湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题

2018-2019学年度人教版-八年级数学上册：第12章全等三角形 - 单元检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
2．已知△ABC≌△DEF，∠A=35°，那么∠D的度数是（）
A．65°B．55°C．35°D．45°
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=18，DE=3，AB=8，则AC长是（）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B+∠D=160°，则∠B的度数是（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
5．如图，∠A=∠D，∠1=∠2，添加下列条件，可使△ABC≌△DEF的是（）
A．AF=DF B．AB=DE C．AB=EF D．∠B=∠E
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD=3，BD=5，则点D到BC的距离是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，△ABC≌△DEF，BC∥EF，AC∥DF，则∠C的对应角是（）
A．∠F B．∠AGF C．∠AEF D．∠D
8．如图，AD=AE，BE=CD，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAE=70°，下列结论错误的是（）
A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠DAE=40°D．∠C=30°
9．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=38°，则∠BDE的度数为（）
A．71°B．76°C．78°D．80°
10．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（）个．
A．8 B．7 C．6 D．4
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（每小题3分，共8小题）
11．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠B的大小为．
12．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是，（填一个即可）
13．△ABC中，AB=5，AC=a，BC边上的中线AD=4，则a的取值范围是．
14．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为
15．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图．大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出如下结论：（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；
（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．其中正确的结论是．（将你认为正确结论的序号都填上）
16．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．且AF=5，则DC= ．
18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为
垂足．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2；④BA+BC=2BF．
其中正确的是．
三．解答题（共66分，共6小题）
19．已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF．
20．如图，点M是线段AB中点，AD、BC交于点N，连接AC、BD、MC、MD，∠l=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：△AMD≌△BMC；
（2）图中在不添加新的字母的情况下，请写出除了“△AMD≌△BMC”以外的所有全等三角形，并选出其中一对进行证明．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
22．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE．
（1）写出一对全等的三角形：△≌△；
（2）证明（1）中的结论；
（3）求证：点G为BC的中点．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，AD=CE．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）．求证：AB⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？（不需证明）
24．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF 交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
1．【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，
B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；
C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．
故选：C．
2．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
∵∠A=35°，
∴∠D=35°，
故选：C．
3．【解答】解：作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DE=3，
由题意得，×8×3+×AC×3=18，
解得，AC=4，
故选：B．
4．【解答】解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠B=80°，
故选：A．
5．【解答】解：A、添加AF=DF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项错误；
B、添加AB=DE利用AAS能得到△ABC≌△DEF，故此选项正确；
C、添加AB=EF不能得到△ABC≌△DEF，故此选项错误；
D、添加∠E=∠B不能得到△ABC≌△DEF，故此选项错误；
故选：B．
6．【解答】解：作DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DH⊥BC，
故选：A．
7．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的对应角相等；∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠D=∠BAC，∠B=∠DEF，
∵∠C是△ABC的一个内角，
∴∠C的对应角为∠F，
故选：A．
8．【解答】解：A、正确．
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∵BE=CD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
B、正确．
∵△ABE≌△ACD
∴AB=AC，∠B=∠C
∵BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
C、错误．
∵∠ADB=∠AEC=100°
∴∠ADE=∠AED=80°
∴∠DAE=20°
D、正确．
∵∠BAE=70°
∴∠BAD=50°
∵∠ADB=∠AEC=100°
∴∠B=∠C=30°
9．【解答】解：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
故选：A．
10．【解答】解：如图示2×3排列的可找出9个全等的三角形，除去△DEF外有8个与△DEF全等的三角形：
△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△CKR，△KRW，△CGR．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE
又∵∠ADE+∠BDE=180°
∴∠ADE=∠BDE=90°
∵△ACE≌△ADE
∴∠C=∠ADE=90°
∴∠CAB+∠B=90°
又∵△ACE≌△ADE≌△BDE
∴∠CAE=∠EAD=∠B=×90°=30°
故答案为：30°．
12．【解答】解：①∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）
∴可添加的条件是：PD=PE；
②∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）
∴可添加的条件是：AD=AE；
故答案为：PD=PE或AD=AE．
13．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE=AC=a，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣a＜2AD＜5+a，
∴＜AD＜．，
∵AD=4，
∴a的取值范围是3＜a＜13，
故答案为：3＜a＜13
14．【解答】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=48．故答案为48．
15．【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[结论（5）]
∵E是BC的中点，F是AD的中点，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中点，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]
由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．
正确的结论有（1）（3）（4）（5）个，
故答案为：（1）（3）（4）（5）．
16．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
=×2×（AB+AC+BC）
=×2×16=16，
故答案为：16．
17．【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC=5．
故答案为：5
18．【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EB C，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵EF⊥AB，
∴AF2=EC2﹣EF2；
∴③正确；
④如图，过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共6小题）
19．【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
又∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
20．【解答】（1）解：∵点M是AB中点，
∴AM=BM，
∵∠1=∠2，
∴∠AMD=∠BMC，
在△AMD和△BMC中，
，
∴△AMD≌△MBC（ASA）；
（2）△AMC≌△BMD，△ABC≌△BAD，△ACN≌△BDN．理由：∵△AMD≌△MBC，
∴AD=BC，
∵∠3=∠4，AB=BA，
∴△BAD≌△ABC（SAS），
∴AC=BD，∠BDN=∠ACN，
∵∠ANC=∠BND，
∴△ANC≌△BND（AAS），
∵AC=BD，∠CAM=∠DBM，AM=BM，
∴△AMC≌△BMD（SAS）．
21．【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．22．【解答】（1）解：结论：△ABE≌△ACD．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
故答案为ABE，ACD．
（3）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF，∵AB=AC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴BG=GC，
∴点G为BC的中点
23．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，∴△ABD和△CAE均为直角三角形．
在Rt△ABD和Rt△CAE中，，
∴∠ABD=∠CAE．
又∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠BAC=180°﹣（∠CAE+∠BAD）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）解：AB⊥AC，理由如下：
同（1）可证出：Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠ABD=∠CAE．
又∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠CAE+∠BAD=90°，
∴AB⊥AC．
24．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1；
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MBE
∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∵D是AB的中点，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF；
（3）DE=DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，
∵点 D是边 AB的中点
∴DG∥BM，DG=BM
同理可得：DH∥AM，DH=AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=BM，HE=BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE与△FGD中
，。