一类函数方程的振动准则

２ １ 拒 ０２
（） ３
贝 Ⅱ
≤ ≤１ ｎ＝１２ 且 ｌ ＝ ， ，Ｌ， ｉ ｍＡ
ｎ—’ ∞
这里 是方程（） １ 在区间［ １１１１ （ ） ］ ＋ ， 上唯一的实根。 Ａ
３ 主要 结果
ｉ 耍 ｐ （ Ａ （ ） Ｑｔ （ （ ｔ ＝＞ ） 里 ）
（ “ ） Ｐ ｔ （ ￡≥ Ⅱ （ ） ）
１
（） ５
将（） ５式代人（） ， １式 得
（ ） （ ） ｔ ＋ ） Ｉ （ ） ｘｅ ≥ｐ ｔ （ ） ｌＱ（ （Ⅱ Ｐ １ ＝ ｔ） （ｔ ｌ ）
．
（） ６
由条件 （）存在一个 ￡ ０和 ｔ≥ｔ， ４， ＞ ３ ２使得 ￡ ，≥ｔ时 ∈，ｔ ３
２１ ０２年 ８ 月
一
类 函数 方 程 的振 动 准 则
戴 丽 娜
（ 东石油化 工学院 理 学院数 学 系， 东 茂名 ５５ ０ ） 广 广 ２０ ０
摘要 ： 主要研究 了高 阶非线性变系数时滞 函数方程的解的振动性 。采 用反 证法和迭代法 ， 得到该 方程 解振动 的若 干个 充分
条件 ， 并且还 以实例对结果进行 了说 明和验证 。
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（） １
．
其 中， Ｑ（ ＝１２ Ｌ， ： Ｒ ， Ｒ Ｐ， ｉｉ ，， ｍ） ， 是 ＝（ ， 上 的一 个无 界子 集 。 由条 件 ，ｉ ｔ ０ ∞） ｌ ｍＯ ＝∞，∈， 表 ｔ 。 示 函数 Ｏ 的 ｉ 迭代 ， 即 ０ｔ ，“ ｔ （ｉ ， ＝０ １２ ； ，ｆ ０ ≥１ ｔ 次 亦 。 ＝ｔ０ ＝０ ｏｔ ｉ ，，Ｌ ａ ａＩ ， ） ＞ 为正 整数 （ ＝１２ Ｌ，） 且 ，， ｓ并
基金项 目： 广东石油化工学院理学院科 学研究重点项 目（Ｋ ００２ Ｌ ２ １０ ）
１者简介 ： 乍 戴丽 娜（９５ ， ， １６一） 女 广东茂名人 ， 讲师 ， 主要研究方向 ： 代数 ； 微分方程与动力系统。
广东石 油化 工学 院学报
１＝ １ ＋ ， ｌ＝ １一 Ａ 一 ， ＝１， Ａ Ｋ ｎ ２
（ ） （ （＋ （ （ ） ｌ『 （） ） （≥ ￡ ｔ 善 ｔ１ 一一， 茸１ ］ ）ｔ ｐ） ）ｒ ）［ １ ｋＰ ｔ（ ｌ 直 ＝ ，１ ｎ ｌ 一ｔ ＝ ｌ
＝（ （＋ （ Ｆ蕾 ］ｉ 坶一（ ］ ｐ ） Ｑ￡ ｌ ｋ Ｉ＋． ． （ ）Ｅ ） ＋ ［Ｉ ） ｍ －’ １ Ｐ
（） ２
１ ２一 ＝０ ＋Ａ
没 有正 的实根 。
（ｉ 果 ０ ｉ如 ） ≤Ａ≤ 引理 ２４： ０ ［ 设 ≤Ａ≤ ］
， 方程 （） 区间 ［Ｋ＋１ 去 １上存 在 唯一 的实根 。 则 １在 （ ） ］
，
， 义序 列 ［ ］：如下 ： 定 。
收 稿 日期 ：０ １ １ ２ ； 回 日期 ：０２— ４一 １ ２ １ —１ — ３ 修 ２ １ ０ Ｏ
