2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题22正弦定理和余弦定理的应用(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
3.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
4.坡角与坡度
1．坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 【必会结论】
1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是2π
.
高频考点一 考查测量距离
例1、如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在岸边定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．
【举一反三】如图所示，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面
上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．
【解析】第一步：在中，利用正弦定理得，解得；
第二步：在中，同理可得；
第三步：在中，利用余弦定理，
.
【方法技巧】求距离问题时要注意
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
【变式探究】
隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°.所以AC＝CD＝.
高频考点二考查高度问题
例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
答案100
解析如图所示，由已知得∠BAC＝30°，AB＝600 m，∠EBC＝75°，∠CBD＝30°，
【举一反三】如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
【答案】C
【方法技巧】求解高度问题首先应分清
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是________米．
【解析】在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，sin 45°BC
＝sin 30°CD ，BC ＝sin 30°CDsin 45°＝10.在Rt △ABC 中，tan 60°＝BC AB
，AB ＝BC tan 60°＝10.
【答案】10
高频考点三 考查角度问题
例3、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，
则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.
【举一反三】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解如图所示，设所需时间为t小时，
所以舰艇航向为北偏东75°.
【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
【变式探究】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
高频考点四考查函数思想在解三角形中的应用
例4、某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为s 海里，则s ＝ ＝＝2＋3001
.
故当t ＝31时，s min ＝10，v ＝31
＝30(海里/小时)．
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 22·20·30t ·cos(90°－30°)，
【方法技巧】解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力.
【举一反三】如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
【解析】作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3， ∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝54.
设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时， 由余弦定理得(vt )2
＝52
＋(50t )2
－2×5×50t ×54
，
即v 2
＝t225－t 400＋2 500＝＝25－812
＋900≥900，
∴当t ＝81时，v 取得最小值为30，∴其行驶距离为vt ＝830＝415
公里．
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了415
公里．
【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力。

解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以t 1
为整体构造二次函数，求最值。

【变式探究】如图所示，已知树顶A 离地面221米，树上另一点B 离地面211米，某人在离地面23
米的
C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．
【答案】6
1. （2018年全国Ⅲ卷理数）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A. B. C. D.
【答案】C
2.（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】 (1). (2). 3
【解析】由正弦定理得,所以
由余弦定理得（负值舍去）.
3. （2018年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a<c，故．
因此，
所以，
4. （2018年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1) ∠A=
(2) AC边上的高为
（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．
如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，
∴AC边上的高为．
5. （2018年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】(1) .
(2).
【解析】
（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以.
（2）由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
，所以.
1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sin B sin C;
（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故△ABC的周长为.
3.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；
（2）若，的面积为，求。

