中考数学练习与解析专题25 尺规作图

考点：作图（复杂作图），等腰三角形的判定和性质 。 4. （江苏宿迁 10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD＞AB． （1）作出∠ABC 的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线交 AD 于点 E，AF⊥BE，垂足为点 O，交 BC 于点 F，连接 EF．求证：四 边形 ABFE 为菱形．
（2）证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠EAF。 ∵∠EBF=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。 ∵AO⊥BE，∴BO=EO。 ∵在△ABO 和△FBO 中，∠ABO=∠FBO ，BO=EO，∠AOB=∠FOB， ∴△ABO≌△FBO（ASA）。∴AO=FO。 ∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO。∴四边形 ABFE 为菱形。
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作： ①在图 3 的画板内，在直线 a 与直线 b 上各取一点，使这两点与直线 a、b 的交点构成等腰三角形（其中交 点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分． ②在图 3 的画板内，作出“直线 a、b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出 图形，并保留作图痕迹． 请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内） 【答案】见解析 【解析】 试题分析：（1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理。
1
5. （•梅州）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，分别以 A、C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于
2
点 M、N，连结 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、E，连结 AE，则：
（1）∠ADE=
；
（2）AE
EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当 AB=3，AC=5 时，△ABE 的周长=
【答案】（1）90°；（2）=；（3）7. 【解析】 试题分析：（1）由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出结论； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出 BC 的长，进而可得出结论．
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 试题解析：（1）∵由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线， ∴∠ADE=90°． （2）∵MN 是线段 AC 的垂直平分线， ∴AE=EC． （3）∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
5.画角平分线
会利用 1.画三角形 基本作 图画较 简单的 2.画圆 图形．
会利用基本作图画三角形较简单的图形． 会利用基本作图画圆．
☞2 中考
[题组]
1. (·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是(
)
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC 为等边三角形，
故乙作法正确，
故选 A
考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形．
3.(·玉林)如图，BC 与 CD 重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE 可由△ABC 逆时针旋转
∴BC= 52 − 32 =4，
∵AE=CE， ∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7． 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．
[题组]
1. （江苏南通 3 分）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹 M N 是【 】
A．以点 B 为圆心，OD 为半径的弧 B．以点 C 为圆心，DC 为半径的弧 C．以点 E 为圆心，OD 为半径的弧 D．以点 E 为圆心，DC 为半径的弧 【答案】D。 【解析】 试题分析：根据题意，所作出的是∠OBF=∠AOB，，
考点：作图（基本作图），平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形 的判定。 5. （甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏 8 分）两个城镇 A、B 与两条公路 l1、l2 位置如图所示，电信部 门需在 C 处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离 也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件 的点 C．（不写已知、求 作、 作法，只保留作图痕迹）
连接 OB， ∵BC 垂直平分 OD， ∴E 为 OD 的中点，且 OD⊥BC，
1
∴OE=DE= OD，又 OB=OD，
2 1
在 Rt△OBE 中，OE= OB，
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 ∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE 为△AOB 的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC 为等边三角形， 故甲作法正确； 根据乙的思路，作图如下：
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 ①作∠DAC 的平分线 AM。②连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 （2）猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。
【答案】见解析 【解析】 试题分析：（1）根据题意画出图形即可。
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得 AF∥BC；然后 再证明△AEF≌△CE B，即可得到 AF=BC。 试题解析：（1）作图如下：
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 3. （浙江杭州 6 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，用直尺和圆规作出∠A 的平分线与 BC 边的垂直平分线 的交点 Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结 QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．
【答案】见解析 【解析】 试题分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出 Q 点位置，从而根据垂直平分线和角平分 线的性质得出答案即可（答案不唯一）。 试题解析：如图所示：发现：DQ=AQ 等等（答案不唯一）
【答案】见解析 【解析】 试题分析：到城镇 A、B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所 夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点 C。由于两条公路所夹角 的角平分线有两条，因此点 C 有 2 个。
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 试题解析：作出线段 AB 的垂直平分线；作出 l1 l2 和夹角的角的平分线。它们的交点即为所求作的点 C（2 个）。
A．SAS
B．SSS
【答案】B.
