4.5 单纯形法的灵敏度分析
合集下载
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
4.5 单纯形法的灵敏度分析解析
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
单纯形法的灵敏度分析
bk bk
时，也就是原来的初始单
纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 令 b bk ... 0 则有 b ' b b
9
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了
X 'B B .(b b ) B b B b 。
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。
对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这将使得最优目
+ CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当J
δj a' kj
δ j ΔC k a' kj 0, ΔC k a' kj δ j 当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
0;
当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
δj a' kj
0; Z k ΔC a' kk , 因为 X K 是基变量， δj a' kj
14
zj 标值 “变差”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取
值的相反数-j z
。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程的 人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变量的 值z j 。
7
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题
x2 ≤250
x1,x2 , x3 ,x4,x5 ≥0
x1,x2 ≥0
CB
50 100 0
0
0
CB XB b
x1 x2
x3
x4
x5
0 x3 300
1
1
1
0
0
原问题初始单纯形表
0 x4 400 2
1
0
1
0
0
x5 250
0
1
0
j
50 100
0
0
1
0
0
已知最优基旳基变量为x1， x4， x2，请直接写出该线性 规划问题旳最终单纯形表。并给出其对偶问题旳最优解
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b x1
x2
x3
x4
x5
初 始
x6
8 1 4 2 -1 0 1 0 单
纯
6 3 2 0 0 -1 0 1 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b x1
x2
x3
x4
x5
最 终
x6
9/5 0 1 3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10 单
s.t. 6x1+2x2 ≤24 x1+x2 ≤5 x1,x2 ≥0
原则型：
maxZ=2x1+x2+0x3 +0x4 +0x5
5x2+x3
=15
s.t. 6x1+2x2 +x4 =24
x1+x2
+x5 = 5
x1,x2 ,x3 ,x4,x5 ≥0
第6章 运筹学课件单纯形法的灵敏度分析
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
单纯形法的灵敏度分析与对偶
第三章单纯形法的灵敏度分析与对偶1、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（） A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零2、关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是（）A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解3、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（）A 所有的变量必须是非负的B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性D 求目标函数的最小值4、已知线性规划问题Max Z=4X1+7X2+2X3X1+2X2+X3 ≤10S.t 2X1+3X2+3X3≤10X1，X2，X3 ≥0应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于255、已知线性规划问题max Z=3x1+4x2+x3-x1+2x2+3x3≤6S.t -3x1+x2-4x3≤7x1,x2,x3 ≥0利用对偶理论证明其目标函数值无界6、写出下列线性规划问题的对偶问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤++≤++⋅⋅++=)3,2,1(0205432553643max 321321321j x x x x x x x t S x x x Z j7、已知线性规划123123123max 3421022160,1,2,3jz x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩的最优解为*(6,2,0)T X =，试利用互补松弛定理，求对偶问题的最优解。
8、已知线性规划问题12341341234max 25628..222120, 1,2,3,4jz x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧++≤⎪+++≤⎨⎪≥=⎩其对偶问题的最优解为*14y =、*21y =，试用对偶理论求解原问题的最优解。
灵敏度分析
2 1
增加一个约束条件的灵敏度分析
若将原问题最优解变量值代入新增的约束条 件，仍然满足，则原最优解不变。
若将原问题最优解变量值代入新增 的约束条件已不满足，则原最优解 变化，继续迭代。
以例1为基础，假如除了在设备台时及原材 料A，B上对该厂的生产有限制外，还有电力供 应上的限制，最高供应电量为5000度，而生产 一个产品I需要用电10度，生产一个产品Ⅱ需要 用电30度。试分析此时该厂获得最大利润的生 产计划。
x1 50 x4 0 x2
0 50 0 50 0 250 1 3000 0 0
第四个约束条件为: 10x3 20x5 x6 3000 两边同时 (1) : 10x3 20x5 x6 3000
再加上人工变量: 10x3 20x5 x6 a1 3000
表示Ⅰ、Ⅱ产品的产量，则 m axZ 50x1 100x2
数学模型：
s .t .
x1 x 2 300 2 x1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
若有人想租用该厂的设备，工厂只收取租金或 加工费，那该厂的决策者应该怎样确定合理的 租金呢？
应考虑两个因素： 1、每种资源所收回的费用应不低于自己生产时 可能得到的收入； 2、定价又不能太高，要使对方容易接受。
该工厂每生产一单位产品Ⅰ或获利50元，每生产 一单位产品Ⅱ或获利100元，问工厂应分别生产多少 个Ⅰ产品和Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
数学模型：
m ax Z 5 0 x1 1 0 0x 2
s.t.