【答案】(1)； (2) b=2
（2）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2.
4.【2017北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a.
（Ⅰ）求sin C的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】 (1)根据正弦定理
(2)当时,,∴
中
5.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，
.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】 (1).(2)
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
cos A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故tan B==4．
2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos
B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.
【答案】（I）证明见解析；（II）或．
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以或，因此（舍去）或，
所以，．
3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cos C的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意知，
化简得，
即.
因为,
所以.
从而.
由正弦定理得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．
【答案】
【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则.
【答案】．
【解析】因为且，所以或，又，所以，，
又，由正弦定理得即解得，故应填入．
【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为．
【答案】2
【解析】因为
所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，
函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，
所以函数有2个零点.
【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m.
【答案】
【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.
【2015高考福建，理12】若锐角的面积为，且，则等于________．【答案】7
【解析】由已知得的面积为，所以，，所以
．由余弦定理得，．
【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)，，因为，
，所以．由正弦定理可得．
【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=
.
（1）求的值；
（2）若的面积为7，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由及正弦定理得，
∴，又由，即，得，
解得；（2）由，得，，
又∵，∴，由正弦定理得，
又∵，，∴，故.
【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.
【答案】
【解析】如图，
【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量
与平行．
（I）求；
（II）若，求的面积．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得
而
得，即
因为，所以．
故的面积为．
解法二：由正弦定理，得，
从而，
又由，知，所以.
故
所以的面积为.
（2014·天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝41
a ，2sin B ＝3sin
C ，则cos A 的值为________．
【答案】－41
【解析】∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c . 又∵b －c ＝4a ，∴a ＝2c ，b ＝23
c ， ∴cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝c×c 3＝－41
.
（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
【答案】[－1，1]
【解析】在△OMN 中，OM ＝0202≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得02
0＝sin 45°1，所以0202＝sin α∈[1，]，所以0≤x 02≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．
（2014·广东卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则b a
＝________．
【答案】2
（2014·安徽卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .
(1)求a 的值； (2)求sin4π
的值．
【解析】 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝2ac a2＋c2－b2
＝2sin B sin A ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·2ac a2＋c2－b2.
因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 . (2)由余弦定理得cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝69＋1－12
＝ －31.因为0<A <π，所以sin A ＝＝91＝32.
故sin 4π＝sin A cos 4π＋cos A sin 4π＝32×22＋31×22＝62.
（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝3π
，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝71.
(1)求sin ∠BAD ；
(2)求BD ，AC 的长．
图12
【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝71，所以sin ∠ADC ＝73
.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝73×21－71×23＝143
.
（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 ，则△ABC 的面积等于________．
【答案】2
【解析】由sin A BC ＝sin B AC ，得sin B ＝34sin 60°
＝1， ∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，
则S △ABC ＝21·AC ·BC sin C ＝21
×4×2sin 30°＝2，即△ABC 的面积等于2. （2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝.
图15
(1)求cos ∠CAD 的值；
(2)若cos ∠BAD ＝－147，sin ∠CBA ＝621
，求BC 的长．
(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝77，cos ∠BAD ＝－147
， 所以sin ∠CAD ＝＝ 27＝721，
sin ∠BAD ＝＝27＝1421
.
于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )
＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝1421×77－147×721 ＝23.
在△ABC 中，由正弦定理，得sin αBC ＝sin ∠CBA AC
. 故BC ＝sin ∠CBA AC·sin α＝621
＝3.
（2014·江西卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2
＝(a －b )2
＋6，C ＝3π
，
则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.23 C.23
D ．3 【答案】C
【解析】由余弦定理得，cos C ＝2ab a2＋b2－c2＝2ab 2ab －6＝21，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝21ab sin C ＝23
. （2014·辽宁卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知·＝2，cos B ＝31
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值；
(2)cos(B －C )的值．
(2)在△ABC 中，sin B ＝＝21＝32
.
由正弦定理，得sin C ＝b c sin B ＝32·32＝92
. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝＝22＝97
.
所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝31×97＋32×92＝2723
.
（2014·全国卷）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝31
，求B .
【解析】由题设和正弦定理得
3sin A cos C ＝2sin C cos A ，
故3tan A cos C ＝2sin C .
因为tan A ＝31
，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝21
.
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]
＝－tan(A ＋C ) ＝tan Atan C －1tan A ＋tan C ＝－1，
所以B ＝135°.
（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ， C 的对边，a ＝2，且(2＋
b )·(sin A －sin B )＝(
c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
【答案】
（2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC 的面积是21
，AB ＝1，BC ＝，则AC ＝( ) A ．5 B. C ．2 D ．1
【答案】B
【解析】根据三角形面积公式，得21BA ·BC ·sin B ＝21，即21×1××sin B ＝21，得sin B ＝22
，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝4π，所以AC ＝22
＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝43π，所以AC ＝22
＝.
（2014·山东卷）在△ABC 中，已知·＝tan A ，当A ＝6π
时，△ABC 的面积为______． 【答案】61
【解析】因为AB ·AC ＝||·||cos A ＝tan A ，且A ＝6π，所以||·||＝32，所以△ABC 的面积S ＝21
||·||sin A ＝21×32×sin 6π＝61
.
（2014·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；
(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．
(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .
由余弦定理得
cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝2ac a2＋c2－ac ≥2ac 2ac －ac ＝21
， 当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为21.
（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图13
【答案】60
【解析】过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝sin 67°AD ＝0.9246
＝50(m)，
在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝sin 30°ABsin 37°
＝60 (m)， 故河流的宽度BC 约为60 m.
（2014·浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝，cos 2A －cos 2B ＝sin A cos A －sin B cos B .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ＝54
，求△ABC 的面积．
【解析】(1)由题意得21＋cos 2A －21＋cos 2B ＝23sin 2A －23sin 2B ，即23sin 2A －21cos 2A ＝23
sin 2B －21cos 2B ，sin 6π＝sin 6π.
由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －6π＋2B －6π
＝π， 即A ＋B ＝32π，所以C ＝3π
.
(2)由c ＝，sin A ＝54，sin A a ＝sin C c ，得a ＝58
.
由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝53，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝103
. 所以，△ABC 的面积为S ＝21ac sin B ＝253＋18
.
（2014·重庆卷）已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋21
，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
A ．bc (b ＋c )>8
B ．ab (a ＋b )>16
C ．6≤abc ≤12
D ．12≤abc ≤24
【答案】A。