C．ASA
D．AAS
在△OCD 与△O′C′D′，
O′C′ =OC O′D′ =OD C′D′ =CD
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是 SSS．
故选：B．
答案：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
2.（涉县一模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
而得到．请你利用尺规作出旋转中心 O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋
转角度是
．
【答案】90°． 【解析】 试题分析：分别作出 AC，CE 的垂直平分线进而得出其交点 O，进而得出答案． 试题解析：如图所示：旋转角度是 90°．
考点：作图-旋转变换． 4. （•河南）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
根据作一个角等于已知角的作法， M N 是以点 E 为圆心，DC 为半径的弧。 故选 D。 考点：作图（基本作图）。 2. （山西省 8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的一点，点 E 是 AC 的中点。 （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。
中考数学练习与解析专题 25 尺规作图
中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 ☞解读考点
知识点
名师点晴
尺规作 图
尺规作图概念
了解什么是尺规作图
1.画一条线段等于已知线段 [来
源:Z.xx. k.]
五种基 本作图
[来]
2.画一个角等于已知角 3.画线段的垂直平分线
4.过已知点画已知直线的垂线
会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理 由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．
考点：作图（应用与设计作图），线段垂直平分线的性质， 角的平分线的性质，分类思想的应用。 6. （浙江舟山 10 分）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图 1，直 线 a，b 所成的角跑到画板外面 去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
（1）①请帮小明在图 2 的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）； ②说出该画法依据的定理．
连接 OB，BD， ∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB， ∴△BOD 为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°， 又 BC 垂直平分 OD，∴OM=DM， ∴BM 为∠OBD 的平分线， ∴∠OBM=∠DBM=30°， 又 OA=OB，且∠BOD 为△AOB 的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°，
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①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；
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②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数为
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 【答案】105°．
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
甲：①作 OD 的垂直平分线，交⊙O 于 B，C 两点．
②连接 AB，AC.△ABC 即为所求作的三角形．
乙：①以 D 为圆心，OD 的长为半径作圆弧，交⊙O 于 B， C 两点．
②连接 AB，BC，CA.△ABC 即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(
)
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
【答案】见解析 【解析】 试题分析：（1）根据角平分线的作法作出∠ABC 的平分线即可。
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中考数学练习与解析专题 25 尺规作图 （2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，进而得出△ABO≌△FBO，
进而利用 AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可。 试题解析：（1）如图所示：
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
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【答案】A. 【解析】 试题分析：由甲的思路画出相应的图形，连接 OB，由 BC 为 OD 的垂直平分线，得到 OE=DE，且 BC 与 OD 垂直， 可得出 OE 为 OD 的一半，即为 OB 的一半，在直角三角形 BOE 中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直 角边所对的角为 30°，得到∠OBE 为 30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE 为 60°，再由∠BOE 为三角形 AOB 的外角，且 OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO 也为 30°，可得出∠ABC 为 60°， 同理得到∠ACB 也为 60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC 为 60°，即三角形 ABC 三内角相等，进而 确定三角形 ABC 为等边三角形； 由乙的思路画出相应的图形，连 接 OB，BD，由 BD=OD，且 OB=OD，等量代换可得出三角形 OBD 三边相等，即 为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由 BC 垂直平分 OD，根据三线合一得到 BE 为角平分线，可得出∠ OBE 为 30°，又∠BOE 为三角形 ABO 的外角，且 OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO 也为 30°， 可得出∠ABC 为 60°，同理得到∠ACB 也为 60°，利用三角形的内 角和定理得到∠BAC 为 60°，即三角形 ABC 三内角相等，进而确定三角形 ABC 为等边三角形，进而得出两人的作法都正确． 试题解析：根据甲的思路，作出图形如下：
（2）AF∥BC 且 AF=BC 理由如下： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C。 由作图可知：∠DAC=2∠FAC， ∴∠C=∠FAC。∴AF∥BC。 ∵E 是 AC 的中点，∴AE=CE。 ∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）。∴AF=BC。
考点：作图（复杂作图）, 等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行的判定，全等三角形的判定和性质。