空间向量与平行关系 课件

[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，则可求得
图5
M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)，
x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
[点评] 求平面法向量的方法与步骤： (1)选向量 求平面的法向量时，要选取两 相交向量A→C、A→B. (2)设坐标 设平面法向量的坐标为 n＝ (x，y，z)．
图 11
解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
法三：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12D→A－12D→1D
＝12(D→B＋B→A)－12(D→1A1＋A→1D)
＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D
＝12D→B＋12D→A1＋12(B→A－D→A)
＝12D→B＋12D→A1＋12B→D
＝12D→A1
＋
→ 0DB.
即M→N 可用D→A1 与D→B线性表示 ， 故M→N 与D→A1 、D→B是共面向量 ． 又 MN⊄平面 A1BD， DA1，DB⊂平面 A1BD，且 DA1∩DB＝D， ∴MN∥平面 A1BD.
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量， 根据下列条件判断l和α的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [分析] 解答本题可先判断方向向量与法向量的关 系，再判断线线、线面、面面的位置关系．
－2x1＋4z1＝0 2y1＋4z1＝0
，
－4x2－2y2＋4z2＝0 －2x2＋4z2＝0
，
令 z1＝1 得 x1＝2，y1＝－2，
∴n1＝(2，－2,1)．
令 z2＝1 得 x2＝2，y2＝－2，
∴n2＝(2，－2,1)，
∴n1∥n2，又 E∉平面 AMN，
∴平面 AMN∥平面 EFBD.
迁移体验4 如图11，O是正方体ABCD－ A1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上， 问：当点Q在CC1的什么位置时，平面BD1Q∥平面APO?
典例精析
类型一 利用方向向量和法向量判定线面关系 [例1] (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向 向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设 u，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量， 根据下列条件判断 α，β 的位置关系：
则 n·D→A1＝0，且 n·D→B＝0，得xx＋ ＋zy＝＝00，. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 又M→N·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0， ∴M→N⊥n.又 MN⊄平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
法二：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C ＝12(D→1A1－D→1D)＝12D→A1， ∴M→N∥D→A1，而 MN⊄平面 A1BD， DA1⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
同理可得 Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，23)．
∴P→Q＝ (－ 3,2，23)＝R→S，∴P→Q∥R→S，
又∵ R∉PQ，∴ PQ∥ RS.
类型四 证明面面平行 [例4] 正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为4，M、 N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFBD.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
类型二 求平面的法向量 [例2] 已知平面α经过三点A(1,2,3)、B(2,0，－1)、 C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
[解] ∵A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)， ∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)． 设平面 α 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 依题意，应有 n·A→B＝0 且 n·A→C＝0，即
2．在具体问题中，如何确定直线的方向向量和平 面的法向量？
提示：实际应用中，直线的方向向量即把线段看 作有向线段时表示的向量．平面的法向量一般可建系 后用待定系数法求出．
3．空间平行关系的向量表示
(1)线线平行：设直线l，m的方向向量分别为a＝ (a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a＝λb⇔(a1， b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)．
图9
∴M→N＝(2,2,0)，E→F＝(2,2,0)，A→G＝(－1,1,4)，Q→K ＝(－1,1,4)．
可见M→N＝E→F，A→G＝Q→K，又 E∉MN，A∉QK， ∴MN∥EF，AG∥QK. 又 MN，AG⊂平面 AMN，且 MN∩AG＝G，EF， QK⊂平面 EFBD 且 EF∩QK＝K， ∴平面 AMN∥平面 EFBD.
[点评] 解答本题的关键是：(1)搞清直线的方向 向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的 内在联系．(2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法， 再把向量问题转化为几何问题时，注意其等价性．
迁移体验1 根据下列条件，判断相应的直线与直 线、平面与平面、直线与平面的位置关系．
①直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)；
图8
[分析] 利用向量证面面平行一般通过证线面平行 或线线平行．也可以证两平面的法向量共线．
[证明] 法一：建立如图9所示的空间直角坐标系， 则 A(4,0,0) ， M(2,0,4) ， N(4,2,4) ， D(0,0,0) ， B(4,4,0) ， E(0,2,4)，F(2,4,4)．
取 MN 的 中 点 G 及 EF 的 中 点 K ， BD 的 中 点 Q ， 则 G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
设平面 SCD 的一个法向量为 n＝(1，λ，u)， 则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝12＋λ＝0， ∴λ＝－12，n·D→S＝(1，λ，u)·(－12，0,1) ＝－12＋u＝0， ∴u＝12，∴n＝(1，－12，12)．
②平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，n＝(－3， －9,0)；
③直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)；
④直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝ (3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．
解：①∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2. ②∵n＝－3u，∴n∥u，∴α∥β. ③∵a·u≠0且a≠λu，∴l与平面α斜交． ④a·u＝3×(－1)＋2×2＋1×(－1)＝0， ∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α.
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v， ∴u∥v，∴α∥β. ③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直．
[解] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2. ③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． ∴a 与 b 不共线，也不垂直， ∴l1 与 l2 相交或异面．
(3)解方程组 联立方程组
n·A→C＝0 n·A→B＝0
并解答．
(4)定结论 求出的向量中三个坐标不是具
体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得
到其他坐标(非零常数)．
迁移体验 2 如图 3，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12， 求平面 SAB 的一个法向量为________．平面 SCD 的 一个法向量为________．
立体几何中的向量方法
新知视界
1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定 点A以及一个定方向确定，如图1A是直线l上一点，向 量a表示直线l的方向向量．
2．直线l ⊥α，取直线l的方向向量a ，则向量a ⊥α，向量a叫做平面α的法向量．
思考感悟 1．直线的方向向量与平面的法向量各有几个？它 们各自的关系是怎样的？ 提示：直线的方向向量与平面的法向量各有无数 个，它们都是对应的平行向量．
图6
证明：如图7所示，建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0) ， B(0,4,0) ， O1(0,0,2) ， A1(3,0,2) ， B1(0,4,2) ， E(3,4,0)
∵AP＝2PA1，
图7
∴A→P＝
→ 2PA1
＝23A→A1
，即A→P＝23(0,0,2)＝(0,0，43)，
∴P 点坐标为(3,0，43)．
(2)线面平行：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1， c1) ， 平 面 α 的 法 向 量 为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则 l∥α⇔u⊥a⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)面面平行：设平面α、β的法向量分别为u＝(a1， b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1， b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
法二：建立如图10所示的空间直角坐标系，则 A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)， F(2,4,4)，
图 10
则A→M＝(－2,0,4)，A→N＝(0,2,4)，
B→E＝(－4，－2,4)，B→F＝(－2,0,4)．
设平面 AMN、平面 BDEF 的法向量分别为 n1 ＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则
答案ห้องสมุดไป่ตู้(12，0,0) (1，－12，12) (答案不惟一)
类型三 证明线线、线面平行 [例3] 如图4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M 、 N 分 别 是 C1C 、 B1C1 的 中 点 ． 求 证 ： MN∥ 平 面 A1BD.
图4
[分析] 要证 MN∥平面 A1BD，可考虑以下思 路：(1)通过建立坐标系，证明M→N与平面 A1BD 的 法向量垂直；(2)证明M→N与平面 A1BD 内的某一向 量共线；(3)证明M→N可用平面 A1BD 内的一组基底 表示．