福建省莆田市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

莆田市2023-2024学年下学期期末质量监测
高二数学（答案在最后）
本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某质点的运动方程是3
s t =，则该质点在2t =时的瞬时速度是（）
A.4
B.6
C.8
D.12
2.已知某次考试的成绩(
)2
~80,10X N ，若(7080)P X a ≤≤=，则(90)P X ≥=（
）
A.
12
a - B.1a
- C.
2
a
D.a
3.
已知向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r
，若A ，B ，C 三点共线，则m =（
）
A.3-
B.2
- C.2 D.3
4.随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下
ξ
1
P
2
6p p
则p =（）
A.12
-
B.
12
C.
13 D.12-或
1
3
5.斜三棱柱111ABC A B C -中，设AB a =
，AC b = ，1AA c = ，若1
2BP PC =uu r uuu r ，则AP = （）
A
.122333a b c ++ B.211333a b c ++r r r
C.122333a b c --r r r
D.211333
a b c --
6.函数||2()e 2x f x x =-，[2,2]x ∈-的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
7.1x ∀，2(0,)x a ∈，且12x x <，不等式1221
12
ln ln 1x x x x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A.(0,e]
B.
(2
0,e
⎤⎦
C.[e,)
+∞ D.)
2e ,⎡+∞
⎣8.在三棱锥-P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===.若M 为该三棱锥外接球上的
一点，则MB MC ⋅
的最大值为（
）
A.2
B.4
C.2+
D.4+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()
22,x y ，…，(),n n x y ，其中
1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ，方差分别为2
x s 和2y s .（
）
A.该样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱
B.假设一组数据是1x a +，2x a +，…，n x a +，则该组数据的方差为2x
s C.该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数0.92r =D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心()
,x y 10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用1A ，2A ，3A 分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用B 表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）
A.()1845
P A B =
B.31()90
P B =
C.()26|31
P A B =
D.3A 和B 相互独立
11.M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，则（）
A.当M 在线段11C D 上运动时，三棱锥1A BCM -的体积为定值
4
3
B.当M 在线段11B D 上运动时，AM 与BD 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
C.设E 是AB 的中点，若
10ME A C ⋅=uuu r uuu r
，则线段ME 长度的最大值为D.若直线AM 与平面ABCD 所成的角为
π
4
，则点M 的轨迹长度为π+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知()2
6.6350.01P
χ
≥=，()210.8280.001P χ≥=.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，
某研究员搜集数据并计算得到27.235χ=，则我们至少有______%把握认为喜欢某种甜品与性别有关.13.已知(1,0,0)A ，(2,1,0)B ，(1,1,1)C 三点，则A 到直线BC 的距离为______.
14.已知()f x 和()g x 为R 上的可导函数，满足：()(1)1g x f x =-+，()()1g x f x ''=-，且(1)f x +为奇函数.写出函数()f x '图象的一个对称中心，可以为______.若(0)1f =，则
10
1
()k g k ==∑______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：
15.已知函数2
1()(1)ln 2
f x x a x a x =
-++，a ∈R .（1）若1a =，求()f x 在[1,4]上的值域；（2）讨论()f x 的单调性.
16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）
（1）建立y 关于t 的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.
附注：参考数据：
9
1
35.37i
i y
==∑，9
1
191.16i i i t y ==∑.参考公式：回归方程ˆˆˆy bt a =+的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i i n
i i t
t
y y b
t t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt
=-.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，CD BC ⊥，24AB CD ==，45BAD ∠=︒
，PD =，
PBC 为等边三角形
.
（1）若Q 为PB 的中点，求证：//CQ 平面PAD ；（2）求二面角A PD C --的正弦值.
18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是1
2和p ，且每
人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
（1）若23
p =
，（i ）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；（ii ）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.（2）若
12
23
p ≤≤，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？19.设P 是直角坐标平面xOy 上的一点，曲线Γ是函数()y f x =的图象.若过点P 恰能作曲线Γ的k 条切线
()k ∈N ，则称P 是函数()y f x =的“k 度点”.已知()x f x e =.
（1）求证：()1f x x +≥；
（2）设(,1)P a a +，判断P 为函数()f x 的“几度点”，并说明理由；
（3）设(0,)M m ，若M 为函数e x y x 的“3度点”，求实数m 的取值范围.
莆田市2023-2024学年下学期期末质量监测
高二数学
本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某质点的运动方程是3
s t =，则该质点在2t =时的瞬时速度是（）
A.4
B.6
C.8
D.12
【答案】D 【解析】
【分析】求导，利用导数的几何意义得到瞬时速度.【详解】23s t '=，当2t =时，2233212s t '==⨯=，故质点在2t =时的瞬时速度为12.故选：D
2.已知某次考试的成绩(
)2
~80,10X N ，若(7080)P X a ≤≤=，则(90)P X ≥=（
）
A.
