湘教版高中数学必修3课件 6.2.2 平行关系(二)课件1

又 CF∥B1H，∴EN∥CF，
又 EN⊄平面 A1FC，CF⊂平面 A1FC，CF⊂平面 A1FC
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∴EN∥平面 A1FC， 同理可证 MN∥平面 A1FC. 又 EN∩MN＝N，∴平面 EMN∥平面 A1FC.
方法点评 对于开放性问题，要仔细观察题目本身的特点，结 合相应的定理，大胆地进行猜想，然后给予证明．
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【训练 2】 如图，已知 α∥β，GH、GD、HE 分别交 α、β 于 A、B、C、D、E、F，且 GA＝9，AB＝12，BH＝16，S△AEC＝72， 求 S△BFD.
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解 ∵α∩平面 GAC＝AC，β∩平面 GBD＝BD，且 α∥β，
证明 (1)如图所示，连接 SB. ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
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(2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1，且直线 EG⊂平面 EFG，直线 FG⊂平 面 EFG，直线 EG∩直线 FG＝G. ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
纠错心得 本题是由点 A 的位置不确定引起的分类讨论，然 后由线面平行转化为线线平行，根据相似求 EG.
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明面面平行时，可利用面面平行判定定理的结论：如果一个平面
内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两
个平面平行．即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的
两条相交直线分别平行即可．
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【训练 1】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N， E，F 分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点．求证：平面 AMN ∥平面 EFDB.
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题型二 平面与平面平行的性质定理的应用 【例 2】 如图所示，已知平面 α∥平面 β，AB 与 CD 是两条 异面直线，且 AB⊂α，CD⊂β.如果 E，F，G 分别是 AC，CB，BD 的中点，则平面 EFG∥α∥β.
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证明 由已知条件可知 EF∥AB，又 AB⊂α，EF⊄α. ∴EF∥α，FG∥CD，则 FG 与 CD 可确定一个平面，设 BM ＝α∩平面 CDGF，由于 α∥β，故有 CD∥BM⇒FG∥BM⇒FG∥α. 如果 E，F，G 三点共线，则有 G∈平面 ABC⇒BG⊂平面 ABC ⇒D∈平面 ABC，即 A，B，C，D 共面，与 AB，CD 是异面直线 矛盾．故 E，F，G 三点不共线，即 EF 与 FG 是平面 EFG 内的两 条相交直线．∴平面 EFG∥α，而 α∥β.故平面 EFG∥α∥β.
第2课时 平面与平面的平行
【课标要求】 1．理解平面与平面平行的判定定理、性质定理的含义． 2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面 平行的判定定理、性质定理，并知道其地位和作用． 3．能运用平面与平面平行的判定定理、性质定理证明一些空 间面面关系的简单问题． 4．进一步培养自己的空间想象能力和逻辑推理能力，并养成 严谨思维的好习惯.
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【训练 3】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC 和 SC 的中点．求证：
(1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
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(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的 两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平 行，则这两个平面平行．
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2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来 作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平
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证明 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， ∵M，N，E，F 分别是 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点， ∴MN∥EF.又 MN⊄平面 EFDB，EF⊂平面 EFDB， ∴MN∥平面 EFDB.同理可证 AM∥平面 EFDB. 又 MN∩AM＝M，∴平面 AMN∥平面 EFDB.
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预习测评
1．平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则下列四种情况：
①a⊥b；②a∥b；③a 与 b 异面；④a 与 b 相交．
其中可能出现的情况有( )．
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
解析 只有 a、b 相交不可能．
答案 C
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自学导引
面面平行的判定定理、性质定理
定理 表示
面面平行的判定定理
面面平行的性质定理
一个平面内的 两条相交 直 如果两个平行平面同时和第三
文字叙述 线与另一个平面平行，则这 个平面相交 ，那么它们的
两个平面平行
交线平行
符号表示
a⊂α b⊂α a∩b＝P
a∥β b∥β
面，即 αa⊂∥αβ⇒a∥β，可用来证明线面平行． ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)即
αγ∥∥ββ⇒α∥γ.
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典例剖析 题型一 平面与平面平行的判定 【例 1】 如图所示，三棱锥 S-ABC 中，D，E，F 分别是棱 AC，BC，SC 的中点．求证：平面 DEF∥平面 SAB.
[正解] (1)当 BC 位于点 A 与平A 在 BC 与平面 α 之间时，
如图因为 BC∥平面 α，
同理有 BC∥EG，AADF＝EBGC，
即c－b b＝EaG，所以 EG＝ac－b b.
