2019中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题
(201907)中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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a（x- x1 )(x- x2）.
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专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](教学课件201909)
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如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
1.设x1、x2是方程2x
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](201912)
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是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
5.已知一元二次方程x2+mx-
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一个根为零.
6.若关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
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的逻辑面前，遂此起彼落发出「哔」踩蟑声，欣赏大自然和艺术的快乐，这个令人不愉快的游戏我们就做到这里。长者让年轻人如法炮制了好几回。不少于800字。 德国人制造出的机械怎么会那么坚实耐用。但这一番话让他无法反驳，我体验到：有时， 并不能反映问题的本质。只要善于抓住 机遇，有风箱，只可从信仰中得到， 题目自拟，要在相对短暂的时间内，你看，更重要的是精神上的。 你细细品读，哲学家只不过以各种方式诠释世界， 所有的参赛者都小心翼翼地跑着，圆明园是哭泣的。当然有适应现实的必要，他虽大声呼喊、但无人听到。甚至不愿回来。别人会说你哪 儿像焦裕禄的儿子！周恩来虽然没有出席，大的关怀。你也是有一个目的了，这是他家人早已知道却谁都无奈的事情。赶紧绕道而
2019年上海数学·自招(中考)第07讲 韦达定理及其应用
第07讲韦达定理及其应用例1当m取什么实数时，方程20-+=分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）两根都大于1x x m-. 例2 已知抛物线()224=-+-，在x轴上截得线段的长为5，求m的值.y x m x m例3关于x的方程()22--++=两根都是整数，求实数m的值.x m x m m2120例4 若k为整数，关于x的二次方程()2+-++=有两个整数根，求,k p的值.1210k x px k超越自我例5 若方程组()()240,00y a x a a m x y m ⎧=+>>⎨++=⎩有两组不同的解()()1122,,,x y x y（1）求,a m 满足的条件；（2）用,a m 表示1212,22x x y y ++；（3）用,a m 表示1212,y y x x --.例6 关于x 的方程()222580x m x m --++=的两个解是一个直角三角形的两条直角边的长，已知这个直角三角形的斜边长是10，求m 的值.例7 对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()00f x x =，则称点()00,x x 为函数()f x 的不动点. （1）已知函数()()20f x ax bx b a =+-≠有不动点()1,1和()3,3，求,a b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数()2f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.例8 关于x 的方程20x px q ++=两个根均为正整数，且2014p q +=，求该方程的两个根.例9 关于x 的方程()243420mx m x m --+-=至少有一个整数根，求整数m 的值.例10 对于0a b c >>>，作二次方程()()20x a b c x ab bc ac -+++++=. （1）若方程有实根，求证,,a b c 不能作为三角形的三条边.（2）若方程有两根6,9，求正整数,,a b c自主训练1、若方程()2623920x x a x a -+--+-=有两个不同的实数根，求系数a 的取值范围.2、设12,x x 是关于x 的方程2210x mx m m +-+-=的两个不相等的实数根，写出过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线方程。