x1 x 2 3 0 0 2 x1 x 2 4 0 0 x2 2 5 0
已求得最终表为：
例：某工厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ产品的生产， 已知生产单位产品所需设备A、B、C台时来表示 Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备A 1 1 300 设备B 2 1 400 设备C 0 1 250 已知生产1单位Ⅰ产品可以获利50元。 已知生产1单位Ⅱ产品可以获利100元。 问：如何生产，获利最多。
增加一个约束条件的灵敏度分析
若将原问题最优解变量值代入新增的约束条 件，仍然满足，则原最优解不变。
若将原问题最优解变量值代入新增 的约束条件已不满足，则原最优解 变化，继续迭代。
以例1为基础，假如除了在设备台时及原材 料A，B上对该厂的生产有限制外，还有电力供 应上的限制，最高供应电量为5000度，而生产 一个产品I需要用电10度，生产一个产品Ⅱ需要 用电30度。试分析此时该厂获得最大利润的生 产计划。
x1 50 x4 0 x2
0 50 0 50 0 250 1 3000 0 0
第四个约束条件为: 10x3 20x5 x6 3000 两边同时 (1) : 10x3 20x5 x6 3000
再加上人工变量: 10x3 20x5 x6 a1 3000
表示Ⅰ、Ⅱ产品的产量，则 m axZ 50x1 100x2
数学模型：
s .t .
x1 x 2 300 2 x1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
若有人想租用该厂的设备，工厂只收取租金或 加工费，那该厂的决策者应该怎样确定合理的 租金呢？
应考虑两个因素： 1、每种资源所收回的费用应不低于自己生产时 可能得到的收入； 2、定价又不能太高，要使对方容易接受。
该工厂每生产一单位产品Ⅰ或获利50元，每生产 一单位产品Ⅱ或获利100元，问工厂应分别生产多少 个Ⅰ产品和Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
数学模型：
m ax Z 5 0 x1 1 0 0x 2
s.t.
x1 x 2 3 0 0 2 x1 x 2 4 0 0 x2 2 5 0
已求得最终表为：
例：某工厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ产品的生产， 已知生产单位产品所需设备A、B、C台时来表示 Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备A 1 1 300 设备B 2 1 400 设备C 0 1 250 已知生产1单位Ⅰ产品可以获利50元。 已知生产1单位Ⅱ产品可以获利100元。 问：如何生产，获利最多。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
单纯形法的灵敏度分析与对偶
目标函数： max z=50x1+100x2
x1+ x2≤300 s.t. 2x1+x2≤400
x2≤250 x1 ≥0, x2≥0
max z=50x1+100x2
x1+ x2+s1=300
s.t.
2x1+x2+s2=400
x2+s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, si≥0
一、线性规划问题解的基本概念
△C3 ≤－（－50）=50；
c’=c+△C<=0+50=50
最优解不变。
（2）再分析基变量的系数分析：
ck k
max J ak jjak j0 ckm J i ak n jjak j0
例如对基变量X1的系数C1进行灵敏度分析：
从表中获得了:
a11=1, a12=0, a13=1, a14=0, a15=-1
❖
OBJ COEFFICIENT RANGES
❖ VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
❖
COEF INCREASE DECREASE
❖
X1
50.000000 50.000000 50.000000
❖
X2
100.000000 INFINITY 50.000000
❖
RIGHTHAND SIDE RANGES
4. 对偶问题的约束条件系数矩阵A是原问题的AT
maxz c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1nxn b1
s.t.