Ｅ 直 茸ｐ ）≥＿ ￡（ （） Ａ￡ Ｑ） （￡ — 者 （ 骂 ｏ） ｅ ＞
将 （） 代入 （） ， ７式 ６ 式 有
（ ≥ｐ ｔ ＋（ ） （ ） Ａ一∞） ） 即 （ ） （ ， ≥丁 （） ｔ
（ ７ ）
由上式 再迭 代 ， 得
（ ）（ ｔ ≥ ） 茸Ｐ ￡（ （） 将 式 人１ （意 ： ｝ ＞ ， 上 代 （式注 到 １得 ） ）
则方 程 （） １的一切解 振动 。
—
（ ４ ）
。
证明： 假设 （ ） １有一 个非振 动解 （）不 妨设 （ ） ， ，≥ ｔ∈ ，因 ｌ ６ ＝∞， ｔ， ｔ ＞０ ｔ Ｅ， ｔ ｌ ， ｉ ｔ ｍ 故存在 ｔ ， ２ ∈，
ｔ≥ｔ， ２ １使得 ｘ ￣ ｔ ＞ ，∈， ｔ ２ （ Ｊ ０ ｔ ，≥ｔ ） 。因此 由（） １得 （ ≥ｐ ｔｘ ｔ， ） （） （ ）通过迭代 ， 有
∑ａ ＝１ 。
Ｊ Ｉ
１９ ，ｏ ａ和 Ｗｅ ｏｓｉ 先研 究 了对 方程 ９４年 Ｇ ｌ ｄ ｒ ｗｋ首 ｂ
（ （ ） ：Ｐ ｔ ｔ ＋Ｑ （ ） ｇ （ ） ｇ ｔ ） （ ） ） 。 ｔ （ ｔ ） （
的解 的振动 性进 行 了研 究 ， 到 了函数方 程 的解 的振动性 的若 干个 充分 条件 。 得 方 程 （） 括离 散变 量 的差 分方 程和具 连续 变量 的差分 方程 。函数方 程 的振动 性研 究 还刚 刚开 始 ， １包 文 献［ ２—８研 究 了各类 函数 方程 的振动 性 ， 到很 多结果 。 ］ 得
本文沿用文献［ — ］ ３ ５ 等的理论方法 ， 得到了具有连续变量的泛函方程解的振动性的若干个充分条件。
２ 引理 与 主要 结果
为 证 主 结 ，们 给 如 引 ，证 过 ： 。 了 明 要 果我 先 出 下 理及 明 程 记Ｋ 吾
引理 １ （） 【 ｉ如果 Ａ＞ ：
一
， 则方 程
≥Ｐ（ ） ￡ ＋ ￡ （ ）
ｉ ｌ ＝
Ｑｔ ［ｌ（） ｉ直茸 Ｏ］ （ ｋＰ （ ） ｔ ＝
关键词 ： 函数方程 ； 非线性 ； 变系数 ； 振动
中图 分 类 号 ： １５ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ９ —２６ （ｏ２ ｏ —０７ ０ ２ ５ ５２２ １）４ ０９— ４ ０
１ 引 言
考 虑 函数 方程
） ，ｉ （ ｇ ） ∈ ０ １ （ ｔ ＝Ｐ（ ） ｔ ＋ Ｑ ＼ ）ＩＩ “ｔ Ｉ ｓ ｎ “ｔ ， （ ， ） ０） ｔ （ ） ｆｔ Ｉ （
第２ ２卷
第 ４ 期
广 东石油化 工学 院学 报
Ｊｕｎ ｌｏ ｕ ｎ ｄ ｎ ｎｖ ｒ ｔ ｆ ｅ ｏｈ ｍｉａ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒａ ｆＧ ａ ｇ ｏ ｇＵ ｉｅｓ ｙｏ ｔ ｃ ｅ ｃｌＴ ｃ ｎ ｌｇ ｉ Ｐ ｒ
ｖ １２ Ｎ ． ｏ．２ ｏ４ Ａｕ ． ０ ２ ｇ ２ １