2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.4 Word版含解析

学业分层测评(十三) 三角函数的应用
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．
【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150 s.
【答案】 1
50 s
2．如图1-3-20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．
①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；
③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．
图1-3-20
【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T
2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．
【答案】 ①③④
3．如图1-3-21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．
图1-3-21
【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁
4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在
距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】
【解析】 依题意，即40sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6t －π2＋50≥70，
即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π
3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．
【答案】 4
5．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1-3-22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是
________．
图1-3-22
【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知， T 2＝5π6－π3＝π
2，
∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2π
π＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．
由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0是第三个关键点，
∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π
3，
∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3.
【答案】 y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3 6．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32，则当0≤t ≤12时，动点A
的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32，
∴φ＝π3，
又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π
6， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6t ＋π3.
令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，
故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]． 【答案】 0,1]，7,12]
7．如图1-3-23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．
图1-3-23
【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π
6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.
∴函数关系式为： y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6x －π＝－6sin π6x .
【答案】 y ＝－6sin π
6x
8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1-3-24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12，当秒针从
P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．
图1-3-24
①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
60t －π6；
③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π30t －π3. 【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π
6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即
ω＝－π
30，故选③.
【答案】 ③ 二、解答题
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝
10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π8x －5π4＋20，x ∈4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8x －5π4＋20＝15，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈4,16]， 所以x ＝26
3.
令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8x －5π4＋20＝25，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝1
2，
而x ∈4,16]，所以x ＝34
3.
故该细菌的存活时间为：343－263＝8
3小时．
能力提升]
1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1-3-25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．
图1-3-25
【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．
又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.
在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )
8，y (t )＝－8cos θ＋8.
而2π12＝θt ，
所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π
6t ＋10. 【答案】 h (t )＝－8cos π
6t ＋10
2．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；
(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
πx 6；
③
y －46－A
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x .
【解】 (1)(2)如图所示；
(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T
2＝7－1＝6，∴T ＝12.
(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得y
A＝
26.0
25.8＞1≠cos
π
6，∴①错误；代入②，得y－46
A＝
26.0－46
25.8＜0≠cos
π
6，∴②错误；同理④错误，
③正确．。