人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 培优课——排列与组合的综合应用

解析 分三步:第 1 步,将 5 名职工分成 3 组,每组至少 1 人,则有(
C15 ×C24 ×C22源自A22A22+
)种不同的分组方法;第 2 步,将这 3 组职工分到 3 地有A33 种不同的方
法;第 3 步,将 3 名副局长分到 3 地有A33 种不同的方法.根据分步乘法计数原
C35 ×C12 ×C11
A.48
B.36 C.24 D.12
解析 分两类:第 1 类,若 A 学校只有 1 人去实习,则不同的分配方案的种数是
C31 C32 A22 =18.第 2 类,若 A 学校有 2 人去实习,则不同的分配方案的种数是
C32 A22 =6.根据分类加法计数原理,不同的分配方案的种数是 18+6=24.故选 C.
规律方法
有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素,或者
“至少”或“最多”含有几个元素.
(1)“含”或“不含”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素取出,再由另外
元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维,用间接法处理.
问题1某些排列问题对特殊对象有特殊要求,根据题意,如何对特殊对象进
行讨论,再利用排列数解决问题?
【例1】 (1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排
B)
甲,则不同的排法共有(
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
解析 第 1 类,甲在最左端,有A55 =120 种排法;
的选法种数为C74 − C44 =34.所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的选法种数
为 120-34=86.
(2)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条
件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A )
分组 不需要除以全排列数
探究点四
排列、组合的综合应用
问题4排列组合综合问题通常需要先选再排,通过组合数与排列数解决问
题时,如何适当建模?
【例4】 3名男生和3名女生共6名同学站成一排,若男生甲不站两端,3名女
生中有且只有2名女生相邻,则不同的排法有多少种?
解 先考虑女生,从 3 名女生中选 2 名,有C32 种方法.再考虑顺序,有A22 种方法.
A.130 B.120
C.90
D.60
解析 易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三类讨论:
第 1 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其等于 1
或-1,其余等于 0,共有C51 × C21 =10 种情况;第 2 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此
再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,故共有A22 × A33 × C31 =2×6×3=36 种不同的摆
法.
规律方法
求解排列问题的六种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
插空法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元
素的内部排列
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元
C26 C24 C22
究舱.若每 2 人一组分到三个研究舱时,共有
A33
A33 =90 种安排方案.若按人
数为 1,2,3 分为 3 组分到三个研究舱时,共有C63 C32 A33 =360 种安排方案.故共有
90+360=450 种安排方案.故选 B.
1 2 3 4 5 6
4.(例2对点题)[2024山东青岛高二期末]一排有8个座位,如果每个座位只能
径运动队中选出4人参加比赛,要求男生、女生都有,则男生甲与女生乙至
少有1人入选的方法种数为( B )
A.85 B.86 C.91 D.90
解析 (方法一 直接法)由题意,可分三类考虑:第 1 类,男生甲入选,女生乙不
入选的方法种数为C31 × C42 + C32 × C41 + C33 =31;
第 2 类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为C41 × C32 + C42 × C31 + C43 =34;
本节要点归纳
1.知识清单:(1)有限制条件的排列、组合问题;(2)分组、分配问题.
2.方法归纳:分类讨论、插空法、隔板法、均分法.
3.常见误区:(1)分类不当;(2)平均分组理解不到位.
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1.(例1对点题)[2024陕西榆林二模]甲、乙、丙、丁四人计划一起去某市旅游,
他们从A,B,C,D,E,F,G这7个景点中选4个游玩(按照游玩的顺序,最先到达的称
择两个将空座位排上,有C42 种排法.综上所述,共有A44 × C51 × C42 =720 种排法.
1 2 3 4 5 6
5.(例3对点题)某局安排3名副局长带5名职工去3地调研,每地至少去1名副
局长和1名职工,则不同的安排方法种数为( B )
A.1 800
B.900
C.300
D.1 440
C35 ×C12 ×C11
第 2 类,乙在最左端,有 4× A44 =96 种排法,
所以共有 120+96=216 种排法.
(2)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相
邻,则不同的摆法有
36 种.
解析 记其余两种产品为 D,E,由于 A,B 相邻,则视为一个元素,先与 D,E 排列,
有A22 × A33 种方法.
第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有C52 种分法;
第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有C33 种分法.
根据分步乘法计数原理,共有C61 × C52 × C33 =60 种分法.
再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有A33 =6 种分法,故共有 60×6=360 种不同的
选出 2 名女生后,再考虑男生.将 3 名男生任意排列,有A33 种不同的排法.