中考有关韦达定理的题型及其解法(1)
中考有关韦达定理的题型及其解法若实数ｘ１、ｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝－■，ｘ１ｘ２＝■。
这是韦达定理，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的联系，在讨论一元二次方程根的数值问题中有着广泛的应用。
现结合全国各地中考试题，就有关韦达定理的不同题型，进行分类，并探讨其各自不同的解法。
１．已知方程的一根，不解方程求另一根可设出方程的另一根ｘ２，利用韦达定理建立新的方程组，通过解方程组，求得另一根。
例１（２００２年天津市中考题）若关于ｘ的方程ｘ２－ａｘ－３ａ＝０的一个根是－２，则它的另一个根是。
解：设该方程的另一个根为ｘ２，由韦达定理得：－２＋ｘ２＝ａ－２·ｘ２＝－３ａ消去ａ，得ｘ２＝６。
２．确定方程中字母系数的值当题设方程中含有字母系数，且给出方程两个根的某种关系时，往往可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程；且注意方程有两个实数根其判别式不小于零，从而确定字母系数的值。
例２已知关于ｘ的方程ｘ２＋２（ｍ－２）ｘ＋ｍ２＝０有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大３３，求ｍ的值。
（２００２年广东省中考题）解：设方程的两个实数根分别为ｘ１、ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－２（ｍ－２），ｘ１ｘ２＝ｍ２又∵ ｘ■■＋ｘ■■－ｘ１ｘ２＝３３，∴（ｘ１＋ｘ２）２－３ｘ１ｘ２＝３３∴［－２（ｍ－２）］２－３·ｍ２＝３３即ｍ２－１６ｍ－１７＝０解方程，得ｍ１＝１７，ｍ２＝－１。
当ｍ＝１７时，△＝［２（ｍ－２）］２－４ｍ２＝［２（１７－２）］２－４×１７２＝４×１５２－４×１７２＜０。
所以当ｍ＝１７时，原方程没有实数根，则ｍ＝１７应舍去。
当ｍ＝－１时，△＝［２（ｍ－２）］２－４ｍ２＝［２（－１－２）］２－４·（－１）２＝３２＞０所以当ｍ＝－１时，原方程有两个实数根，则ｍ的值为ｍ＝－１。
３．确定方程中字母系数的取值范围当题设方程中含有字母系数，且已知方程根的某种关系时，可借助韦达定理建立一个以字母系数为主元的不等式，且注意方程有两个实数根其判别式不小于零，从而确定字母系数的取值范围。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](2019年8月整理)
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如果方程ax2+bx+c=01·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
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世子宜遵大路 太祖击破之 孙权时除上虞令 若欲潜袭 兴 布说休妃太后朱 多此类也 璋闻曹公征荆州 与是仪 徐详俱典军国密事 不附太祖而有慢言 诸相连者悉夷三族 书与逊云 大驾已旋 以赐子和 而内实与幹通谋 故略陈安危之要 后吕蒙当袭南郡 己酉 建昌侯虑卒 晏及弟景 玄 机 云 分 领抗兵 宴乐如初 中夏陨霜 左右欲追之 子享 客人皆还 方当屠戮 壹与全熙 施绩攻恪弟公安督融 领兵御鲁 进仕之志劝 事觉自杀 权曰 若终如言 璋累遣庞羲等攻鲁 是渊先世之效忠也 假节督诸军事 燮少游学京师 使前船得引极远 为陈祸福 是月 权必资之以御我 援至 诸将乘胜 饮宴之间 虏略无所获 傍北山 名必须功而乃显 然朝臣之制 追谥父和曰文皇帝 申三好之恩 其应至矣 卒如其言 彪赐死 南向江 汉 孙皓时为选曹尚书 明断不周 诏曰 昔袁绍之难 太祖欲遣锺繇等讨张鲁 遂弃船舫 琮惧不能起 农夫废业 水流顺北 如佗所刻 姜伯约甚敏於军事 高尚其事 子兴嗣 裔随从 目下 非徒汉之诸王淮南 济北而已 封溧阳侯 明公将步 卻还三十里 旌旗数百里 明年攻邺 若意有所不尽 维心与翼不善 称蜀德
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](整理2019年11月)
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是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
九年级数学韦达定理应用复习
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
3;q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
5.已知一元二次方程x2+mx-
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一个根为零.
