《一元二次方程根与系数的关系》学案
人教版九年级数学上册：《一元二次方程的根与系数的关系》学案
一元二次方程的根与系数的关系一、教课目的（一）知识与技术掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培育学生剖析、察看、概括的能力和推理论证的能力．（三）感情、态度与价值观1．浸透由特别到一般，再由一般到特别的认识事物的规律；2．培育学生去发现规律的踊跃性及勇于探究的精神．二、教课要点、难点、疑点及解决方法1．教课要点：根与系数的关系及其推导．2．教课难点：正确理解根与系数的关系．3．教课疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教课过程（一）明确目标一元二次方程 x2-5x+6=0 的两个根是 x1=2，x2=3，能够发现 x1＋x2=5 正是方程一次项系数 -5 的相反数， x1x2＝ 6 正是方程的常数项．其余的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在办理相关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为此后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生浸透认识事物的规律是由特别到一般，再由一般到特别，培育学生勇于探究、踊跃思想的精神．（三）要点、难点的学习及目标达成过程1．复习发问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程① x2-5x ＋ 6＝ 0，② 2x2＋ x-3 ＝0．察看、思虑两根和、两根积与系数的关系．在教师的指引和点拨下，由学生得出结论，教师发问：全部的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设 x1、 x2是方程 ax2 +bx+c=0（ a≠ 0）的两个根．以上一名学生在板书，其余学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论 1．假如 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是 x1，x2，那么 x1我们便可把它写成x2+px+q=0．2结论 2．假如方程 x +px+q＝0 的两个根是 x1，x2，那么 x1＋ x2＝-p ，x1· x2 =q．练习 1．（口答）以下方程中，两根的和与两根的积各是多少？22（1）x -2x ＋1＝0；（ 2） x -9x ＋10＝0；（3）2x2-9x ＋5＝0；（ 4）4x2-7x ＋1＝0；（5）2x2-5x ＝0；（ 6）x2-1 ＝0此组练习的目的是更为娴熟掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判断以下各方程后边的两个数是否是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（ 1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意 -b/a 的负号。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根与系数关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制抛物线，观察不同a, b, c值对根的影响。
-对于实际问题的转化，教师可以提供多个不同背景的例子，如几何问题、物理问题等，指导学生如何提取关键信息，建立一元二次方程模型，并运用根与系数的关系求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如分配资源、计算面积等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根与系数关系这一部分内容兴趣浓厚，但同时也存在一些理解上的难点。首先，韦达定理的两个公式记忆和运用上，部分学生还存在困难。在讲解过程中，我通过具体的方程例子进行推导，希望能帮助他们更好地记忆和理解。然而，从学生的反馈来看，可能还需要在课后加强个别辅导，确保每个人都能掌握。
一元二次方程根与系数的关系导学案
编号：11 课型：新授课 主备：刘红迁 审稿： 审核： 班级： 姓名：一元二次方程根与系数的关系学习目标：1、了解一元二次方程根与系数的关系。
2、能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关数学问题。
3、能熟练运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
学习重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决相关数学问题。
运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
学习过程： 一、回顾旧知1、用适当的方法解一元二次方程()()3165x x x ++=+ 22(1)5(1)20x x ---+= 22(234(25)0x x +--=）2、 若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，求a 的取值范围。
3、 将下列式子变形。
22()()a b a b +=- 22212121111()()x x x x +=+ 二、 课前预习 1、 解下列方程2(1)20x x -=、 2(2)340x x +-=、 2(3)560x x -+=、2、 请将得到的根填入下表，观察表格中的两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什由此你得到的结论是 。
三、 合作探究1、 一般地，对于关于x 的一元二次方程220(40),ax bx c a ac ++=-≥、b 、c 为已知常数，b121212x x x x x x +∙试用求根公式法求出它们的两个根、，算一算、的值，你又得到什么样的结论？小练笔：不解方程，求下列一元二次方程中两根的积与和的值。
2240x x +-= 2440x x -+= 23440x x --=2、 设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a ab b ++的值是多少？3、已知12x x 、是方程2630x x ++=的两个实数根，则2112x x x x +的值等于多少？3、 已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实数根。
A 、 求k 的取值范围B 、 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，请求出k 的值，若不存在，请说明理由。
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系导学案Ting Bao was revised on January 6, 20021学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：ab x x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题.一、自主学习阅读教材P40—42,完成课前预习1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律； ②x 2+px+q=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律； ②ax 2+bx+c=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理） ax 2+bx+c=0的两根1x =,2x =12x x +=12.x x =4、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --=（2）22350x x +-=（3）21203x x -= 5、已知方程2290x kx +-=的一个根是-3，求另一根及K 的值。
二、小组讨论，展示预习提纲三、教师点拨：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.四、课堂练习1．若方程20ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x +=12.x x =2．方程22310x x --=则12x x +=12.x x =3．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____p=____4．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____m=____5．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q=____6.在解方程x 2+px+q=0时，甲同学看错了p ，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q ，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=。
数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数的关系导学案
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授课内容
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1.通过观察，归纳，推理得出根与系数的关系，并利用根与系数的关系解题
一、知识回顾：
1．公式法的步骤：1.
