(浙江专用)202x版高考数学新增分大一轮复习 第十一章 概率随机变量及其分布 11.2 离散型随机

3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.(2018·金华模拟)若随机变量η的分布列如下：
完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为_2_2_0___. 解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故 P(X＝4)＝CC32C31219＝22270.
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝nna＋1(n＝1，2，3，4)，其中
2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列.
解 依题意知η的值为0，1，4，9，16.
列表为
X 0123 4
X2 0 1 4 9 16
从而η＝X2的分布列为
η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
思维升华
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证 每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机 变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
2.两点分布 如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布 . 其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
3.离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值或 数学期望 .它
解 由题2知m＝0.3，列表为
X 01234 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故η＝|X－1|的分布列为
η0
1
2
3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
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题组三 易错自纠
5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是
A.至少取到1个白球
√C.取到白球的个数
B.至多取到1个白球 D.取到的球的个数
解析 选项A，B表述的都是随机事件；
选项D是确定的值2，并不随机；
选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
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6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用 27
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量X的 概率分布列 ，简称为X的分布列，具有如下性质： ① pi≥0，i＝1，2，…，n ；
n
pi＝1
②__i_＝_1_____.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 _概__率__之__和___.
师生共研
题型二 分布列的求法
例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率
为
2 3.
续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
解 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，
则 A1，A2，A3，A4，A5 相互独立，且 P(Ak)＝23，P( A k)＝13，k＝1，2，3，4，5. 方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1 A 2)＋P( A 1A2)＝P(A1)P( A 2)＋ P( A 1)P(A2)＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为 P＝C12×23×13＝49.
第十一章 概率、随机变量及其分布
§11.2 离散型随机变量的分布列及均值、方 差
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 题型分类 课时作业
自主学习 深度剖析
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而 变化的变量 叫做随机变量.所有取值可以 一一列出 的 随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn， X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白 3
球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是__5___；随机变量ξ的均值是___1__.
解析 根据题意知ξ＝0，1，2， P(ξ＝0)＝CC3436＝15， P(ξ＝1)＝CC24C36 12＝53， P(ξ＝2)＝CC14C36 22＝51， ∴E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.
解析 E(X)＝－21＋61＝－13，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－32＋3＝37.
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4.[P49A组T1]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合 格品之前取出的次品数X的所有可能取值是___0_，__1_，__2_，__3. 解析 因为次品共有3件， 所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，2，3.
1 6
1 3
1 6
p
则p为
1 A.6
1 B.3
√1
C.4
1 D.12
解析 由分布列的性质知，112＋61＋31＋61＋p＝1，
∴p＝1－34＝14.
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3.[P68A组T1]已知X的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
11 36
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为
√7
A.3
B.4
C.－1
D.1
4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？ 提示 随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量， 随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值 与方差.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.
解 X的所有可能值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( A 1 A 2)＝23×23＋13×13＝59，
P(X＝3)＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2A3)＝23×132＋13×232＝29，
P(X＝4)＝P(A1 A 2A3A4)＋P( A 1A2 A 3 A 4)＝233×13＋133×23＝1801，
【概念方法微思考】 1.随机变量和函数有何联系和区别？ 提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数 的映射，函数是实数到实数的映射； 联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于 函数的值域.
2.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？ 提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的. 3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？ 提示 可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验.
X 200 300 400
P
1 10
3 10
3 5
师生共研
题型三 均值与方差
例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现
有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%， 也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 79和29； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可 能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分， 每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正 品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 解 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A， 则 P(A)＝AA12A25 31＝130.
思维升华
离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实 际问题作出判断. (2)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的 分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.
跟踪训练2 (2018·浙江源清中学月考)已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，
a 是常数，则 P21<X<25的值为
A.23
B.34
C.45
√D.56
解析 ∵P(X＝n)＝ a (n＝1，2，3，4)， nn＋1
∴a2＋a6＋1a2＋2a0＝1，∴a＝54，
∴P12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.
2.设离散型随机变量X的分布列为 X0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( )
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量√取值偏离均值的平均程度，方差
或标准1 差2越3小4，则5 偏6 离变量的平均程度越小.( )
题组二 教材改编
2.[P77A组T1]设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 45
P
1 12
反映了离散型随机变量取值的平均水平 .
(2)方差 n
称D(X)＝_i∑_＝_1_(x_i_－__E_(X__))_2_p_i _为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值
E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根 DX 为随机变量X的标准差 .
4.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) .(a，b为常数)
解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1 300 －150
P
7 9
2 9
∴E(X1)＝300×79＋(－150)×92＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
3 5
1
1
Байду номын сангаас
3 15
∴E(X2)＝500×35＋(－300)×31＋0×115＝200. D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×92＝35 000， D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×31＋(0－200)2×115＝140 000. ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( √ )
(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )
(3) 从 4 名 男 演 员 和 3 名 女 演 员 中 选 出 4 名 ， 其 中 女 演 员 的 人 数 X 服 从 超 几 何√分
布.( )
×
(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以√小于1.( )
求2X＋1的分布列.
解 由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 列表为
X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
引申探究 1.若题2中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列.
P(X＝5)＝P(A1 A 2A3 A 4)＋P( A 1A2 A 3A4)＝322×312＋312×322＝881.
故X的分布列为
X2 3 4 5
P
5 9
2 9
10 81
8 81
思维升华
求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列. 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求 解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测 出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解 X的可能取值为200，300，400. P(X＝200)＝AA5222＝110，P(X＝300)＝A33＋AC1235C13A22＝130，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－ P(X＝300)＝1－110－130＝35. 故X的分布列为