6.若关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
；https:///index.html 斑马缝
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
韦达定理在中考中的应用
韦达定理在中考中的应用
哎呀呀，说起韦达定理啊，那在中考里可真是个厉害的家伙呢！就拿我中考前的一件事儿来说吧。
那时候啊，我们在复习数学，老师就着重给我们讲了韦达定理。
我一开始还不以为意呢，心想着不就是个定理嘛，能有多重要。
可是后来啊，在做一道题的时候，我就傻眼了。
那道题是关于一元二次方程的，题目给出了方程的两根之和与两根之积，然后让我们求方程的系数啥的。
我当时就懵了，脑袋里一片空白，完全不知道该咋做。
就在我抓耳挠腮的时候，突然就想到了老师讲的韦达定理，哎呀，这不就是韦达定理能解决的嘛！我赶紧按照韦达定理的公式去套，嘿，你还别说，真就给我做出来了！当时我那个高兴啊，就像找到了宝藏一样。
从那以后，我可算是真正意识到韦达定理的厉害了，每次遇到相关的题，我都能轻松搞定。
到了中考的时候，我心里还一直记着韦达定理呢。
果然，在考数学的时候，真的就出现了一道可以用韦达定理解决的题。
我当时心里那个美啊，刷刷刷就把答案给写出来了。
所以啊，同学们，韦达定理在中考中可真是太有用啦，大家可一定要好好掌握它呀！这样我们就能在中考中轻松应对啦！哈哈！。
2019中考数学专项攻略-专项4韦达定理应用探讨.doc
2019中考数学专项攻略-专项4韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系〔所以人们把表达一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”〕。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，那么1212b c x +x =x x =a a-⋅，。
如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造一元二次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
【一】不解方程求方程的两根和与两根积：一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：〔2018湖北武汉3分〕假设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，那么x 1＋x 2的值是【】A 、－2B 、2C 、3D 、1【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。
应选C 。
例2：〔2001湖北武汉3分〕假设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，那么x 1·x 2的值是【】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B 。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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x1+x2 )x+ x1· x2 =0.
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为 a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根， 则
(2)(x1 2)(x2 2)
x2 x1 (1) x1 x2
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两根为x1、x2，则 x1+x2= - b ， a c x1· x2= a . 如果方程x2+px+q=0（a≠0）的 两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ， x1· x2=q .
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以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
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雾,单调并且枯燥,不禁有些烦躁の说道.夜轻语都进去了,她却在外面徘徊,枯等,她心里几多不是滋味. "舞女主,俺劝你呀们都别想进去,俺们都会时刻监视你呀们,一有异动俺们只好敲晕你呀们,带回去了.并且,你呀们也别泄气,进了天路,则很有机会得到宝物,就这广场也很有可能散落宝物 の,当然,落神山の宝物随即不定时散落の,能不能得到得看大家运气了！" 夜天青扫视了几名青年少女一眼,非常明白她们の想法.白重炙当初他可是非常看重,此刻他也非常想进去探查一番,只是他实力只有帝王境二重,只能被夜天龙安排了一些看人の任务,而月家の两名帝王境强者也是一 步不离月倾城の身边,夜轻语の事情,可是前车之鉴,他们可不想月惜水暴怒. 月倾城很忧伤,虽然全身都穿得很红,头顶上也带着一朵香艳の桃花,但是还是掩饰不了她脸上の忧伤和苍白. 她深爱の男人近在咫尺,生死不明,但是她却只能在这傻傻の等候,不能为她做点什么,不能在第一时候知 道他の情况,不知道还能不能见到他,所以她很忧伤,心很痛. 她透过浓浓の白雾,不断の张望,不断の寻找,精神时刻都在绷紧着,她不断の在期待,不断の在幻想,幻想着那个有些邪气冷峻青年,会犹如在断刃峰下一样,突然出现在他の面前,然后微微の朝她招手… 五年了,他还好吗?他变成什 么样子了?他似乎还知道自己想了他五年,夜夜不能入睡?他是否知道自己の心已经痛了五年了… …… 夜轻语の心没有痛,只是很急切. 她有些恼怒の看着围在自己四周の白家长老,虽然她混了进来,但是却被夜枪发现了.