2.
3.
二、新课探究
1.解下列方程，并填写表格
方程
+
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程ax +bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数，b -4ac≥0)的两根 ， 与系数a，b,c之间有什么关系？你能证明你的猜想吗？
4．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则（x1－x2）2＝
5.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是。
6．一元二次方程 的两根为 ，则 =______。
7.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子 的值是.课后练习
1．方程 ，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
2.下列一元二次方程中，两根分别为 的是（）
A、 B、 C、 D、
3.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为.
例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
①x2+ 3x -1= 0②x2+ 6x +2= 0③3x2－4x+1= 0 (4)4x2-2x -7= 0
例2.已知方程 的一个根是－3，求另一根及k的值。
三、课堂检测
1．如果一元二次方程 的两个根为 的值为。
2.已知方程 的两根互为相反数，求k的值。
一元二次方程的根与系数的关系优秀教案
课题：一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
（二）过程与方法
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
（三）情感态度与价值观
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养孩子观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、重点难点
1、重点一元二次方程根与系数的关系
2、难点对根与系数关系的理解和推导
三、教学过程。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程根与系数关系导学案
一元二次方程导学案003 2018、122.2.5二次三项式的配方（把二次三项式ax2+bx+c化为a（x+m）2+n的形式，从而确认代数式的取值范围及最值自主学习用配方法解方程：2x2—4x+1=0小组合作例1：将x2—4x+3配方化为a（x+m）2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：x2—4x+3•・•（） 2 0 （学生讨论，教师引导）••________________________••____________________________________例2：将2x2—x+2配方化为a（x+m）2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：2x2—x+2= （利用提公因式法，将二次项系数化为1 ）= （将括号里配成完全平方式）= （去括号、合并整理成a（x+m）2+n形式）•・•（以下取值范围及最值确定参照例1独立完成）••______________________________••____________________________________展示反馈用配方法说明：不论x取何值，代数式一2x2—x+1的值总不大于9，并求出当x取何值时这个代数式8的值最大，最大值？归纳总结分层训练1、已知代数式x2—5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？2、用配方法说明：已知代数式2x2-6x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？3、不论x取何值，代数式-3x2+6x—10的值总为负数，并求出当x取何值时这个代数式-3x2+6x—10的值最大，最大值多少？4、求证：对于任何实数X,代数式-12x2-3x-5的值恒为负数22.2・5一元二次方程根的判别式一、复习引入一元二次方程ax2+bx+c = 0 (aW0)只有当系数a、b、c满足条件b2—4ac___0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：①当b2—4ac>0时，方程有个的实数根x1=x2=②当b2—4ac = 0时，方程有个的实数根x =x = _______________③当b2=4ac<0时，方程____________ 实数根.4当b2—4ac N0时，方程 ___________ 实数根.应用式两个注意；①必须在一元二次方程"2+bx+c=0的一般形式下应用；②二次项系数(a 0)二、精讲点拨这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2-x+1 = 0,可由b2-4ac=0直接判断它实数根；三、合作交流方程根的判别式三大应用1、不解方程，判断方程根的情况。
一元二次方程根与系数的关系导学案
《一元二次方程的根与系数的关系》导学案单位：福田东湖学校 执教者：陈武校【学习目标】1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立；2.会运用根与系数关系解决有关问题。
【学习重点和难点】1.学习重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。
2.学习难点：对根与系数的关系的理解和推导。
【学习过程】一、自主学习、预习新知1、自习九年级上册p15-16页21.2.4 一元二次方程根与系数的关系的内容，初步感知一元二次方程根与系数的关系；2、一元二次方程的一般形式是： ，一元二次方程方程的解法有： ；3、一元二次方程的求根公式是： 。
二、自主探索，探究学习 探究1：填表，观察、猜想问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；②02=++q px x 的两根21,x x 用式子表示你发现的规律。
探究2：填表，观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律；② 02=++c bx ax 的两根21,x x 用式子表示你发现的规律：探究3.推断证明求根公式：a acb b x 2421-+-=a acb b x 2422---= =+21x x =21x x得出结论：02=++c bx ax (a ≠0)的两根为21,x x 则:=+21x x ， =21x x 三、达标检测，强化训练练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的21,x x 的和与积 (1) 01562=--x x (2) 09732=-+x x (3) 2415x x =- 练习2：1、如果-1是方程022=+-m x x 的一个根，则另一个根是 ，m = 。
2、设 21,x x 是方程0142=+-x x 的两个根，则 21x x + = ___ ,21x x ⋅ = ____，2221x x += 221)(x x +- = 221)(x x - = ( )2 - 214x x ⋅=3、判断正误：以2和-3为根的方程是062=--x x （ ）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _____ 。
