广东省揭阳市高考一模文科数学试题答案

通知：
各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。

希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。

报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。

谢谢支持！
绝密★启用前
揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：1
3
V Sh =
．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为
40－50岁50岁以上40岁以下30%20%
50%
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．“a b >”是 “2
2
a b >”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．双曲线22
2214x y a a
-=(0)a >的离心率为
A.
5 B.
5
C.2
D. 3
5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为
A. 2-
B. 2
C.
12 D. 1
2
- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1
(2,)2
，则其反函数的解析式为
A. 4x y =
B.4log y x =
C.2x
y = D. 1()2
x y =
7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为
A.8
B.12
C.20
D.30
8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
，
，表示的平面区域的面积为 图1
A. 14
B.5
C. 3
D. 7
9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；
C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；
D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.
10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨
≥⎩；max{,}a b =,()
.()
a a
b b a b ≥⎧⎨<⎩.
则下列各式中恒成立的个数为
①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--
F
E A
C
B 36
48
78
84
51
162
139
49
66
124
134
159
102
88
75
71
45
69
93
98
10997
75
46196183120
70
36
126
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
80
日期
（
AQI
）
指数
40
120
160200③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）
11．不等式2
3100x x --<的解集为 ．
12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 6
3
A =， 则b = ．
13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，
若11a =，则
333121010()()()
21()
3
f a f a f a +++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24π
ρθ+
= 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF
△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==
则BC 边的长为 ． 图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)
已知函数()2sin()(0,)6
f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2
()3
f α=
，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.
17.(本小题满分12分)
图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.
图3
（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30
天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？ （图中纵坐标1/300即
1
300，以此类推） 图4
18．（本小题满分14分）
如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，
6AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．
（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；
（2）设平面
BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．
图5
19. (本小题满分14分)
已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*
n N ∈），且212a =．
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：
12
11113
n S S S +++
<． 20. (本小题满分14分)
已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)
已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．
（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；
（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；
（3）证明：
1
1
sin
ln(1)1
n
k n k =<++∑．
2015揭阳市数学(文科)参考答案
一、选择题：BBDAC ABDCB
解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.
二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12
.13. 3；
14.
.
解析：13.由2
'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令
0y =得123
k k a a +=
123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比2
3q =的等比数列，又
310(f f f a +++101011210(1)
3(1)1a q a a a q q
-=++
+==--，所以
31010
(31()
3
f a ++=-.
15．依题意得BE =
BEA ∽△CFA
得
AE BE AB
AF FC AC
==
,所以2,AF =6,AC = BC
三、解答题： 16．解：（1）由2π
πω
=得=2ω----------------------------------------------------2
分
（2）解法1：由π2()2sin(2)63
f αα=+= 得π1
sin(2)63α+= -----------------------3分
∵(0,)8πα∈，∴
5π
2(
, )6612
ππα+∈， --------------------------------------------4分
∴πcos(2)63
α+
==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66
π
π
αα=+
-----------------------------------------------------8分
cos(2)cos sin(2)sin 6666
ππππ
αα=+++ ----------------------------------------10分
231161
32326
=
+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π
2()2sin(2)63
f αα=+= 得π1
sin(2)63α+=，--------------------------3分
即1
sin 2cos
cos 2sin
6
6
3
π
π
αα+=
-------------------------------------------------5分 ⇒2
cos 23
sin 23
α
α-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入2
2
sin 2cos 21αα+=并整理得2
4cos 212cos 2230αα--=，---------------8分 解得：12246126
cos 2α±±==--------------------②---------------------10分
∵(0,
)8
π
α∈ ∴024
π
α<<
，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分
∴126
cos 2α+=
.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）
---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：
19
0.63>0.630
P =
≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1
分
又BC CD ⊥， AB
BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分
又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC
又EF ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）
CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF
∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF
平面BCD l =
∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEF
ACD ∆∆------------------------------9分
1,4AEF ACD S S ∆∆∴
= ∴1
4
B AEF B ACD V V --=------------------11分 331
444
B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116428=⨯⨯⨯=
------------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+11
33
EBC BCD S EF S FG ∆∆=
⋅+⋅------12分 1611166
113423228
=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分
（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-
得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分
⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分
∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 1
31
n n S S n n -∴
-=-,---------------------------------6分
∴数列{
}n S n 为首项161
S
=,公差为3的等差数列， 63(1)33n
S n n n
∴
=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()
3(1)2
n n n a a S n n +=
=+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12
111111111[(1)()()]3223
1n S S S n n ∴+++
<-+-++-+111
(1)313
n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，
∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-
，由||5PF =结合抛物线的定义得52
p
m +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴2
2m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为2
4x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C
在第一象限的交点，
∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分
∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即2
2
()252
p m m +-
=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴2
2m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为2
4x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，
则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分
又设点20
0(,)4
x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相
切， 由214y x =
得1'2y x =，∴001
'|2
x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2
000()42
x x
y x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2
2
2x x x -=，∴Q 点的坐标为002
(,1)2x x --，-----------------------------9分
2
0000
2
(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分
∵点N 在以MQ 为直径的圆上，
∴2222000
2(1)()(1)20(*)244
x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分
要使方程(*)对0x 恒成立，必须有2
1020
n n n -=⎧⎨
+-=⎩解得1n =，-------------------------13分
∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相
切，由214y x =得1'2y x =，∴001
'|2
x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2
x
y y x x -=-，---------------------------------------------7分
令1y =-得002(1)y x x -=
，∴Q 点的坐标为00
2(1)
(
,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：0000
2(1)
()(1)()[]0y y y y x x x x --++--
=--------③----10分
分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，
将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④
(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨
=⎩或0,
1.
x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分
∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=0000
2(1)
2(1)()[]y y x x --+--
002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=0000
2(1)
()[]2(1)y x y x ---
=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11
'()1x F x x x
-=-
=
，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，
当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在
(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分
∴函数()F x 在1x =处有极小值，
∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数
∴1'()cos(1)0G x a x x
=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)
x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->
所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，
∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分
[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--
≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，
当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分
当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a
≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a
≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]
（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,
sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x
⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有
(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k
+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n
++++<++++
341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。