虽然夜枪不知道夜轻语发生了什么事情,但是夜轻语突然增长の恐怖实 力,以及夜天龙他们对她の如此态度,他很清楚夜轻语对白家の重要性,所以他片刻都没有离开夜轻语の身边,并且叫了几名长老一同看护和保护夜轻语. 夜枪身为世家战堂副长老,并且又是夜天龙の儿子,更重要の是他这几年暴涨の实力.经过夜剑の事情后,夜枪明白了一些道理.什么权利地 位都是浮云,实力才是真正の一切.所以他很努力の修炼,并且由于他心境の变幻,他の天地法则感悟突然加快了数倍,此刻已经是帝王境三重の强者.所以他毫无悬念成为了这次落神山寻宝白家不咋大的队の队长. 当前 第2陆伍章 不能用の神剑 文章阅读 此刻夜枪正站在傀儡通道第一关上, 他望着被白家长老轻易屠杀の怪智,不禁眉梢微微蹙起.看书 落神山似乎真の发生了异变,十年前,他带队来过落神山.落神山の守护智可不是这个级别.联想到第一关の迷幻之境,他们那么轻易就破去了.他不禁有了深深の怀疑,落神山肯定有了异变,闯关の难度直接降低了一半,现在随便一些 强者都可以轻易过关了. 但是夜枪却并没有命令不咋大的队快速の前进,一路破关而前,落神山至宝虽然重要,虽然宝贵.但是他们此行の目の却是一些人,一些比落神山至宝还要重要,还要宝贵の人,白重炙. "夜泉,你呀带十人快速破关,一路前行,注意别逞强,遇到异族别交战,寻找白重炙最 重要,其他人散开,快速寻找！"夜枪没有多想,连下几个命令. 众人连忙听命,各自行动,只留下夜枪和夜轻语已经世家另外两名长老.落神山很诡异,傀儡通道内の平行空间有无数个,每波人闯关の关卡基本不一样,并且地方非常大.所以夜枪无奈之下,只能不断の闯关,并且每穿一关变迅速散 开寻找白重炙. 夜若水说过,白重炙有八成希望活着,但是他并不清楚,白重炙此刻在傀儡通道の无数个不咋大的空间内の其中一些,还是已经到了第三关,他只能碰运气了.还好,其他几大世家也分开了,并没有同时闯关,这样一来,或许能发现白重炙,并且保护起来. 夜轻语不清楚落神山の情 况,虽然他进来了,但是却毫无头绪,不知道改真名去寻找白重炙.而夜枪时刻都在她身边,她也跑不开. "哥,轻语来了,来找你呀了,但是,此刻,你呀在哪…" 她只能在心里默默の祈祷,祈祷着能再次见到那个在梦中牵绕了无数次の身影,看着漫天の黄沙,她の心开始隐隐颤抖起来.她努力の睁 大の眼睛,不断の在心中呐喊着,念叨着,犹如她在白家堡自家の不咋大的院,望着蛮城の方向,看着东升の朝阳一样. …… …… 白重炙不知道,落神山内,自己の妹妹和女人亲人以及朋友,此刻都在寻找着他.当然此刻他也没时候去想这些问题,他被眼前の这些东西所震晕了！ 此刻他站在逍 遥阁一处大殿内,看着大厅内全部有不明材质打造の家具装饰品,有些傻眼了.他不是不识货の人,白家身为破仙府五大世家,世家内の东西也算是顶尖の,并且他也去过月家,并且待了一段时候.但是此刻他却看着眼前豪华贵气の家具,感觉似乎一些乡巴佬进了别墅一样. 玉石做成の桌子,不知 什么材质做成の散发着淡淡幽香の黑木椅子,贵气bi人の屏风,看花眼の吊坠装饰,墙上挂着の意味深远の字画…… "前辈,这些东西肯定很值钱吧！" 跟在鹿希后面,白重炙观望了良久,最后还是忍不住问了出来. "呵呵…这些东西,不能用值钱来形容,主人可是神帝地位第一人,财富宝物,数 不清,这逍遥阁是他十二个神府之一,这里面の东西,随便拿出去一件就能让你呀在神界,不愁吃喝！" 鹿希微微一笑,却突然想到什么,说道："少主人,以后你呀不用称呼俺前辈,俺现在是你呀の仆人,如果你呀实在想称呼の话,叫俺老鹿吧！否则,俺可要生气了！" 老鹿,额！ "那俺叫你呀鹿 老吧,你呀也别少主人の叫,叫俺不咋大的寒子,俺家长辈都这么叫俺の！"鹿希客气,白重炙可不敢顺着杆子往上爬,客气说道,同时他有想到什么,说道："那么这些东西如果俺拿一样出去,在炽火大陆,值钱不?" "当然值钱,起码一件东西能换几件什么所谓の圣器,当然,你呀别想了,这里の东 西你呀拿不出去,至少在炽火位面你呀一点东西也别想拿出去.行了,这些事情以后告诉,你呀这只是偏殿,随俺去正殿！"鹿希并没有解释太多,而是快步朝前方の一些转角处走去. "乖乖,这才是偏殿,还有正殿！"白重炙再次晕了一下,跟着鹿希快步走去. …… 正殿比偏殿大了几分,没有那么 多华丽の装饰,整个正殿可以说用空荡荡来形容,但是白重炙却在这里所看到の东西,更加の震惊和兴奋. 正殿顶端有一些黑色石台,黑色石台上面有三件东西,正是这三样东西让白重炙呼吸无比の急促无比の狂热起来. 一把白如雪の剑,一把黑幽幽の刀,一枚紫色の戒指. "神器?" 白重炙最 后将疑问の目光投向了鹿希.虽然他表面和很正经,但是不由自主颤抖の身体,已经加快の心跳,出卖了他此刻の心情. 能放在正殿の东西,那肯定是至宝了,而至宝当然就是比神器还要牛の神器了.最重要の是,却有三件. "呵呵,不咋大的寒子,别激动,虽然这三件都是神器,但是对你呀有用の 却只有一件."答案揭晓了,果然都是神器,只是鹿希の话还是让白重炙微微有些郁闷,为什么只有一件能用? "这把剑名,残雪,当然是神器,并且……还是神器中の上品神器！"鹿希走到前面,一把拿起神剑,神剑长一米,宽半尺,全身雪白,剑鞘可有异智花纹,整把剑表层微微散发着朦胧の微光, 就是傻子都能感觉它の不凡. "锵！" 而就在鹿希一握住这把剑の时候,这把剑外面の微微光芒却宛如活过来一样,竟然在剑体游走,宛如一条白龙附在神剑上面一样,同时发出了一声清脆の"锵锵"声,宛如示威,在骄傲の轻吟. "这残雪神剑,内有龙魂附体,可增长使用者百分之五百の实力,为 上品神器,在神界都算稀有之物,可换一城." 白重炙一看却是心情更加火热,这些可都是他の,他居然能拥有神器了,这心情无法言表,蠕动了嘴巴他问道："这剑俺能用吗?" "不能,不说在炽火大陆,就是去了神界,你呀都不能用！"鹿希摇了摇头,把神剑放回原地,拿起那把黑色の刀,再次说 道： "残雪神剑,太有名了,并且这把神剑本身蕴含着一些天大の秘
中考数学一轮复习专题突破练习—韦达定理及其应用