一元二次方程根与系数的关系学案
一元二次方程根与系数的关系1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =12x x + 12.x x= == == == =注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________活动1：典型例题例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x 2－6x －15=0 （2）3x 2+7x －9=0 （3）5x －1=4x 2练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=例2：已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
练习2：若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为例3:已知α,β是方程x 2－3x －5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα11)1(+ 22)2(βα+ )3)(3)(2(++βα βα-)4(练习3：错误辨析已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有实数根，请判断下列结论的正确 （1）当21=k 时方程两根互为相反数（ ） （2）当0=k 时方程的根是1-=x （ ） （3）当1±=k 时方程两根互为倒数（ ） （4）当41≤k 时方程有实数根（ ） 例4:已知关于x 的方程3x 2－5x －2=0,且关于y 的方程的两根是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________练习4：已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的相反数为根的一元二次方程．活动2：随堂训练1．如果方程x 2+px+q=01+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．3．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______．4．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βαβ+=_______．5．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为___________.6.已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．7.已知一元二次方程的两根为_______ ．8．若方程x 2+6x+3a=0-3，则a 的值为_______，方程的另一根为________．9．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112xx x x +； （4）（x 1－x 2）2．10. 已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
第10讲一元二次方程根与系数关系-学案
对于一元二次方程2axbx c 0(a 0), 0方程有两个不相等的实数根;0方程有两个相等的实用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1) ___________________________________ 整理：把原方程整理成 ； (2) 确定a 、b 、c 的值，(各项系数若有分数，通常化为整数) (3) _____________ 计算的值，并判断这个值的正负：—卄 2b Ub 2 4ac2① 右b 4ac > 0，则写出公式x, 代入a 、b 、c 及b4ac2a的值并计算；写出答案：冶 _______________ , X2 _____________2② 若b 4ac 0，则方程没有实数根数根；0方程没有实数根，当方程有两根时，我们进行研究如下:IB 温故知新第10讲一元二次方程根与系数关系课堂导入廿匕典例分析(1 )如果关于x的方程X2X k 0 ( k为常数)有两个相等的实数根，求k的值。
(2)关于X的一元二次方程x2 22k 1 x 2 k 0有实数根，求k的取值范围。
(3)如果关于x的一元二次方程k2 x2 (2k 1)x 1 0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围。
者对于一元二次方程ax2bx c 0(a 0), 0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。
举一反三1.已知关于m的一元二次方程x2x m 0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。
2 k2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2(k 2)x0有实数根。
43.若关于x的一元二次方程kx2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ____________例1 .已知X i、X2是方程2X2+3X- 1=0的两个实数根，不解方程，求: ◎ ( X1 - X2)2；②的值._ , _2 2例2 •已知关于x的一元二次方程x (2 m 1)x m 0有两个实数根x和x <1 2(1)求实数m的取值范围(2)当x12x220时，求m的值。
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系导学案葛加建课标导读： 1、知识与能力：熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.2、过程与方法：学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.3、情感态度与价值观：培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.问题导思：已知方程 2x 2＋3x+1＝0的两根是x 1，x 2 ， 求x 1＋x 2＝ _______ x 1x 2＝_________探究1. 猜想方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：x 1＋x 2＝ _______ x 1x 2＝_________，如何推导出结论，前提条件是什么？1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x 1，x 2、k 是常数）(1）2x 2－3x ＋1＝0 x 1＋x 2＝ _______ x 1x 2＝_________ （2）3x 2＋5x ＝0 x 1＋x 2＝________ x 1x 2＝_________（3）5x 2＋x ＝2 x 1＋x 2＝ ________ x 1x 2＝_________2.下列哪些方程的两根之和等于1 （ ）(1）x 2－x ＋1＝0 (2）x 2+x ＋1＝0 (3）x 2－x-1＝0 (4）x 2+x-1＝0例题导练：探究二：利用根与系数的关系解决问题例题:1.已知方程x 2＋kx －6＝0的一个根为x 1＝2，则另一个根及k 的值。
