山西省忻州市第一中学导数及其应用多选题试题含答案

山西省忻州市第一中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确
的是（ ）
A ．若()f x 只有一个零点，则10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立
C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()0131
2
a a f x π+--<⋅恒成立
【答案】ABD 【分析】
利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取1
2
a =
，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01
a <<，分13
a =、103a <<、1
13a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】
构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x
-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.
ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.
()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.
当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫
=-=-<
⎪⎝⎭
，3333sin sin sin 02222a a f a a π
πππ⎛⎫=-=+> ⎪
⎝⎭
，
由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.
对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.
01a <<，则022
a ππ
<
<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫
'=> ⎪⎝⎭
，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，
当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得
2ax x π=-，解得21
x a π
=
+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21
x a π
=
+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：
由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，
记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.
所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.
若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.
01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102
a <<，A 选项正确；
对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，
由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.
()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正
确；
对于C 选项，取1
2
a =
，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
，
02x π≤≤，则02x π≤
≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x
=，可得02
x =或
2
x
π=， 解得0x =或2x π=. 所以，当1
2
a =
时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，
当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，
即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02
x π
<<
时，sin x x <，
构造函数()sin h x x x =-，其中02
x π
<<，则()1cos 0h x x '=->，
所以，函数()sin h x x x =-在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.
分以下三种情况来证明()0131
2
a a f x π+--<
⋅恒成立.
()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，
0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021
x a π
=
+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =
时，032x π=，则()1sin sin 33
x f x x =-，31342sin sin 223233f π
πππ⎛⎫=-=< ⎪
⎝⎭
，
即()0131
2
a a f x π+--<
⋅成立；
②当103a <<
时，023,212x a πππ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭
， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin
1
f x ax a x x a x a x a a π
=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛
⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭ 131
2
a a π+--=⋅；
③当
1
13
a <<时，023,12x a πππ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭
， ()()()()
0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()
()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫
=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭
()131
12
a a a ππ+--=-=.
综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()0131
2
a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
2．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】
当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进
而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0x
f x e a x =+=，当
0a ≠时，分离参数可得1sin x x a
e -=
，设sin (),(,)x
x
g x x e
π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】
A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，
0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；
B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202
f π
'-
=>
，
334
4
33()cos 4
4
2f e e ππππ-
-
⎛⎫'-=+-
=- ⎪⎝⎭
，又2
3344
2e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭
，即34e π>，则3()04f π'-
<，所以存在03,4
2x ππ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在
()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0
x
，因
为000000()sin sin cos 4x
f x e x x x x π⎛⎫=+=-=
- ⎪⎝⎭
，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以
03,44x π
ππ⎛
⎫
-
∈-- ⎪
⎝⎭
()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x x
a e
-
=，设sin (),(,)x x
g x x e
π=∈-+∞
，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k π
π=+
∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，
()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-
，
()g x 取得极小值，又35 (44)
g g π
π
⎛⎫⎛⎫
-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以(
)3434
2g x g e π
π⎛⎫
≥-=- ⎪⎝⎭
，所以当24
x k π
π=+
，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,
,...44x ππ
=
，
()g x 取得极大值，
又9 (44)
g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 (
)4
42g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞
时，(
)3442
2g x e π
π-≤≤
，当34
12e a π-<-
，即
34
a e π>时，()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.
当4
12a
e π
-
=，即4a e π
=时，1=-y a 与()sin x x
g x e =的图象只有一个交点，所以
存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
3．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时
()ln ,01
,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩
，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）
A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点
B ．若
3
2
m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若3
02
m <≤
，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】
设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线
()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合
可判断各选项的正误. 【详解】
由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：
令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，
()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函
数，
且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，
当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32
m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x
'=
， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01
x e
=
，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得
3
2
m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得3
02
m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
4．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2
x x a
a
x e e
f x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
，其中a 为非零常数，
在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值可能为（ ）（注：[]
x 表示不大于x 的最大整数）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AC 【分析】
求出导数，表示出切线，令0x t a
=
，可得()()110t t
t e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在
性定理可得021x a -<<-或012x
a
<<，即可求出. 【详解】
()2
x x
a
a
e e
f x a -+=⋅
，()
2
x x a
a
e e
f x --'∴=，
∴切线斜率
002
x x a
a
e e
k -
-=
，
()0
002
x x a
a
e e
f x a -+=⋅，
则切线方程为()000002
2x x x x a
a
a
a
e
e e e
y a x x --+--⋅=
-，
直线过原点，()0000022
x x x x a
a
a a
e
e e e
a x --+-∴-⋅=
⋅-
令0x t a
=
，则可得()()110t t
t e t e --++=， 令()()()11x
x
h x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，
()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，
()()x x h x x e e -'=-+，
当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，
()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，
()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，
且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，
021x a ∴-<
<-或012x
a
<<， 02x a ⎡⎤
∴=-⎢⎥⎣⎦
或1. 故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令
0x t a
=
，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x x
h x x e x e -=-++的零点问题.
5．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
6．已知2()ln f x x x =，2
()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥
【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．
当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立
23m ∴≥32
m ∴≥
． 故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得32
x e
-=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合
思想的应用．
7．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数2
10y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()7
42ln 24
h a h <=-
-，
所以()()121212
x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
，故C 正确； 当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()f x 在1
4x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
8．已知()2
sin x f x x x π
=-
-.（ ）
A ．()f x 的零点个数为4
B ．()f x 的极值点个数为3
C ．x 轴为曲线()y f x =的切线
D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=
【答案】BC 【分析】
首先根据()0f x '=得到21cos x
x π
-
=，分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，从而得
到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
()21cos x
f x x π
'=-
-，令()0f x '=，得到21cos x
x π
-=.
分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，如图所示：
由图知：21cos x
x π
-
=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，
2
π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
->，()f x 为增函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，
(),x π∈+∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
-<，()f x 为减函数.
所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2
x π=时，()f x 取得极小值为
14
π
-，
当x π=时，()f x 取得极大值为0，
所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202
x x π
<<<，且()()12f x f x =，
显然122
x x π
+<，故D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.。