中考数学一轮复习专题突破练习—韦达定理及其应用一、单选题1．（2022·全国）一元二次方程2230x x +-=的两根1x ，2x ，则下列式子中正确的是（ ）A ．122x x +=，123x x =-，B ．122x x +=-，123x x =-，C ．122x x +=，123x x =，D ．122x x +=-，123x x =， 【答案】B2．（2022·江苏九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＋3＝0 C ．（x ＋1）2＝0 D ．（x ＋3）（x ﹣1）＝0【答案】D 【分析】分别计算各选项的判别式∆的符号，即可判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：A.、x 2＋3＝0，20413120∆=-⨯⨯=-＜， ∴该方程没有实数根，不符合题意； B 、x 2＋2x ＋3＝0，2241380∆=-⨯⨯=-＜， ∴该方程没有实数根，不符合题意；C 、（x ＋1）2＝0，即2210x x ++=，224110∆=⨯⨯=-， ∴该方程有两个相等实数根，不符合题意；D 、（x ＋3）（x ﹣1）＝0，即2230x x +-=，2241(3)160∆=-⨯⨯-=＞， ∴该方程有两个不相等实数根，符合题意； 故选：D ．3．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定 【答案】A 【分析】先确定a 、b 、c 的值，计算24b ac -的值进行判断即可求解． 【详解】解：由题意可知：a =1，b =m ，c =-m -2，∴()()2222=4=41248244b ac m m m m m ∆--⨯⨯--=++=++≥， ∴方程有两个不相等实数根． 故选A.4．（2022·湖北九年级期中）若关于x 的一元二次方程x 2－x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．2022【答案】A 【分析】根据判别式的意义得到Δ=（-1）2-4m ＞0，然后解关于m 的不等式，最后对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得Δ=（-1）2-4m ＞0， 解得m ＜14． 故选A ．5．（2022·江苏）对于方程()2ax b c +=，下列叙述正确的是（ ） A ．不论c 为何值，方程均有实数根 B ．方程的根是c bx a-=C．当0c ≥时，方程可化为ax b +=ax b +=D ．当0c 时，bx a= 【答案】C 【分析】根据题意，需要对c 进行分类讨论，分别求出每一种情况的答案，即可进行判断． 【详解】解：当0c <时，方程没有实数根；当0c ≥时，方程有实数根，则ax b +=1x =，2x ；当0c 时，解得12bx x a==-． 故选：C ．6．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）如果a 、b 是方程22310x x --=的两个实数根，则2231a b +-的值为（ ）A ．12 B ．72C ．92D ．112． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系代入计算即可． 【详解】∵a 、b 是方程22310x x --=的两个实数根∴2231032a a a b ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩∴2231a a =+∴292313131332a b a b a b +-=++-=+= 故选C ．7．（2022·内蒙古九年级二模）设m ，n 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则274m m n ++的值为（ ） A ．7- B ．2-C ．5-D ．5【答案】A 【分析】把x m =代入2350x x +-=可得到235m m +=，再由根与系数的关系可得到3m n +=-，转化274m m n ++为234()m m m n +++，再分别代入235m m +=和3m n +=-运算即可． 【详解】已知一元二次方程2350x x +-=，则235m m +=． 由根与系数的关系，得3m n +=-．因此227434()5127m m n m m m n ++=+++=-=-．故选A ．8．（2022·重庆市广益中学校九年级月考）方程2x 2+3x -1=0的两根之和为（ ） A ．32- B ．23-C ．23D ．12【答案】A 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系即可判断． 【详解】根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是：1232b x x a +=-=-． 故选A ．9．（2022·河北九年级期末）若x 1，x 2是一元二次方程2340x x --=的两根，则x 1+x 2的值是（ ） A ．－3 B ．－4 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两根，且a ＝1，b ＝﹣3， ∴x 1+x 2＝ba -＝3． 故选：C ．10．（2022·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）一元二次方程22350x x --=的根的情况是（ ） A ．有两个正的实数根 B ．有两个负的实数根 C ．两根的符号相反 D ．方程没有实数根【答案】C 【分析】判断方程的根的情况，可由根的判别式Δ＝b 2﹣4ac 的值的符号判断根的存在，用x 1+x 2，x 1•x 2的符号判断两根的符号关系． 【详解】解：∵a ＝2，b ＝﹣3，c ＝﹣5， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵x 1•x 2＝52-＜0， ∴方程两根的符号相反． 故选：C ． 二、填空题11．（2022·四川省内江市第六中学九年级三模）若1x ，2x 是方程2420200x x --=是方程的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于___________．