九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别

二次函数与一元二次方程的联系和区别
一、二次函数
1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）
①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下
③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大
④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）
⑥抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x =
2a
b
-,。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。

当2a
b -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2
-4ac=0
时，P 在x 轴上。

2、二次函数的两种表达式
①一般式：y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2
+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b
2
-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。

Δ= b
2
-4ac=0时，
抛物线与x 轴有1个交点。

Δ= b 2
-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、一元二次方程
y= ax 2
+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2
+bx+c=0 三、两者之间的联系
①ax 2
+bx+c=0,即为y= ax 2
+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2
+bx+c 为零的x 的取值
③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。

④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。

⑤可以同时利用△，方程用它来判断根的个数△=0方程两个相等的实根
△﹥0方程两个不等的实根 △﹤0方程无实根
函数用它来判断图像与x 轴的交点个数
△=0图像一个（两个相等）交点
△﹥0方程两个不等的交点 △﹤0方程无交点
四、区别
①说白了ax 2
+bx+c=0就是y =ax 2
+bx+c ， y=0时的特例。

我们研究函数是研究许多点组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。

②函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。

学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。

五、复习
1、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: ①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.
当二次函数y=ax +bx+c 的图象和x 轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根. 练习
例1、 求二次函数图象y=x 2
-3x+2与x 轴的交点A 、B 的坐标。

小结：
?
即：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两
个交点——相交
2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根
3、△＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根
例二、3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则由根与系数的关系可知
x1+x2=- x1x2=
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则是否有同
样的结论呢？
结论：若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），
则x1+x2= ，x1x2=
六、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，
则a的范围是；
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。

3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。

4、判断下列各抛物线:①是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。

②求出图像与Y轴的
交点坐标。

（1）y=6x2+7x+1 （2）y=-x2-x-3
（3）y=x2-4x+4
5. 已知抛物线 y=-2（x+ 1）2 +8 ,
①求抛物线与x轴和y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
七、直击中考
1.（2009丽水）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如
图所示，则
当 x 时，y=0;
当 x 时，y>0;
当 x 时，y<0.
（2014黄冈）2、校运会上，某运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系
式为y=-0.2x2+1.5x+1.7，则此运动员的成绩是多少？
（2014荆州）3、已知抛物线y=x2+2x+m+1。

（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。

（2）若抛物线与直线y=x+2m没有交点，求m的值。

4、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是
抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度
为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏
距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标
系中（如下图）．（1）、求抛物线的解析式（2）、求两盏景
观灯之间的水平距离
5、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
(2)y=x2 -kx-2+k与x轴有两个不同的交点。

（2）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC .
（2014年孝感）6、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的
正半轴，B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。

2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。