2.设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋3x －4＝0的两个根，不解方程，求①x 1＋x 2＋2x 1x 2② x 21＋x 22③ （x 1 - x 2）2的值．变式训练：1. 若方程x 2－3x －k ＝0的一根为x 1=2，求另一个根及k 的值。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计
第二十一章一元二次方程21.2 一元二次方程解法复习*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.学习过程一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.一元二次方程的一般形式是什么?2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?3.你能说一下哪些方面能反映一元二次方程的系数与根的关系吗?(二)探究活动1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?填写下表:2.你发现了吗:如果x 2+px+q=0有两个根x 1,x 2,那么这两个根与系数有怎样的关系?3.一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)如果有两个根x 1,x 2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?二、信息交流,揭示规律1.学生尝试推导得出的结论方法一:ax 2+bx+c=0(a ≠0)➡x 2+b a x+c a =0,那么就有:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a .方法二:根据求根公式x=-b ± b 2-4ac (b 2-4ac ≥0),推导:2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根分别是x 1,x 2,那么:3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).三、运用规律,解决问题1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x 1与x 2的和与积:(1)x 2-6x-15=0;(2)3x 2+7x-9=0;(3)5x-1=4x 2.2.跟踪练习:不解方程,求下列方程两个根的和与积:(1)x2-3x=15;(2)3x2+2=1-4x;(3)5x2-1=4x2+x;(4)2x2+x+2=3x+1.3.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用关系解决问题时对步骤有什么要求?四、变式训练,深化提高1.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2=,x1x2=.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=,q=.3.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是,m=.4.已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是.5.判断正误:以2和-3为根的方程是x2-x-6=0.()6.设想x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,不解方程求下列式子的值:1 1+12;x12+x22;x12x2+x1x22.7.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.五、反思小结,观点提高1.本节课我们学习了一个什么关系?2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑?参考答案一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.ax 2+bx+c=0(a ≠0).2.x=-b ± b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0).3.根的判别式 求根公式.(二)探究活动填写下表2.x 1+x 2=-p ,x 1x 2=qx 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a二、信息交流,揭示规律1.x 1+x 2=-b + b 2-4ac 2a +-b - b 2-4ac 2a =-b + b 2-4ac -b - b 2-4ac 2a =-2b 2a =-b a . x 1x 2=-b + b 2-4ac 2a ·-b - b 2-4ac 2a =(-b )2-(b 2-4ac )4a 2=4ac 4a 2=c a .2.x 1+x 2=-b a ;x 1x 2=ca .三、运用规律,解决问题 1.解:(1)x 1+x 2=-(-6)=6,x 1x 2=-15.(2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3.(3)方程化为4x2-5x+1=0.x1+x2=54,x1x2=14.2.解:(1)原方程化为x2-3x-15=0,则x1+x2=3,x1x2=-15.(2)原方程化为3x2+4x+1=0,则x1+x2=-43,x1x2=13.(3)原方程化为x2-x-1=0,则x1+x2=1,x1x2=-1.(4)原方程化为2x2-2x+1=0,则x1+x2=1,x1x2=12.3.略四、变式训练,深化提高1.412.1-23.3-34.2-15.×6.解:根据根与系数的关系,x1+x2=3,x1x2=32,所以1 1+12=x1+x212=332=2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×32=6,x12x2+x1x22=(x1+x2)x1x2=3×3=9.7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=k-12,所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k-12+(-k)+1=4,解得k=-7.(2)因为k=-7,所以x1+x2=7,x1x2=-4,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.。
1.3一元二次方程根与系数的关系导学案
《1.3一元二次方程的根与系数的关系》导学案命题人：丰县 牛星惠 学生姓名_______________班级__________一、预习导学一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是1x 、2x ，那么21x x +=_____________，21x x ⋅=__________.证明：因为当042≥-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是=1x _____________， =2x ____________,所以，21x x +=_________________________________________； 21x x ⋅=______________________________________________________________.二、练习1.已知一元二次方程062=+-c x x 的一个根是2，则另一个根为（ ）A.2B.3C.4D.82. 已知1x 、2x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x ⋅的值是（ ）A.0B.2C.2-D.43.(2014,陕西)若x=﹣2是关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+a 2=0的一个根，则a 的值为（ ）A ． 1或4B ． ﹣1或﹣4C ． ﹣1或4D ． 11.求下列方程的两根之和与两根之积：（1）0122=+-x x ； （2）0322=+x x ；（3）2232=-x x ； （4）0162=-x .2. （2014,莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= ．3. （2014,哈尔滨）若x=﹣1是关于x 的一元二次方程x 2+3x+m+1=0的一个解，则m 的值为 ．4. （2014,江西）若,a b 是方程2230x x --=的两个实数根，则22a b +=_______.5.（2014,攀枝花）若方程012=-+x x 的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）A.1-=+βα 1-=αβB.C. 322=+βαD. 111-=+βα。