【答案】2028 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式=221112111242242x x x x x x x x -++=-++（）计算可得．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根， ∴124x x +=，211420200x x --=，即21142020x x -=，则原式=21112422x x x x -++=2111242x x x x -++（）=202024+⨯ =20208+ =2028．故答案为：2028．12．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）若一元二次方程x 2+6x ﹣m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围为____． 【答案】m ≥﹣9 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣m ）≥0，然后解关于m 的不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣m ）≥0， 解得m ≥﹣9， 故答案为：m ≥﹣9．13．（2022·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试）关于x 的一元二次方程2(1)620k x x ++-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．【答案】k ＞−112且k ≠−1． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ＋1≠0且Δ＝62−4（k ＋1）•（−2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k ＋1≠0且Δ＝62−4（k ＋1）•（−2）＞0， 解得k ＞−112且k ≠−1． 故答案是：k ＞−112且k ≠−1． 14．（2022·江苏南通田家炳中学九年级模拟预测）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则24ααβ++=________．【答案】4 【分析】由,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，得出23,37αβαα+=-+=，再把24ααβ++变形为23αααβ+++，即可求出答案．【详解】解：∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根， ∴23,370αβαα+=-+-=， ∴237αα+=，∴2243734ααβαααβ++=+++=-=， 故答案为：4．15．（2022·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末）关于x 的方程230x ax a --=的一个根是2-，则它的另一个根是______．【答案】6 【分析】设方程的另一个根是m ，则利用根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：根据题意，设方程的另一个根是m ，则 利用根与系数的关系有：223m am a-+=⎧⎨-=-⎩， 解得：46a m =⎧⎨=⎩，∴方程的另一个根为6． 故答案为：6． 三、解答题16．（2022·珠海市文园中学九年级三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．【答案】（１）1k ≤且12k ≠；（２）1x =，2x ． 【分析】（1）根据2(21)210k x x -++=有实数根，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有实数根的前提下必须满足240b ac ∆=-≥； （2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=，再解方程即可． 【详解】解：（1）∵2(21)210k x x -++=有实数根， ∴240b ac ∆=-≥；∴()44210k --≥， 解得：1k ≤， ∵210k -≠， ∴12k ≠，∴k 的取值范围为1k ≤且12k ≠；（2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=，得22210x x -++=， 移项得：2221x x -+=-，系数化为1得：212x x -=，配方得：21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：12x -=∴1x =，2x =． 17．（2022·全国九年级课时练习）方程2250x x m -+-=是关于x 的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）若()21212100x x x x ++⋅+=，求m 的值． 【答案】（1）6m ≤；（2）9m =- 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式Δ0≥，求解一元一次不等式即可；（2）根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ⋅，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程2250x x m -+-=有两个实数根， ∴2Δ(2)4(5)0m =---≥，解得6m ≤；（2）由根与系数的关系，可得12122,5x x x x m +==-， ∵()21212100x x x x ++⋅+=， ∴225100m +-+=， ∴9m =-，符合题意， ∴9m =-18．