数学建模—函数模型及其应用

(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
pH=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃
将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函
数的性质(单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
对点训练1(2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定
成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图像如图1所示.由于目前该片盈利未达
到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的
端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图像可知存在点
x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到
最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.
Байду номын сангаас
解题心得用函数图像刻画实际问题的解题思路
(2)(2020北京人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消
化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为
y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
①口服药物后
小时血液中药物浓度最高;
②这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度如下表,
-4k
1
1
=3,则-4k=ln3=-ln
D.
1
2
70=10lg ,60=10lg ,
0
0

2
70-60=10lg -10lg ,则
0
0
1
1
1
1=lg ,所以 =10.
2
2
3,得
1
k=4ln
考点3
构建函数模型解决实际问题 (多考向探究)
考向1 二次函数模型
【例3】 (2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益
第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为
0.301 0,而0.072+0.301 0=0.373 0<0.5.
综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.
解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图像,求解时先用
2.9 数学建模——函数模型及其应用
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

(3)反比例函数模型:f(x)=
(7)分段函数模型:y= 2 (),∈2 ,
3 (),∈3 ;

(8)对勾函数模型:y=x+ (a
为常数,a>0).
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
性质
函数
y=ax(a>1)
在(0,+∞)内的增减性 单调递增
y=logax(a>1)
单调递增
y=xα(α>0)
单调递增
增长速度
越来越慢
当k=0时,y=b,则-b为固定成本,由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b
变大,则-b变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,
直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则-b不变,成本不变.故③正确,④错
误.
考点2
已知函数模型解决实际问题
【例2】 (1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流
半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者
数量最大时是在图像最右端,最小值是在图像最左端,此时都不是被捕食者的数
量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图像最上端,最小是在图像最下端,也
不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到
最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图像最右
率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风
险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产
品的收益分别为0.125万元,0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资
获得最大收益,其最大收益是多少万元?
函数图像.
给出下列四种说法:
①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是
.(填写所有正确说法的编号)
答案 ②③
解析 由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,即k为票价,
待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决
实际问题.
对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体
原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ ℃可由
公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的
0
级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的
倍.
答案 (1)D
(2)10
解析 (1)由题知,80 ℃的物体,放在 20 ℃的空气中冷却,4 分钟以后物体的温
度是 40 ℃,则 40=20+(80-20)e ,从而 e
-4k
1.009
3≈ 4 ≈0.3.故选
(2)依题意,可知
所以
n
f(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
0.954 5 0.930 4 0.693 2 0.468 0 0.301 0 0.189 2 0.116 3 0.072
一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单
位以上,第三次服药时间是
.(时间以整点为准)
答案 (1)C
(2)①ln 2
解析 (1)由
解 (1)设投资额为 x(x≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为
②15:00

1+e
=0.95K,得e
*
-0.23( -53)
-0.23( * -53)
=
1
,两边取以
19
e 为底的对数,得
-0.23(t*-53)=-ln 19≈-3,所以 t*≈66.
(2)①将 k=4,a=1,b=2 代入可得 y=4(e -e
-t
1
e
=
1
时,即
2
t=ln 2 时 y 取得最大值.
4.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
则对x,y最适合的拟合函数是(
x
y
A.y=2x
0.50
-0.99
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
)
0.99
0.01
2.01
0.98
3.98
2.00
答案 D
解析 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计
行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数

I(t)(t的单位:天)的Logistic模型: I(t)=1+e -0.23(-53) ,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(
A.60
B.63 C.66 D.69
)(参考数据:ln 19≈3)
)
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值
答案 C
解析 由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上
)
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际
问题.(
)
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).(
)
(5)不存在 x0,使 ax0<0 <logax0.
( × )
2.(2020山东潍坊临朐模拟二,3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录
(2)当 x>0 时,x= a时取最小值 2 a,当 x<0 时,x=- a时取最大值-2 a.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( × )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于
y=xα(α>0)的增长速度.(
假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,
而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,
后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者
之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以
x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是
这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向
为时间增加的方向.下列说法正确的是(
大于0的常数.现有80 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的
温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099)(
A.0.6
)
B.0.5 C.0.4 D.0.3
(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公

式计算: L=10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强
酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是(
)
(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.1.398
B.1.204
C.1.602
D.2.602
答案 C
解析
依题意pH=-lg(2.5×10-2)=
2.5
100
-lg100 =lg 2.5=lg 40=lg(4×10)
=lg 4+lg 10=2lg 2+1≈2×0.301 0+1=1.602.故选C.
算,排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.
5.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为
8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模
型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为
万元.
答案 1 024
相对平稳
越来越快
随x的增大逐渐
随x的增大逐渐表 随a值变化
现为与 x轴 平行 而各有不同
图像的变化
表现为与
y轴 平行
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.数学建模的过程
常用结论
形如
a
f(x)=x+ (a
x
为常数,a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
(1)该函数在(-∞,- a]和[ a,+∞)内单调递增,在[- a,0]和(0, a]上单调递减.
1
)=-4(e2
-2t
1
1
− e )=-4(e
1 2
− 2) +1,所以当
②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则
第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.116 3,第二
次服药后4小时的药物残留为0.468 0,而0.116 3+0.468 0=0.584 3>0.5.