2019北师大版数学必修5跟踪训练：第二章 3 解三角形的实际应用举例含解析

第二章解三角形
§
3解三角形的实际应用举例
[A组学业达标]
1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是()
A．a B.2a
C.1
2a D.
2
2a
解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，
∴∠C＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得AB
sin C ＝BC
sin∠BAC
，
即BC＝1
2a
2
2
＝2
2a.故选D.
答案：D
2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.
则A，B两点间的距离为()
A．50 2 m B．50 m
C．50 3 m D．50 6 m
解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得
AC
sin B
＝AB
sin C
，
即5012＝AB
22，解得AB ＝50 2.故选A.
答案：A
3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C 正前方有一高为a 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为( ) A.2a B.3a C.332a
D.32a
解析：由题意，∠BCA ＝∠BAC ＝30°， ∴AB ＝BC ＝a ，AC ＝ 3 a ，
△ADC 中，CD ＝AC sin 60°＝32 a ，故选D. 答案：D
4．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 相对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝( ) A.32 B.3－1 C ．2－ 3
D.22
解析：在△ABC 中，由正弦定理，得
BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin （45°－15°）＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定
理，得sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD ＝50（6－2）sin 45°50＝3－1.由题图知cos θ
＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1，故选B.
答案：B
5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于()
A.21
7 B.
21
14
C.321
14 D.
21
28
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°. 由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
所以BC＝207.
由正弦定理，得
sin∠ACB＝AB
BC·sin∠BAC＝
21
7.
由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝27
7.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝21
14.故选B.
答案：B
6．有一段长为10 m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.
解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得BC
sin∠BAC
＝AC
sin∠ABC
，
所以BC ＝
AC sin ∠BAC sin ∠ABC
＝10sin 45°
sin 30°＝102(m)．
答案：10 2
7．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．
解析：设t 小时时，B 城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°＝302
，即4t 2
－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝7
4.故|t 1－t 2|
＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝
（22）2－4×7
4＝1.
答案：1
8．在点O 观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P ，一分钟后，该物体位于点Q ，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R ，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ ＝________．
解析：由物体做匀速直线运动，得PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.如图，在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ .在△OPR 中，由正弦定理，得
2
sin （90°＋30°）
＝
OP
sin ∠ORP ＝cos ∠OPQ sin ∠ORP
.同理在△ORQ
中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ
sin ∠ORQ ＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ
，
所以1sin 30°·sin 120°2＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ ·sin ∠ORP
cos ∠OPQ ＝tan ∠OPQ ，所以tan ∠OPQ ＝
sin 120°2sin 30°
＝3
2.
答案：
3 2
9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在
两个相距为
3
2a的军事基地C和D处测得蓝方两支精
锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC
＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝
方这两支精锐部队之间的距离．
解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝
3
2a，∵
BC
sin 30°
＝CD
sin 45°
，
∴BC＝
6
4a.在△ABC中，由余弦定理，得AB
2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝
3
4a
2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队之间的
距离为6
4a.
10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B
处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n
mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若
渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔
船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 (n mile)，AC＝10×2＝20 (n mile)，∠BCA＝α.
由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，
解得BC ＝28 (n mile)．
所以渔船甲的速度为1
2BC ＝14(n mile/h)． (2)在△ABC 中，AB ＝12 n mile ，∠BAC ＝120°， BC ＝28 (n mile)，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，
所以sin α＝
AB sin 120°
BC
＝12×3228＝3314.
[B 组 能力提升]
11．(2019·桂林高一检测)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( ) A.7 km B.13 km C.19 km
D.10－3 3 km
解析：如图所示，15 min ＝14 h.
设甲、乙两船行驶1
4 h 分别到D 、C 点． ∴AD ＝1
4×8＝2 km. BC ＝1
4×12＝3 km.
∵∠EBC ＝60°，∴∠ABC ＝120°. ∵AB ＝BC ＝3， ∴∠A ＝∠ACB ＝30°.
在△ABC 中，由余弦定理可得：
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝32＋32－2×3×3cos 120°＝27.
∴AC＝3 3.
在△ACD中，由余弦定理可得：
DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠DAC＝4＋27－2×2×33cos 30°＝13.
∴DC＝13.所以B选项是正确的．
答案：B
12．(2019·承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔1 5000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108 s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为()
A．(15－183sin 18°cos 78°)km
B．(15－183sin 18°sin 78°)km
C．(15－203sin 18°cos78°)km
D．(15－203sin 18°sin 78°)km
解析：如图，∠A＝18°，∠ACB＝60°，
AB＝1 000×108×
1
3 600
＝30(km)
∴在△ABC中，BC＝30sin 18°
sin 60°
＝203sin 18°，
∵CD⊥AD，
∴CD＝BC sin∠CBD＝BC×sin 78°＝203sin 18°sin 78°.
山顶的海拔高度＝15－203sin 18°sin 78° (km)．故选D.
答案：D
13．(2019·丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，
B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从
C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D
可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以
观察到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中
CD＝23，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE
＝90°，
∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，则AB＝________．
解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，
在Rt△ACD中，AC＝3CD＝6，
在△ABC中，由余弦定理得
AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°
＝16＋36－2·4·6·1
＝27.
2
答案：27
14．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处
有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小
时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时
的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿
________方向去追，需要________小时才追赶上该
走私船．
解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，
在△ABC中，由余弦定理，得
(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10x cos 120°
化简得32x 2－30x －27＝0， 解得x ＝32或x ＝－9
16(舍去)， 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 由正弦定理， 得sin ∠BAC ＝
BC sin 120°AB ＝1521×32＝53
14，
所以∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． 38°13′＋45°＝83°13′. 答案：北偏东83°13′ 3
2
15．某人在塔的正东，沿着南偏西60°的方向前进60米后，望见塔在东北方向，
若沿途测得塔顶的最大仰角为60°，求塔高．
解析：如图，设AE 为塔，某人在塔正东的B 点，他在B 点沿南偏西60°前进60米后到达C 点，
则BC ＝60，
∠BAC ＝90°＋45°＝135°， ∠ABC ＝90°－60°＝30°， 在△ABC 中， 根据正弦定理有
BC sin ∠BAC ＝AC
sin ∠ABC
，
即60sin 135°＝AC sin 30°， 解得AC ＝30 2.
过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接EG ，
则∠AGE 为直线EG 与平面ABC 所成的线面角， 即为沿途测得塔顶的最大仰角， 故∠AGE ＝60°，在△ABC 中， S △ABC ＝12AG ·BC ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ， 即AG ＝
AC ·BC ·sin ∠ACB
BC
＝302×sin(180°－135°－30°)＝15(3－1)．
又因为AE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以AE ⊥AG ， 在直角△AEG 中，
塔高AE ＝AG ·tan ∠AGE ＝15(3－1)×tan 60°＝15(3－3)． 答：塔高为15(3－3)米．
16．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋
1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始影响基地持续2 h ．求台风移动的方向． 解析：如图，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一条直线上，且AD ＝20 n mile ，AC ＝20 n mile.
由题意，得AB ＝20(3＋1)n mile ，DC ＝20 2 n mile ，BC ＝102(3＋1)n mile.
在△ADC中，
∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC中，
由余弦定理，得
cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC2
2AC·AB
＝3
2.
∴∠BAC＝30°.
∵B位于A的南偏东60°方向，
且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．
又∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量CD
→的方向，即北偏西45°方向．
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