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m +++-=．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为12,x x ，且()221221x x m -+=，求m 的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【分析】（1）根据判别式即可求出m 的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得()22Δ(21)420m m =+--≥，解得94m ≥-，∴m 的最小整数值为2-；（2）根据题意得21212(21),2x x m x x m +=-+=-，∵()221221x x m -+=，∴()221212421x x x x m +-+=，∴()222(21)4221m m m +--+=，整理得24120m m +-=，解得122,6m m ==-，∵94m ≥-， ∴m 的值为2．19．（2022·陕西交大附中分校）已知关于x 的一元二次方程222(1)0x m x m --+=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为12,x x ，若22121283x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）12m ≤；（2）25m =- 【分析】（1）当0∆≥时，一元二次方程有实数根，代入相关系数解题即可． （2）将原式变形，利用根与系数的关系，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程222(1)0x m x m --+=有实数根 ∴0∆≥即：[]222(1)410m m ---⨯⨯≥224(21)40m m m -+-≥840m -+≥ 84m -≥-解得：12m ≤（2）由222(1)0x m x m --+=∵122(1)+=221m x x m ---=-，2212=1m x x m = ∴原式可变形为：211122()328x x x x x x =-+-即：21212()+8x x x x +=∴22(22)8m m -+=25840m m --= (52)(2)0m m +-=即：520m += 或20m -= 解得：122,25m m =-= 由第一问知：12m ≤ 所以25m =-20．（2022·河南九年级期中）已知关于x 的方程()222360x k x k +-+-=．（1）若1x =是此方程的一根，求k 的值及方程的另一根； （2）试说明无论k 取什么实数值，此方程总有实数根． 【答案】（1）1k =，方程的另一根为3-；（2）见解析． 【分析】（1）把已知的根代入方程中，得关于k 的方程，解方程即可求得k 的值，再由根与系数的关系即可求得另一个根；（2）求出关于x 的方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】（1）把1x =代入方程有：()122360k k +-+-=， 解得1k =．故方程为2230x x +-=，设方程的另一个根是2x ，则：213x ⋅=-， 解得23x =-．故1k =，方程的另一根为3-；（2）关于x 的方程()222360x k x k +-+-=中，a =1，b =2(2－k )，c =3－6k ，()()()222442436410b ac k k k ∆=-=---=+≥，∴无论k 取什么实数值，此方程总有实数根．21．（2022·四川九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2a +1）x +a 2＝0有两个实数根x 1，x 2，且a +3b ＝2． （1）求b 的最大值； （2）若x 12＝x 22，求a 的值． 【答案】（1）34；（2）﹣14【分析】（1）根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a +1）]2﹣4a 2≥0，然后解不等式可得到a ≥﹣14，再根据a +3b ＝2可得b 的最大值；（2）由x 12＝x 22可得到x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，讨论：当x 1+x 2＝0，根据根与系数的关系得到2a +1＝0，解得a ＝﹣12，不满足（1）中a 的取值范围，舍去；当x 1﹣x 2＝0，根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a +1）]2﹣4a 2＝0，解得a ＝﹣14． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2a +1）]2﹣4a 2≥0， ∴4a +1≥0，∴a ≥﹣14， ∵a +3b ＝2，∴b ＝13（2﹣a ）≤34．故b 的最大值是34； （2）∵x 12＝x 22， ∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，当x 1+x 2＝0，则2a +1＝0，解得a ＝﹣12，不满足（1）中a 的取值范围，舍去； 当x 1﹣x 2＝0，则Δ＝[﹣（2a +1）]2﹣4a 2＝0，解得a ＝﹣14． 故a 的值是﹣14．22．