九年级数学上圆周角专项练习

垂径定理和圆周角专题
一、知识梳理
1.圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．
例1：如图，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,那么∠.
例2：如图，圆心角∠100°，那么∠．
例3：〔2007威海〕如图，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，假设C D E ==∠∠∠，那么A B +=∠∠º．
O
A
B
C
〔例4〕
B
E F C
D
G O
例
例4：〔2007常德〕如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，
40
EOD ∠=，那么DCF ∠=．
2.圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。

例5：：如图，•是⊙O•的直径，∠•30•°，那么∠．
例6：〔2007南京〕⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，那么⊙O 的半径为cm ．
例7：〔2006青岛〕某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，以下图是水平放置的破裂管道有水局部的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面；
_
. .
.
C
(2)假设这个输水管道有水局部的水面宽＝16，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径.
二、稳固练习
1.〔2007浙江温州〕如图，ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，那么圆心角AOB ∠是〔 〕
A ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒
2.(2007四川宜宾)：如图，四边形是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，那么∠的度数是〔 〕
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.〔2006·陕西省〕△中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，＝6，那么△外接圆的半径为〔 〕 A ．32
B ．33
C ．3
D ．3
4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是〔 〕
O
D C
B A
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．60° 5.(2007上海)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔 〕
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块
6.〔2021山东德州〕如下图，是⊙O 的直径，＝，与交于点C ，那么图中与∠相等的角有〔 〕
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7.〔2021浙江台州〕以下命题中，正确的选项是〔 〕 ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤8.〔2021南京〕如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙
O 的半径为2，
那么等边三角形ABC 的边长为〔 〕
B
E
D
A
C
O
〔第8
A B
C
O
A ．3
B ．5
C ．23
D ．25
9.〔2006·盐城市〕四边形内接于⊙O ，且∠A ：∠C ＝1∶2，那么∠＝ .
10.〔2007山东枣庄〕如图，△内接于⊙O ，∠120°，，为 ⊙O 的直径，6，那么＝。

11.〔2021南京〕如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．
这样的监视器台。

12.〔2021龙岩〕如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读
数分别是70°、40°，那么∠1的度数为。

〔第11
65
° °
O
A B
O C x
P
13.〔2021海南〕如图,是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠30°，点P ∠，那么x 的取值范围是.
14.〔2021庆阳〕图中ABC △外接圆的圆心坐标是．
15.〔2007山东济宁〕如下图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧上，此时∠＝56°，那么α的度数是. 16.〔2007沈阳〕如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，＝，交于点E ，连接、． 〔1〕求证：平分∠；
〔2〕假设＝3，＝6，求的长．
17.〔2021广东湛江〕如下图，为⊙O 的直径，是弦，且⊥于点E ．连接、、．
〔1〕求证：∠∠．
〔2〕假设8cm ，24cm ，求⊙O 的直径．
第16题图
E
D
B
O
C
18.〔2021陕西〕如图，在△中，∠＝90°，＝5，＝12，是△的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边交于点E ，连接。