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 y2 bm ym
第六章单纯形法的灵敏度分析
x1 50
x1 50 1
x4 C0B* 0
2 x2 100 0
zj
50
j=cj－zj 0
x2 x3 x4 x5 100 0 0 0
比值
b
bi/ai2
0 1 0 -1 50
B 0 -2 1 1 50
1 0 0 1 250
100 50 0 50 27500
0 -50 0 -50
对偶价格在单纯形表中的表示
相应增加一个技术列向量p6＝
(2,0.5,1.5)T
2 0.5
0.5 -2
则最优矩阵中p6’ ＝B× 1.5 ＝ 1.5
zj j=cj－zj
50 100 50 0 50 27500 0 0 -50 0 -50
一、问题的提出
事实上，系数的改变并未改变LP问题的解。
思考： 1、如果C2变为45，最优解会变吗？为保证最
优解不变， C2的取值范围？ 2、参数变化时，可否利用原问题的最优表求
解，而不必从头进行单纯形迭代，以简化计 算？
b
比值 bi/ai2
1 1 1 0 0 300 300/1
2 1 0 1 0 400 400/1
0 ① 0 0 1 250 20 0
① 0 1 0 -1 50 50/1
2 0 0 1 -1 150 150/2
0 1 0 0 1 250 _
0 100 0 0 -100 25000
中x2的目标函数系数由100变为75，求新问题 的解。
一、问题的提出
解：经过单纯形迭代得到最优表
迭代 基变 次数 量XB CB
x1 50
x2 75
x3 x4 x5 0 00
比值
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B B b,Z CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
T 从而，最 指标变为 b （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
39
1 0 1 350 100 1 b B b 2 1 1 400 50 0 0 1 250 250
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
j ( j 1, 2,m) 变成
j c j zj
) c j ( z j ck akj (c j z j ) ck akj j ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
0 j ck akj j ck akj
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
x4
2
x2
55
0
60 0
1
55 0
0
60 -60
0
0 0
1
-5
250
250
zj j
j
16750
5
表4-25
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
x1
60
1 0
x2
55
0 0
x3
0
-1 -2
x4
0
1 1
x5
0
0 1
b
100 50
比值
x1
该工厂的最优生产计划有什么变化；
运
筹
学
34
（1）如果设备的台时数和第一种原料
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，即在初始单纯
T 形表上，资源指标变为 b 时， （300, 400, 270）
最优单纯形表上 常数列变为：
1 0 1 300 30 1 b B b 2 1 1 400 70 0 0 1 270 270
运 筹 学
11
例1：
max z 50 x1 100 x2 s.t x1 x2 300 x1 x2 400 x2 250 x1 , x2 0
最优单纯形表如下
运 筹 学
12
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
27500
运
筹
学
13
我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3 进行灵敏度分析。这里σ3=-50，所以当c3的增
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0150 -Fra bibliotek0250
CJ -ZJ
26000
运 筹 学
35
因为 b (30,70,270)T 0, 所以，原 问题的最优基不变。但是，原问题
的最优解变为：
X (30,270,0,70,0)
*
T
最优值变为：
Z CB B b 28500
*
运 筹 学
36
1
（2） 如果两种原料的供应量没有变
化，则设备的台时数为 300 时，原 来最优生产计划中所生产的产品仍然
T z j (cB1 , cB 2 ,, ck ,cBm )(a1 j , a2 j ,, akj , amj )
a1 j 变成了 zj (cB1 , cB 2 ,, ck＋ck ,cBm ) akj a mj
量Δc3≤50时，最优解不变。
再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏
度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’ 50 和 a13’大于0， a15’小于0，可知 3 50, 有:
a13 1
运
筹
学
14
j ' max a 1 j 0 max 50 50，同理 a '1 j 5 j ' 有： min a 1 j 0 min 50. a '15 a '1 j
1 -C’1+100 C’1-100
X2 100 0 ZJ CJ -ZJ C’1 0
18
从σ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并 且从σ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，
必然存在一个检验数大于0，我们可
以通过迭代来得到新的最优解。
运
筹
学
19
再例如，在本例的基础上提出以
当 a
kj
j k时， j 0,即：
0
时， ck
j
akj
,
j
akj
0; 0;
当
0 akj
时， ck
j
akj
筹
,
j
akj
运
学
9
而当 j＝k 时， j ck ck zk ck ck zk ck akk 而xk 是基变量 k＝0，akk 1 所以， 0.
x5
3
x2
55
0
60 0
1
55 0
2
50 -5
-1
5 -5
0
0
200
zj
j
17000 0
由于所有的
j 0( j 1,2,5),
则已
求得最优解，且所有的资源指标均非 负，即该工厂在甲、乙产品的利润变
化后，应该将生产计划调整为生产甲
乙两种产品分别为100件和200件，最 大利润为17000万元。
由于所有的（即原问题满足
可行性条件对偶问题满足可行性
条件），所以该工厂在甲、乙产 品的利润变化后，生产计划不变。
运
筹
学
24
（3）将甲、乙产品的利润变化
情况直接反映到最优单纯形表（422）上，可得表4-24。
运
筹
学
25
表4-24
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
b
x1
60 1 0
x2
55 0 0
x3
情况：
运
筹
学
30
第一种情况：新的检验数均非正，而且
对应的新的资源指标非负。原问题的最优基 不变，变化后的常数列上的数据即为最优解。 第二种情况：新的检验数均非正，而且 新的资源指标中有负值。此时，用对偶单纯 形法继续迭代运算，求出新的最优解即可。
运
筹
学
31
例3：在第二章例1为中分析，若： （1）如果设备的台时数和第一种原料
§4.5 单纯形法的灵敏度分析
运
筹
学
1
单纯形法的实质是:
令 A ( B, N ) ，
Ax b
x =( x B , x N )。
分块 左乘 B 1 即
x N =0
Bx B Nx N b