高二数学月考试题及答案-临沂市临沭县第一中学2015-2016学年高二上学期第一次月考

临沭一中高14级高二上学期月度学业水平测试 数学试题 2015年10月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积等于( ) A ．32 3 B ．16 C ．326或16 D ．323或16 3
2．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于 ( ) A ．10
B ．211－2
C ．210－2
D ．210
3．不解三角形，下列判断正确的是( )
A ．a ＝4，b ＝5，A ＝30°，有一解
B ．a ＝5，b ＝4，A ＝60°，有两解
C ．a ＝3，b ＝2，A ＝120°，有两解
D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解 4．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 015等于( ) A ．－1 B ．－5 C ．1 D ．－4
5．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 6．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则111213
a a a ++＝( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
7．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )
A ．22
B ．21
C ．19
D ．18
8．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则a
b 等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三内角A ，B ，C 所对的边，若B ＝2A ，则b ∶2a 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．(－1,1)
D ．(1
2
，1)
10．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )
A ．4016
B ．4015
C ．4014
D ．4013
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效． 2．答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：（本大题共5个小题.每小题5分；共25分．）
11．A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛与B 岛成60°角，从C 岛望B 岛与A 岛成45°角，则B 、C 间距离为________．
12．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 13．化简1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n
的结果是________．
14．在锐角三角形ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 为BC 边上的高，且BD ＝2，DC ＝3，则三角形ABC 的面积是________．
15．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1
d
等于________．
三、解答题：本大题共6个小题. 共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．(本小题12分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．
17．(本小题12分)在△ABC 中，已知sin C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，试判断三角形的形状．
18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0.
19．(本小题12分) 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π
4)的值．
20．(本小题13分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，
sin(B －A )＝cos C .
(1)求A ，C ；
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .
21．(本小题14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n
n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的
图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝3a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m
20对所有n ∈N ＋都成立的最小
正整数m .
临沭一中高14级高二上学期月度学业水平测试 数学试题参考答案 2015年10月
1．解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得64＝192＋c 2－2×83c ×cos30°， ∴c 2－24c ＋128＝0，解得c ＝8或16. 当c ＝8时，S △ABC ＝
12bc sin A ＝163；当c ＝16时，S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝32 3. 答案：D 2．解析：
1
1222
n n n n a a ++== ∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.
1011102(12)
2212
S -∴==--
答案：B
3．解析：A 中∵b sin30°<a <b ，∴三角形有两解，A 不正确；B 中∵a >b ，∴A >B ，B 为锐角，∴三角形有一解，B 不正确；C 中 ∵a >b ，∴三角形有一解，C 不正确；D 中∵a <b sin60°，∴三角形无解，D 正确． 答案：D
4．解析：由题意可得a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，…，可知数列{a n }是以6为周期的数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，又知2 015除以6余数为5， 所以a 2 015＝a 5＝－5. 答案：B
5．解析：由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理可知a 2＝b 2＋c 2⇒A 为直角； 而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C . 综合上述：B ＝C ＝π4，A ＝π2.
答案：D
6．解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.122=+1035a a d =，
11121312=3=105a a a a ∴++
答案：B
7．解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .
则依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②
a 1
＋a
n
2·
n ＝234，③
①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝
36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝36
2＝18.故选D.
答案：D
8．解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0， ∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a
b ＝4.
答案：D
9．解析：b 2a ＝sin B 2sin A ＝sin2A 2sin A ＝cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，故0<A <π3，∴cos A ∈(1
2，1)．
答案：D
10．解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得
14014200720084014()4014()4014
022a a a a S +⨯+⨯==>
1401540152008()4015
401502
a a S a +⨯=
=⨯<
所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选C. 答案：C
11．答案：5 6 n mile
12．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，
所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，
2n －3，n >1.
答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，2n －3，n >1
13．解析：∵1
1＋2＋3＋…＋n ＝
2n n ＋＝2(1n －1n ＋1
)，
∴原式＝2(11－12)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2n
n ＋1.
答案：2n
n ＋1
14．解析：设AD ＝h ，则tan ∠BAD ＝2h ， tan ∠CAD ＝3h ，又∠BAD ＋∠CAD ＝π
4，
故2h ＋3
h 1－6h 2
＝1⇒h 2－5h －6＝0.∴h ＝6或h ＝－1(舍去)
故1
6(23)152
ABC S ∆=⨯⨯+=. 答案：15
15．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝
8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d . ∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝9
10.
答案：9
10
16．(本小题12分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数． 解：设三数为a
q ，a ，aq .
由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 3
＝512，a
q －＋aq －＝2a ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝8，
q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝8，q ＝12
.
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
17．(本小题12分)在△ABC 中，已知sin C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，试判断三角形的形状．
解：∵sin C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，
由正弦定理得c (cos A ＋cos B )＝a ＋b ，
再由余弦定理得c ·c 2＋b 2－a 22bc ＋c ·a 2＋c 2－b 2
2ac ＝a ＋b ，
∴a 3＋a 2b －ac 2－bc 2＋b 3＋ab 2＝0 ∴(a ＋b )(c 2－a 2－b 2)＝0，
∴c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为直角三角形．
18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )
＝(a ＋a 2＋…＋a n )－
n
n ＋2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
a
－a n 1－a
－
n
n ＋2
a ，
n －n 2
2
a
＝
19．(本小题12分) 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π
4)的值．
解：(1)在△ABC 中， 根据正弦定理，AB sin C ＝BC
sin A ，
于是AB ＝sin C
sin A
BC ＝2BC ＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25
5，
于是sin A ＝1－cos 2A ＝
5
5
. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝3
5，
所以sin(2A －π4)＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝2
10
.
20．(本小题13分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，
sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c . 解：(1)∵tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B
，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，∴sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋
cos C sin B ，
即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，
得sin(C －A )＝sin(B －C )．∴C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)． 即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3.∴B ＋A ＝2π
3
.
又∵sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π
12.
(2)S △ABC ＝1
2ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，
又
a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 3
2
，得a ＝22，c ＝2 3. 21．(本小题14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n
n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象
上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝3a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m
20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整
数m .
解：(1)依题意得，S n
n
＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5. 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1
＝
3
n －
n ＋
－5]＝12(16n －5－16n ＋1
)， 故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－1
6n ＋1
)．
因此，使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m
20，即m ≥10，故满足要求的
最小正整数m 为10.。