〔1〕求证：＝；
〔2〕求△外接圆的半径。

1、〔2021•牡丹江〕⊙0的直径40，弦⊥于点E ，且32，那么的长为〔 〕 A 、12 B 、8C 、12或28 D 、8或32
2、〔2021•绍兴〕如图，为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上．假设∠16°，那么∠的度数是〔 〕
A 、74°
B 、48°
C 、32°
D 、16°
1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦的距离的长为3，那么弦的长是〔 〕
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
B
★★2．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，M是弦上的一个动点，那么线段长的最小值为〔〕
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 ，最短弦长为8，那么的长为〔〕
A．9 B．6 C．3 D．cm
41
答案：C
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子、在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度8个单位，6个单位，那么圆的直径为〔〕
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
答案：B
★★5．如图，O
⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cm
CD ，那么直径AB的长是〔〕
A．
B． C． D．
★★6．以下命题中，正确的选项是〔〕
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案：D
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形〔劣弧〕，其跨度为24米，拱的半径为13米，那么拱高为( )
A．5米B．8米C．7米D．53米
答案：B
★★★8．⊙O的半径为5，弦，且86,那么与之间的距离为( ) A． 1 B． 7C． 3 或4 D． 1 或7
答案：D
★★★9．等腰△的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边的长为8，那么边上的高为( )
A．2B．8C．2或8D．3
答案：C
★1．是⊙O的弦，＝8，⊥与C，3，那么⊙O的半径为
答案：5
★2．在直径为10的圆中，弦AB 的长为8，那么它的弦心距为 答案：3
★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6
★★4．是⊙O 的弦，＝8，⊥与C ，3，那么⊙O 的半径为 答案：5
★★5．如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足为E ，假设∠＝120°，＝3厘米，那么＝厘米
图 4
答案：★★
6．半径为6的圆中，垂直平分半径的弦长为.
答案：★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为
4cm ，那么的长等于 ★★8．是⊙O 的直径，弦⊥，E 为垂足，8
，1，那么 答案：★★9．如图，为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，⊥于点D ，交⊙O 于点C ， 且＝l ，那么弦的长是
答案：6
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如下图，＝16m ，半径＝10m ，那么中间柱的高度为m
答案：4
★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于
A 、
B 两点，P(4，2)
和A(2，0)，那么点B 的坐标是
答案：(6，0)
★★12．如图，是⊙O 的直径，⊥于点D ，6，那么
答案：3
★★13．如图，矩形与圆心在上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，10，
8，那么
B A P
O y
x
答案：3
★★14．如图，⊙O的半径是5，P是⊙O外一点8，∠30º,那么
答案：6
★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦∥，＝24，＝10，那么和的距离是
答案：7 或17
★★★16．是圆O的弦，半径垂直，交于D，假设8，2，那么圆的半径为
答案：5
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米
答案：5
2
★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是
厘米
答案：7或1
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个
隧道所在圆的半径OA是米
答案：5
★★★20．如图，为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧的中点，交弦于点D 。

假设8，2，那么的长为
答案：3
★★★21．等腰△的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边的长为8，那么边上的高为
答案：8或2
★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，那么折痕AB 的长为
答案：★★★23．如图，⊙O 的的半径为5，直径⊥弦，垂足为E ，6，
那么∠B 的余切值
为
答案：
3
O
D A B
C
三.解答题
★★1．⊙O 的弦长为10，半径长R 为7，是弦的弦心距，求的长
答案：★★2．⊙O 的半径长为50，弦长50.
求：〔1〕点O 到的距离；〔2〕∠的大小
答案：〔1
〕〔2〕060
★★3．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深为15cm ，求油面宽度
答案：40
★★4．如图，⊙O 的半径长为5，弦与弦平行，他们之间距离为7，6求：弦的长．
答案：8
★★5．如图，是⊙O 的直径，⊥，垂足为点E ，如果，12m ，求△的周长
答案：
★★6．如图，C 是弧的中点，交弦于点D ．∠120°，8．求的长
答案：
★★7．：如图，是⊙O 的直径，是⊙O 的弦，⊥，垂足为点E ，8，
10．
求：〔1〕的长；〔2〕∠B 的正弦值
答案：〔1〕3 〔2
★★★8．如下图，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C ，交弦于点D 。

：24，8
〔1〕求作此残片所在的圆〔不写作法，保存作图痕迹〕；
〔2〕求〔1〕中所作圆的半径.
13
A
B C D E
O
．
C
★★★9．如图，⊙O 是△的外接圆，圆心O 在这个三角形的高上，10，12．
求⊙O 的半径
答案：
254
★★★10．如图，⊙O 的半径长为25，弦长为48，C 是弧的中点．求的长．
答案：30
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度〔弧所对的弦长〕为，拱高〔弧的中点到弦的距离，也叫拱形高〕为，求桥拱的半径〔准确到〕
C
A
B O
答案：
★★★12．：在△△的外接圆的半径.
答案：25
3
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。