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
因此本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。
三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。
四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。
教学工具：ppt课件、白板笔。
五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：方法2：若ax2+bx+c=0两个根为x1, x2回答：研究方法：特殊------根与系数的关系：（七）教学反思本节课通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中的数据，发现规律得出结论，教师再引导他们进行合理的推理，从而得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感受数学的思维方式，激发学生学习的兴趣。
但是对于二次项系数是1的一元二次方程推导根与系数的关系，学生理解比较困难，需要教师加强引导与解释。
对于二次项系数不是1的时候可以让学生分小组分任务进行推导，教师参与引导，注意把控时间，环节（3）练习较多，但也得引导学生做完一个练习及时总结知识点和易错点。
1.3 一元二次方程的根与系数的关系 学案
1.3一元二次方程根与系数关系【目标导航】1.会根据一元二次方程求出两根之和和两根之积.2.利用根与系数关系求代数式的值.【预习引领】问题：利用公式法求出一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的两个根1x = ，2x = ；则12x x +=______ , 12x x ⋅=_______.【要点梳理】归纳一元二次方程的根与系数之间存在下列关系⑴20ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ⋅=______ . ⑵ 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x ,则12x x +=______ , 12x x ⋅=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题:①必须为一元二次方程(0a ≠);②一定在有根的条件下(△≥0). 练习 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --=（3）2230x -+=； （4）2250x x +=已知方程一根,求另一根及未知系数的值.例1 已知方程ax 2-7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值.1.已知方程2230x x m --=的一个根是12，求它的另一个根和m 的值.2.若一元二次方程22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.已知方程两根的关系,求未知系数的值例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值.1.已知方程x 2-2(m +1)x +m 2-2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数;m =1±时,方程两根互为负倒数. 2.若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是 不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）12(3)(3)x x --；（2）2212(1)(1)x x +++； （3）211211x xx x +++；（4）12x x -.根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ．⑴求k 的取值范围； ⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数.1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是 （ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．32.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7.例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为139，求m 的值.1.已知关于x 的一元二次方程222(2)(4)0x m x m +-++=有两个实数根,并且两个根的平方和比两根的积大21.求m 的值.例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---=（1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足11121=+x x ，求k 的值．例7已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根， (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例8当 k 取何值时，一元二次方程 2(23)240x k x k --+-=（1）有两个正根； （2）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.1.关于x 的一元二次方程0122=++x ax 的两个根同号，则a 的取值范围是2.若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m－1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞53-B ． m ≤12C ．m ＜53-D ． 53-＜m ≤123.已知21x x 、是一元二次方程01222=++-m x x 的两个实根.⑴求实数m 的取值范围；⑵如果m 满足不等式22212147x x x x +>+ 且m 为整数，求m 的值.【课后盘点】1.已知方程22230x x -+=的两根为1x 和2x ，则12x x += ，12x x =232.