0 -1
b
50
比值 --
x1
x2
2
0
78
0
0 74 0
0
1 78 0
-2
0 74 -74
1
0 0 0
1
1 4
50
250
50
250
x4
zj
j
23200 -4