为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得长为240米，A到的距离为5米，如图5所示。

请你帮他们求出滴水湖的半径。

答案：
★★★14．如图是地下排水管的截面图〔圆形〕，小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形
弧上取了A,B两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量米，
∠ABC°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。

=
87
.
36
〔87.36sin °60.0≈，87.36cos °80.0≈，87.36tan °75.0≈〕
答案：
2512
★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水〔如图〕，此时的水面宽为0.6米．
〔1〕求此时的水深〔即阴影局部的弓形高〕；
〔2〕当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
答案：
★★★16．：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，⊥，垂足为点D ，F 是AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 ，2EF =. 〔1〕求AO 的长；
〔2〕求sin C 的值.
C
A B
答案：〔1〕5 〔2
〕45
★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形，求正方形面积。

答案：23
四.证明题
★★1．如图，是⊙O 的弦〔非直径〕，C 、D 是上的两点，并且。

求证：
答案：略
★★2．如图，AB 是⊙O 的弦，点D 是弧中点，过B 作的垂线交的延长线于C ．
求证：＝ A
B
C D
O
E
答案：略
★★3．：如下图：是两个同心圆，大圆的弦交小圆于，求证：
答案：略
★★★4．如图，、是⊙O 的弦，且，⊥，⊥，垂足分别是点M 、N ，、的延长线交于点P ．
求证：
答案：略
★★★5．：如图，点P 是⊙O 外的一点，与⊙O 相交于点A 、B ，与⊙O 相交于C 、D ，．
求证：〔1〕平分∠；〔2〕
答案：略 O
B
A C
B A
D C O ·
★★★6．：如下图，点P 是⊙O 外的一点，与⊙O 相交于点A 、B ，与⊙O 相交于C 、D ，.求证：〔1〕；〔2〕AE EC
答案：略
五.作图题
★★1．弧,用直尺和圆规平分这条弧．
九上专项练习参考答案
——圆周角 O
D
C P A B
A
B
一、知识梳理例1：②⑥
例2：55°
例3：130°例4：135°例5：20°
例6：60°
例7：2
例8：
例9：52
例10：
二、稳固练习
1 2 3.A 4 5 6 7 8
9.120°
12.15°
13. 30°≤x≤90°
14.(52)，
15. 52°
16.〔1〕证明：∵＝
∴=
AB BC
∴∠＝∠，∴平分∠
〔2〕解：由〔1〕可知AB BC
=，∴∠＝∠
∵∠＝∠
∴△∽△∴＝
∵＝3，＝6
∴＝9∴2＝·＝3×9＝27
∴＝3
17.证明：(1)∵为⊙O 的直径，是弦，且⊥于E ，
∴， CB DB =
∴∠∠
∵∴∠∠
∴∠∠
(2)设⊙O 的半径为，那么--8 2121
⨯24=12
在∆中，由勾股定理可得
222 即2 (R -8)2 +122 解得 13 ∴22⨯13=26 答：⊙O 的直径为26．
18.〔1〕证明：∵∠＝90°，
∴为直径。

又∵是△的角平分线，
∴CD DE =，∴AC AE =
∴＝
〔2〕解：∵5，12，
13= ∵5，∴13-5=8
∵是直径，∴∠∠90° ∵∠∠B ，∴△∽△
∴，∴ ＝
103
==∴△外接圆的半径为
19.答：〔1〕PDC △为等边三角形． 理由：ABC ∵△为等边三角形 AC BC =∴，
又∵在O 中PAC DBC ∠=∠ 又AP BD =∵
APC BDC ∴△≌△．
PC DC =∴
又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°
1302
BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=° 303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形． 〔2〕PDC △仍为等边三角形 理由：先证APC BDC △≌△〔过程同上〕 PC DC =∴60BAP PAC ∠+∠=∵°
又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠
60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴° 又PC DC =∵
PDC ∴△为等边三角形．。