12
a - B.1a
- C.
2
a D.a
【答案】A 【解析】
【分析】由正态分布的对称性求解概率.【详解】由正态分布对称性可知，12(7080)121
(90)222
P X a P X a -≤≤-≥===-.
故选：A
3.已知向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r
，若A ，B ，C 三点共线，则m =（
）
A.3-
B.2
- C.2 D.3
【答案】B 【解析】
【分析】根据条件得到AB AC λ=
，再利用向量相等，即可求出结果.
【详解】因为A ，B ，C 三点共线，则AB AC λ=
，又向量(1,,3)AB m =-uu u r ，(3,6,9)AC =-uuu r ，所以13639m λ
λλ
=-⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，解得1,23m λ=-=-，
故选：B.
4.随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下
ξ
1
P
2
6p p
则p =（）
A.12
-
B.
12
C.
13
D.12-
或13
【答案】C 【解析】
【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程261p p +=，即可求出结果.【详解】由题知，261p p +=，解得13p =或12-，又01p <<，所以13
p =，
故选：C.
5.斜三棱柱111ABC A B C -
中，设AB a =
，AC b = ，1
AA c =
，若12BP PC =uu r uuu r ，则AP = （
）
A.122333a b c ++
B.211333a b c ++r r r
C.122333
a b c --r r r D.211333
a b c -- 【答案】C 【解析】
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为1122()
33
AP AB BP AB BC AB AC AB =+=+=+-
112122()33333
AB AC AA a b c =-+=--
.
故选：C.
6.函数||2()e 2x f x x =-，[2,2]x ∈-的图象大致为（
）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据条件，得出||2()e 2x f x x =-的奇偶性和在区间[2,2]-上的单调性，结合图象，选项A 符合题意，选项BCD 不符合题意，即可求出结果.
【详解】因为[2,2]x ∈-，关于原点对称，又||2||2()e 2()e 2()x x f x x x f x --=-==--，即()f x 为偶函数，
当0x ≥时，2()e 2x f x x =-，()e 4x f x x '=-，
令()e 4x h x x =-，则()e 4x h x '=-为增函数，因为(1)e 40h '=-<，2(2)e 40h '=->，
()01,2x ∃∈，使00()e 40x h x '=-=，即有0e 4x =，
当0(0,)x x ∈时，0()0h x '<，0(,2)x x ∈时，0()0h x '>，
即()()e 4x f x h x x '==-，在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,2)x 上单调递增，所以0min 000()()e 44(1)0x
f x f x x x ''==-=-<，
又2
(2)e 80f '=-<，1411(e 4044f '=-⨯>，1
211
(e 4022
f '=-⨯<，
011,42t ⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，当0(0,)x t ∈时，()0f x '>，0(,2)t t ∈时，()0f x '<，
所以()f x 在区间0(0,)t 上单调递增，在区间()0,2t 上单调递减，且011,42t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，结合图象，选项A 符合题意，选项BCD 不符合题意，故选：A.
7.1x ∀，2(0,)x a ∈，且12x x <，不等式
1221
12
ln ln 1x x x x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A.(0,e]
B.
(2
0,e
⎤⎦
C.[e,)
+∞ D.)
2
e ,⎡+∞
⎣【答案】B 【解析】
【分析】根据条件变形得到2121ln 1ln 1x x x x -->在区间区间(0,)a 上恒成立，构造函数ln 1
()x h x x -=，得到ln 1
()x h x x
-=
在区间(0,)a 单调递增，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的增区间，即可求出结果.
【详解】因为12x x <，不等式
1221
12
ln ln 1x x x x x x -<-在区间(0,)a 上恒成立，
即122112ln ln x x x x x x ->-，也即1221ln l 1)1)n ((x x x x ->-在区间(0,)a 上恒成立，整理得到2121
ln 1ln 1
x x x x -->在区间(0,)a 上恒成立，令ln 1()x h x x -=
，所以ln 1
()x h x x -=在区间(0,)a 上单调递增，又22
1(ln 1)2ln ()x x h x x x
'
---==，令()0h x '=，得到2e x =，当2(0,e )x ∈，()0h x '>，即ln 1
()x h x x
-=在区间2(0,e )的单调递增，
所以2(0,)(0,e )a ⊆，得到20e <≤a ，故选：B.
8.在三棱锥-P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===.若M 为该三棱锥外接球上的
一点，则MB MC ⋅
的最大值为（
）
A.2
B.4
C.2+
D.4+【答案】C 【解析】
【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解.