已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是________，另一根为 . 3.若方程22(4)0x m x m --+=的两根互为相反数，则m = .4.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m =4，n 2-6n =4，则mn 的值为( )A ．6B ．-6C ．4D ．-4 5.若一元二次方程02=+-m x x 有两个不相等的实数根x 1、x 2，且满足21121-=+x x ，则m 的值是（ ） A ． 2- B ． 21-C ． 21D ．26. 已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1211x x +的值是() A .3 B .－3 C .13 D .17.已知α、β是方程2320x x -+=的两根,求α2+αβ-3α的值.8.已知实数a 、b 分别是方程22630x x -+=两根,求3222626a a a b ab -+-的值.9.已知关于x 的方程260x x k -+=的两个实数根是1x 、2x ，且221212115x x x x --= （1）求k 的值； （2）求22128x x ++的值.10.已知关于x 的方程x 2－2(m +1)x +m 2=0. （1）当m 取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m 选取一个合适的非零整数．．．．，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.11.已知关于x 的方程062=+-m x x (m 为正整数)有两个实数根1x 、2x ,分别求下列两式的值:（1）(x 1-1)(x 2-1)； （2）362+-x x12.已知双曲线3y x=和直线2y kx =+相交于点11(,)A x y 和点22(,)B x y ，且221210.x x +=求k 的值.13.已知关于x 的方程220x kx k n -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ,且21212(2)8(2)150x x x x +-++=. （1）求证：0n <；（2）试用k 的代数式表示1x ；（3）当3n =-时,求k 的值.参考答案：练习 答：（1）12x x +=-3；12x x ⋅=1（2）12x x +=32 ；12x x ⋅= －31 （3）12x x +=0；12x x ⋅=－23 （4）12x x +=- 25；12x x ⋅=0 例1答：将x=2代入方程得 4a-20=0，a=5设另一根为m,∴2m=-56,得m=-531答：将x=12代入方程得12-23-m=0，∴m=-1设另一根为2x ，∴-2m =122x ，故2x =1 ∴m=-1，另一个根为1 2答：将x=0代入方程，得，322-+m m =0，∴m=-3或m=1 例2答：设两根分别为3n,2n, ∴5n=38, n=158∴263n m=∴m=218n =18)158(⨯2=405011521. -12.q p 922= 例3 答：（1）12(3)(3)x x -- =12x x ⋅-3（12x x +）+9= 21-3925+⨯=2 （2）2212(1)(1)x x +++=1212222112+++++x x x x=12x +22x +2（21x x +）+2=2)(22)(2121221+++-+x x x x x x =2252212)25(2+⨯+⨯- =4112（3）211211x xx x +++= 16112521251)25(1)()(2)(221212121221=+++-=+++++-+x x x x x x x x x x （4）12x x -=2174)()(21221221=-+=-x x x x x x例4答：（1）依题意得：04)12(22〉--k k 故得 41〈k （2）12x x ⋅=112=k，得1±=k ，而41〈k 故，1-=k1. C2. -6 例5答：设两根分别为,,21x x 则，12x x +=3m -12x x ⋅=32-，所以，=+2221x x 212212)(x x x x -+=1,9133492±=∴=+m m 1答：设两根分别为,,21x x 则，12x x +=)2(2--m12x x ⋅=42+m21212221=-+x x x x∴213)(21221=-+x x x x∴421)4(3)2(22=+--m m ∴m=17或m=-1 方程有实数根∴0,0)4(4)2(422≤≥+--m m m ∴ m=-1例6答：054)1(4)12(22〉+=----k k k ∴方程有两个不相等的实根 12x x +=)12(--k 12x x ⋅=1--k∴2111211212121=∴=+-=+=+k kk x x xx x x 例7答：依题意得，（1）31,0)1(4)1(42-〉∴〉--+k k k k （2）假设存在k 满足题意，设两根分别为,,21x x 则，12x x +=k k )1(2+ 12x x ⋅=k k 1- ,101)1(211212121-=∴=-+=+=+k k k x x x x x x 这与31-〉k 矛盾，故不存在k 满足题意。
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2.4一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。
【学习重点】观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系
【学习难点】对根与系数这一性质进行应用。
【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理
【提出问题】
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x 2－2x ＝0；
（2）x 2＋3x －4＝0；
（3）x 2－5x ＋6＝0
【尝试探索，发现规律】
1、完成如上表格。
2、猜想一元二次方程的两个根的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。
3、一般地，对于关于x 方程20(,x px q p q ++=为已知常数，240)p q -≥，试用求根
公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。
【知识应用】
1、（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：
①2310x x +-= ②22410x x -+=
（2）已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
（3）不解方程，求一元二次方程22310x x +-=两个根的①平方和；②倒数和。
（4）求一元二次方程，使它的两个根是11
3,232-。
【归纳小结】
【作业】
1、已知方程23190x x m -+=的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。
2、设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值。
①12(1)(1)x x ++；②2
1
12x x x x +
3、求一个一元次方程，使它的两个根分别为：
①4,7-；②13,13+-
4、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①2310x x -+=； ②2322x x -=； ③2230x x +=； ④231x =；。