【K12小初高学习】2019年人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)
一、选择题
1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值
为( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
[答案] D
[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p
2
＝2，∴p ＝4.
2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上三种情形都有可能
[答案] B
[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，
则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM
2
＝
DM 2＝MF 2
， ∴这个圆与y 轴相切．
3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
[答案] B
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、
B 在抛物线y 2＝2px 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2
② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2
，∵k AB ＝1，∴，p ＝2
∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.
4．双曲线x 29－y 2
4＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2
＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )
A ．y 2＝9x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝413
13x
D ．y 2＝213
13
x
[答案] C
[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2
3x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标
为(x ，y )，则y ＝±2
3
x ，由|AF |＝2⇒
(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613
，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝413
13
x ，所以选C.
5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
172
B ．3 C. 5
D.92
[答案] A
[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫
12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于
⎝⎛⎭⎫122＋22＝172
，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为
，则点A 的坐标为( )
A ．(2,22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22)
[答案] D
[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴
S △AMF
S △AOF ＝1
2
×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 1
2
×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y 024
＋1＝3，
解得y 0＝±22，∴y 02
4＝2，
∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.
7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝－3
2x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝－4x
[答案] D
[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →
∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－
y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.
8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是
( )
[答案] A
[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－m
n x 应开口向左，故排除C 、D ；∴
mn <0，此时抛物线y 2＝－m
n
x 应开口向右，排除B ，选A.
9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →
，则直线AB 的斜率为( )
A ．±23
B ．±3
2
C ．±34
D ．±43
[答案] D
[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →
|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，
∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±4
3
.
10．已知抛物线C 的方程为x 2＝1
2y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有
公共点，则实数t 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝
⎛⎭⎫－∞，－
22∪⎝⎛⎭
⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B
[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧
x 2
＝1
2y ①
x t ＋y
－4＝1 ②
无实数解
由②得y ＝4x
t －4，代入①整理得，
2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16
t 2－32<0，
∴t >
22或t <－2
2
，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝1
2y 相切的直线与抛物线
切点为M (x 0，y 0)，
则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，
∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22
，
由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >2
2
. 二、填空题
11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →
取得最小值时的点P 的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P ⎝⎛⎭
⎫－y 2
4，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 2
4－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 2
4－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y
2
4－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 4
16＋52
y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．
12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．
[答案] y 2＝3x
[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |
＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32
，∴抛物线方程为y 2＝3x .
(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
[答案] y 2＝3x
[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，
∴p ＝12|CF |＝3
2
，∴抛物线方程为y 2＝3x .
解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，
从而A ⎝⎛⎭
⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.
点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝
p
2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝3
2
. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．
[答案] 3＋2 2
[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧
|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝2
2|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧
|AA 1|＝2＋2
4|AB ||BB 1|＝2－24
|AB |，
∴
|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A |
|FB |
＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y 12＝2px 1y 22＝2px 2
，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，
∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.
(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相
交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.
[答案] 8
[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.
三、解答题
15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于3
2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦
点在椭圆C 1的顶点上．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝3
2
得，b 2＝1.
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .
(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
∵y ＝14x 2，∴y ′＝1
2
x ，
∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，1
2x 2，
当l 1⊥l 2时，12x 1·1
2
x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋1)x 2＝4y
得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →
)，点C
在x 轴上移动．
(1)求B 点的轨迹E 的方程；
(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．
[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →
，∴∠ACB ＝π2，
∴2x 0·y 0
－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →
)，
所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧
x 0
＋x 2
＝0y ＋02＝y
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝－x ②y 0＝y
2
③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，
所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－1
4，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －1
4，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋1
4
＝0.
Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，
∵FH →＝12HG →
，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－1
2
x 1⇒3x 1＝x 2.
∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，
故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．
[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．
(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －m )y 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4
k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，
∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.
即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．
[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .
(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．
(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．
[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.
y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8
k
.
∵OA →·OB →
＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.
又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－1
2，∴k ＝－1＋2，
∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.
(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝
x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2
k
，
∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1
k ⎝⎛⎭
⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2
＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋3
2.
又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1
k
>0，
∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋3
2
＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
(1)证明：点F 在直线BD 上；
(2)设F A →·FB →＝89
，求△BDK 的内切圆M 的方程．
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1
x 2－x 1
(x －x 2)
即y －y 2＝4y 2－y 1⎝
⎛⎭⎫
x －y 22
4 令y ＝0，得x ＝y 1y 2
4＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．
(2)由(1)知，
x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1
因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，
故8－4m 2＝89，解得m ＝±43
，
直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±4
37，
故
4y 2－y 1＝±3
7
因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.
因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的
距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4
， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23
， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49
. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．
(1)求点P 的轨迹T 的方程；
(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12
|AB |， 由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，
即|OP |2＋|CP |2＝9，
设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，
化简得，x 2－x ＋y 2＝4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，
根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，
∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22
故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①
又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0
∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，
代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，
化简得，x 2－x ＋y 2＝4.
(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2
＝2px 上，其中p 2
＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，
由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。