再把 2 名相邻女生看成一个整体,和另一名女生看成两个元素插入 3 名男生
产生的 4 个空中,有A24 种不同的排法,共有C32 × A22 × A33 × A24 种不同的排法.
若男生甲站两端,则甲可能站左端,也可能站右端,有C21 种不同的方法,将其他
时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等
于-1,其余等于 0,共有 2× C52 + C52 × C21 =40 种情况;第 3 类,
|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取三个都等于 1 或都等于
探究点三
分组分配问题
问题3分组分配问题是先将对象进行分组,再按要求进行分配.那么,平均分
组与非平均分组两者有什么区别与联系?
【例3】 (1)现有6个师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有
90 种不
同的分派方法.
C26 ×C24 ×C22
解析 先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有
A33
种方法,再将 3 组毕业生分到
2 名男生排列,有A22 种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有A23 种不
同的排法,共C32 × A22 × C21 × A22 × A23 种不同的排法.
故满足条件的排法有C32 × A22 × A33 × A24 − C32 × A22 × C21 × A22 × A23 =288 种.
第 3 类,男生甲入选,女生乙入选的方法种数为C32 + C41 × C31 + C42 =21.
所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31+34+21=86.
(方法二 间接法)从 5 名男生和 4 名女生中任意选出 4 人,男、女生都有的
选法种数为C94 − C54 − C44 =120;男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选
1 2 3 4 5 6
3.(例2对点题)6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作,每名研
究人员必须去一个舱,且每个舱至少去1人,由于空间限制,每个舱至多容纳
3人,则不同的安排方案共有( B )种.
A.720
B.450
C.360
D.180
解析 由题意可知,6 名研究员可按人数为 2,2,2 或 1,2,3 分为 3 组分到三个研
第 3 步,从剩下的景点中选择任意两个景点游玩,有A25 种安排方法.故可得他
们这四站景点的选择种数为C21 C51 A25 =200.故选 B.
1 2 3 4 5 6
2.(例2对点题)甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A,B,C三所学校实习,若每所
学校至少分到一人,且甲不去A学校实习,则不同的分配方案的种数是( C )
目录索引
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.能够判断所研究的问题是不是排列或组合问题.(数学抽象)
学习目标
2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式的计算技能.(数学运算)
3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的方法.(数学建模、数
学抽象、数学运算)
重难探究·能力素养速提升
探究点一
排列问题
素插在前面元素排列的空中
定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的
除法处理 全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
探究点二
组合问题
问题2某些组合问题对特殊对象有特殊要求,根据题意,如何对特殊对象进
行讨论,再利用组合数解决问题?
【例2】 (1)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田
坐1人,现安排四人就座,恰有两个空位相邻的不同排法有 720
种.(用数
字作答)
解析 可看成 4 个坐着人的座位和 4 个空座位排队.第 1 步,先安排 4 个坐着
人的座位,共有A44 种排法.第 2 步,将空座位插入产生的空中,将相邻的两个空
座位捆在一起,看作一个元素,有C51 种排法,然后再从剩余的 4 个空中任意选
C26 ×C24 ×C22
3 所学校,有A33 种方法,故将 6 个毕业生平均分到 3 所学校,共有
A33 =90 种不同的分派方法.
A33
×
(2)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有_______
360
种不同的分法.
解析 将 6 名教师分组,分三步完成:
第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有C61 种分法;
为第一站,后面到达的依次称为第二、三、四站),已知他们第一站不去D景点,
且第四站去E景点或F景点,则他们这四站景点的选择种数为( B )
A.180
B.200
C.240
D.300
解析 分三步:第 1 步,先考虑第四站,第四站去 E 景点或 F 景点,故有C21 种安排
方法.第 2 步,考虑第一站,去掉 D 景点以及第四站去的景点,有C51 种安排方法.
-1 或两个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,其余等于 0,
共有 2C53 + C52 × C31 + C51 × C42 =80 种情况.根据分类加法计数原理,满足条件
的元素个数为 10+40+80=130.
(3)从6名男生2名女生共8名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2
规律方法 1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先
把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
2.解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
(1)元素是否有序.
(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是
分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
分法.
规律方法
分组分配问题的三种类型及求解策略
类型 求解策略
整体 解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组
均分 后一定要除以 A (n为均分的组数),避免重复计数
部分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相
均分 等,则分组时应除以m!
不等 只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以
人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 660 种不同的选法.
解析 第 1 步,从 8 名学生中选出 4 人,且至少有 1 名女学生的选法种数为C84 −
C64 =55.
第 2 步,从 4 人中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人的选法种数为
A24 =12.
根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为 55×12=660.