2021年高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业 理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业 理（含解析）新人教
A 版
一、选择题
1．(xx·烟台市适应性练习(一))在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6
的二项展开式中，x 2的系数为
( )
A ．－427
B ．－227 C.227 D.4
27
解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r
6⎝ ⎛⎭
⎪⎫136－r
·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得
r ＝1.则x 2
项的系数为C 1
6
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫135·(－3)1
＝－227.
答案：B
2．(xx·青岛市高三自评试题)若(1－x )n
＝1＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋…＋a n x n (n ∈N *
)，且a 1∶
a 3＝1∶7，则n ＝( )
A ．8
B ．9
C ．7
D ．10
解析：由二项式定理知a 1＝C 1
n ，a 3＝C 3
n ，故C 3
n
C 1n
＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)
＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.
答案：A
3．(xx·郑州第三次质量预测)设a ＝⎠⎛0
πsin x d x 则二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎫ax －
1x 8
的展开式中x 2
项的系数是( )
A ．－1 120
B ．1 120
C ．－1 792
D ．1 792
解析：由题意a ＝⎠⎛0
πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪
⎪
π
0＝2，则二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －
1x 8
展开式的通项式为T r ＋1＝C r
8
(2x)8－r
·⎝
⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r
·x
8－
32 r ，令8－32
r ＝2，得r ＝4，所以x 2
项的系
数为C 4824
＝1 120，故选B .
答案：B
4．(xx·济宁市模拟)设a ＝⎠
⎛1
2(3x 2
－2x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为
( )
A ．－1 280x 3
B ．－1 280
C ．240
D ．－240
解析：a ＝⎠⎛1
2(3x 2－2x)d x ＝(x 3－x 2)⎪⎪
⎪
2
1＝4，所以⎝
⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 3
6
(4x 2)3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 3＝－1 280 x 3
，选A .
答案：A
5．(xx·山东滨州联考)在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展
开式中常数项是( )
A ．－7
B ．－28
C ．7
D ．28
解析：依题意，n 2
＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8
，
易得常数项为C 6
8
⎝ ⎛⎭⎪
⎫x 22⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－1
3x 6＝7. 答案：C
6．若(x ＋y)9
按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( )
A .⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，15 B .⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫4
5，＋∞ C .⎝
⎛⎦
⎥⎤
－∞，－45
D ．(1，＋∞)
解析：二项式(x ＋y)9
的展开式的通项是T r ＋1＝C r
9·x
9－r
·y r
.
依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1
xy<0，由此得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 8
·1－x －4x 7
·1－x 2
≤0
x 1－x <0
，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．
答案：D
7．(xx·3月襄阳市普通高中调研)若(1－2x)2 013
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x
2 013
(x ∈R )，则
a 1
2
＋a 222＋…＋a 2 013
2
2 013的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，
令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 013
22 013＝－a 0，
再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 013
22 013＝－1.
答案：C
8．(xx·湖北武汉调研测试)⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )
A.
3516 B.358 C.35
4
D ．105 解析：⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12x 8＝
2x ＋182x
8
＝
1＋2x 8
28x
4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x
4
的项为C 4
8
(2x )4
，故常数项为C 4824
28＝C 48·2－4
＝358
.
答案：B
9．(xx·安徽省“江南十校”高三联考)若(x ＋2＋m )9
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2
＋…＋
a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝－39，则实数m 的值为( )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1
D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2
＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39
令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9
令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9
所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2
＋2m )9
＝39
所以m 2
＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 答案：A 二、填空题
10．(xx·陕西卷)(a ＋x )5
展开式中x 2
的系数为10，则实数a 的值为________． 解析：因为(a ＋x )5
＝C 05a 5
＋C 15a 4
x ＋C 25a 3x 2
＋C 35a 2x 3
＋C 4
5ax 4
＋C 55x 5
， 所以C 25a 3
＝10a 3
＝10.所以a 3
＝1，a ＝1. 答案：1
11．(xx·山西大学附属中学高三月考)设a ＝⎠⎛0
π(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －
1
x
)6展开式中含x 2
项的系数是________．
解析：a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪
⎪
π
0＝2sin(x －
π4)⎪⎪⎪
π
＝2，
二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －
1x 6
展开式中含x 2项为：C 16(2x )5
·⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
1x ＝－192x 2
， 所以x 2
的系数为：－192. 答案：－192
12．(xx·贵州省六校第一次联考)(x ＋1)(1－2x )5
展开式中，x 3
的系数为________(用数字作答)．
解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3
的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2
，此时x 3
的系数为C 2
5(－2)
2
＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3
，此时x 3
的系数为C 3
5(－2)3
＝－80，故总的系数为－40.
答案：－40
13．(xx·黄冈质检)已知a ＝⎠⎛1－1(1＋1－x 2
)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数
项为________．
解析：
令y ＝1＋1－x 2
，则x 2
＋(y －1)2
＝1(y≥1)，如图可看出a ＝⎠
⎛1－1(1＋1－x 2
)d x 表
示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－
1)r
·C r
6·2
6－r
·x
6－r
·x －r ＝(－1)r ·C r 6·2
6－r
·x
6－2r
，要求展开式的常数项，
则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3
·C 36·2
6－3
＝－20×8＝－160.
答案：－160
14．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 3
6＝－20，当r ＝4时，
T 5＝C 4
6＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.
答案：－5
15．(xx·安徽省江南十校高三开学第一考)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)
解析：T r ＋1＝C r
6·(2x)
6－r
·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 62
6－r
x
6－3r
2
，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 62
6－r
x
6－3r
2
为有理项，则所有有理项的系数 和为C 0626
＋C 2624
＋C 4622
＋C 6620
＝365. 答案：365
16．(xx·山东烟台高三测试)若⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n
＝
a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．
解析：T 6＝C 5
n (x 2)
n －5
(－x －1)5＝－C 5n x
2n －15
，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)
8
＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8
＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.
答案：255 [热点预测]
17．(1)(xx·马鞍山高中毕业班第一次教学质量检测)已知⎝
⎛
⎭
⎪⎫x 2
－
1x n
的展开式中第三项与第五项的系数之比为3
14
，则展开式中常数项是________．
(2)(xx·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)在二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A .16
B .14
C .13
D .512
解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n
(－1)2
＝C 2n
，第五项的系数a 4＝C 4n
(－1)4
＝C 4n
，C 2n
C 4n
＝
12n －2
n －3＝314，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 1
2 )r ＝C r 10(－1)r ，由20－52
r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 8
10(－1)8
＝45.
(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝
n n －1
8
，a 1，
a 2，a 3成等差数列，所以有2×n 2＝1＋
n n －1
8
，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r 8
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x － 14 r
＝C r 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r
，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其展开式共有9项，重新排
成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 37
A 99＝512
，故选D .
答案：(1)45 (2)D |P?36834 8FE2 迢36387 8E23 踣u32453 7EC5 绅28966 7126 焦35132 893C 褼f(26649 6819 栙;22184 56A8 嚨9。