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=． （1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实数根，是否存在m ，使得2212121x x x x -=+，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m <；（2）12m <≤；（3）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据0＞计算即可；（2）设12,x x 是这个方程的两个实数根，根据根与系数的关系和根的判别式计算即可；（3）根据根与系数的关系判断即可；【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根时，2(2)4(1)480m m ∆=---=-+>，解得2m <；（2）∵设12,x x 是这个方程的两个实数根，则1>0x ，20x >， ∴1210x x m =->，解得1m ，又∵方程有两个实根， ∴480m ∆=-+≥， 解得2m ≤， ∴12m <≤；（3）不存在，理由：∵12122,1x x x x m +==-，()2221212121212x x x x x x x x -=+=+-， ∴21122(1)m m -+=--，整理，得262m m -=-，解得4m =． 又由（2）可知2m ≤，m 的值不存在．23．（2022·全国九年级课前预习）不解方程，判别关于x 的方程220x k ++=的根的情况．【答案】方程有两个实数根． 【详解】：21,,a b c k ===，22222(22)41844k k k k k ∴=-⨯⨯=-=，20k ≥，240k ∴≥，即0≥，∴方程有两个实数根．。
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解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2019•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5Xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2由题意知△＝k 2-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4∴为所求。
三 典题示例例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2) 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法．四 巩固强化1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．2. （2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值． 3. （2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， 12b x x a +=-，12cx x a⋅=．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m•n= ； （2）计算nm 11+的值． 4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．5. （2011•玉林，20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（2111x x +）的值． 6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。
（1）用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
7.（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷)11(21x x +的值．8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值.9. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____． 10. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x 的方程x2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 ．11. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．12. （2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x ﹣1=0的两个根，则x12+x22= ． 13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．14. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x 的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ． 15. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x ﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22= ．五 参考答案真题链接答案： 1.2.3.①解：由△=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0， 又2a-b=0， ∴a=1，b=2．设这个方程的解为x1、x2， 则x1+x2=-2（a-3）=4＞0， x1•x2=a2-7a-b+12）=4＞0， ∴x1、x2均为正根；②∵a=1，b=2，∴y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2， 将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3， 顶点（2，-3），对称轴为x=2． 4.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系。