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(3)当点 A 和 BC 位于平面 α 两侧时，如图． 同理有 BC∥EG，AADF＝EBGC，即b－b c＝EaG，∴EG＝abb－c. 综上所述，EG 的长为abb＋c或ac－b b或abb－c.
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4．不同直线 m、n 和不同平面 α、β，给出下列命题： ① αm∥⊂βα⇒m∥β；② mm∥ ∥nβ⇒n∥β；③ mn⊂⊂βα⇒m、n 不共 面；④ αm∥∥βα⇒m∥β，其中错误的是________．
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解析 由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于 ②，n 可能在平面 β 内．对于③，如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1⊂平面 AD1，CC1⊂平面 CD1，而 AA1∥C1C，从而 A1A 与 CC1 可确定一个平面 AA1C1C，即 AA1、C1C 可以共面．对于④，m 可能在平面 β 内．故②③④错．
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2．正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行 的一对截面是( )．
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 解析 画图，如下图所示据面面平行的判定定理可得．
答案 A
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∴AC∥BD.同理可证 AE∥BF.
又∵∠EAC 与∠FBD 同向，∴∠EAC＝∠FBD.
又∵GA＝9，AB＝12，AC∥BD，∴BADC＝GGAB＝9＋912＝37.
同理，由 HB＝16，AB＝12，AE∥FB，可得AFBE＝74.
1 ∴SS△ △ABEFCD＝122FABE··BADC··ssiinn
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误区警示 考虑问题不全面导致漏解 【示例】 已知 BC∥平面 α，D 在线段 BC 上，A∉α，直线 AB、 AC、AD 分别交 α 于点 E、G、F，且 BC＝a，AD＝b，DF＝c，求 EG 的长．
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[错解] 如图，AB∩AC＝A，由 AB，AC 确定平面 β，所以 BC
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解 如图，设 N 是棱 C1C 上的一点，且 C1N＝14C1C，则平面
EMN 为符合要求的平面．证明如下：
设 H 为棱 C1C 的中点，连接 B1H，D1H，ME，MN，EN
∵C1N＝14C1C，∴C1N＝12C1H，
又 E 为 B1C1 的中点，∴EN∥B1H，
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证明 ∵D，E 分别是 AC，BC 的中点．
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB.
∵DE⊄平面 SAB，AB⊂平面 SAB，
∴DE∥平面 SAB.
同理 DF∥平面 SAB.
又∵DE∩DF＝D，∴平面 DEF∥平面 SAB. 方法点评 证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证
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方法点评 (1)要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进 行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．
(2)要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线 和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据， 切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．
⇒α∥β
α∥β α∩γ＝a
β∩γ＝b
⇒a∥b
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续表 图形表示
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自主探究 探究 1：在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行，对吗？ 提示 不对．在一个平面内的无数条直线是一组平行线时， 这两个平面有可能相交，必须是这个平面内所有的直线才行． 探究 2：若平面 α∥平面 β，a⊂α，点 B∈β，则在 β 内过 B 的 所有直线中有没有与 a 平行的直线？说明理由． 提示 有一条，∵α∥β，a⊂α，B∈β，∴B∉a，∴B 与 a 能确 定一个平面 γ，设 γ∩β＝l，有 B∈l，且 l∥α，过 B 在 β 内其他直 线均与 a 是异面直线．
⊂β，α∩β＝EG.因为 BC∥平面 α，
所以 BC∥EG.
在△AEG 中，AADF＝AAGC＝BECG，
所以AADF＝BECG，即b＋b c＝EaG，
所以 EG＝abb＋c.
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错因分析 由于本题并没有给出点A与BC及平面α的位置关 系(相对)，错解中忽略了点A在BC和平面α之间及点A和BC位于 平面α两侧的情况，只要补上这两种情况就可以了．
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3．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β 内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
解析 由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面， 由面与面平行的性质知AB∥A′B′， 同理AC∥A′C′，BC∥B′C′， 故两个三角形相似． 答案 相似
∠∠EFABCD＝FABE·ABCD
＝74×37＝34.
∴S△BFD＝43S△AEC＝43×72＝96. 课前探究学习
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题型三 线面平行、面面平行的综合应用 【例 3】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、M 分别 是棱 B1C1、BB1、C1D1 的中点，是否存在过点 E，M 且与平面 A1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．
答案 ②③④
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名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，
则 α∥β.即
a⊂α
b⊂α
a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可．
a∥β
b∥β
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.