【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，
()0,0,0P ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2C ，()1,1,1O ，(),,M x y z ，
设三棱锥外接球的半径为R ，2R =
=R ，
()()
MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ，
()
2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ ，
2
23MO R == ，()1,1,1OB =-- ，()1,1,1OC =-- ，()2,0,0OB OC +=- ，1111OB OC ⋅=--=-
，
(
)
cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ ，
所以3,12,MB MC OB OC MO OB OC MO ⋅=++-=++ ，
当cos ,1OB OC MO += 时，MB MC ⋅
取得最大值2+故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()
22,x y ，…，(),n n x y ，其中
1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ，方差分别为2
x s 和2y s .（
）
A.该样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱
B.假设一组数据是1x a +，2x a +，…，n x a +，则该组数据的方差为2x
s C.该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数0.92r =D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心(),x y 【答案】ABD 【解析】
【分析】选项A ，利用相关系数的意义，即可求解；选项B ，根据条件，利用方差的计算公式，即可求解；选项C ，由题知1r =，所以选项C 错误；选项D ，由最小二乘法知，样本中心(),x y 在线性回归方程上，即可判断正误.
【详解】对于选项A ，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数||r 越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A 正确，
对于选项B ，因为1x a +，2x a +，…，n x a +的平均数为x a +，方差为
2222221212211[()()()][()()()]x n n x a x a x a x a x a x a x x x x x x n n
s +--++--+++-=-+-++-= ，
所以选项B 正确，
对于选项C ，该成对样本数据点均在直线0.920.53y x =+上，则样本相关系数1r =，所以选项C 错误，对于选项D ，由最小二乘法知，样本中心(),x y 在线性回归方程上，所以选项D 正确，故选：ABD.
10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用1A ，2A ，3A 分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用B 表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）
A.()18
45
P A B = B.31()90
P B =
C.()26|31
P A B =
D.3A 和B 相互独立
【答案】AB 【解析】
【分析】选项A ，利用条件概率公式即可求解；选项B ，利用全概率公式即可求解；选项C ，利用条件概率公式即可求解；选项D ，分别求出32()30P A B =和331()()405
P A P B =，利用相互独立事件的判定方法即可求解.
【详解】由题知1234312
(),(),()9939
P A P A P A =
===，1234233
(|),(|),(|)1051010
P B A P B A P B A ====，
对于A ，因为()111248
(|)()5945
P A B P B A P A ==⨯=，所以A 正确，
对于B ，因为112233()(|)()(|)()(|)()
P B P B A P A P B A P A P B A P A =++421323319531091090
=
⨯+⨯+⨯=，所以B 正确，对于C ，()222231()(|)()9
103|31()()3190
P A B P B A P A P A B P B P B ⨯
====，所以C 错误，
对于D ，333232
()()(|)91030
P A B P A P B A ==⨯=，3323131
()()()990405
P A P B P A B =⨯=≠，所以D 错误，
故选：AB.
11.M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，则（）
A.当M 在线段11C D 上运动时，三棱锥1A BCM -的体积为定值
4
3
B.当M 在线段11B D 上运动时，AM 与BD 所成角的取值范围是ππ,32
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
C.设E 是AB 的中点，若10ME A C ⋅=uuu r uuu r
，则线段ME
长度的最大值为D.若直线AM 与平面ABCD 所成的角为π
4
，则点M
的轨迹长度为π+【答案】BCD 【解析】
【分析】选项A ，利用等体积法，即11A BCM M A BC V V --=，过过M 作1MH D C ⊥于H ，根据条件知MH 为
三棱锥1
M A BC -高，即可求解；选项B ，建立空间直角坐标系，设111D M D B λ=
，进而求得
cos cos ,BD AM θ==
，即可求解；选项C ，通过找出一个过E 且与1AC 垂直的平面，进
面得出点M 的轨迹，即可求解；选项D ，根据条件得到直线AM 与1AA 所成的角为π
4
，再对M 在各个面的情况进行讨论，即可求解.
【详解】对于选项A ，如图1，连接1D C ，因为11A BCM M A BC V V --=，易知平面1A BC 即平面11A BCD ，过M 作1MH D C ⊥于H ，因为11A D ⊥面11DCC D ，MH ⊂面11DCC D ，
所以11A D ⊥MH ，又1111AD DC D ⋂=，111,A D D C ⊂面11A BCD ，所以MH ⊥面11A BCD ，
又1A BC 的面积为定值，而MH 随着M 的变化而变化，所以三棱锥1A BCM -的体积不为定值，所以选项A
错误，
对于选项B ，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，
则11(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(2,0,0)D B D B A ，设111(2,2,0)D M D B λλλ== ，01λ≤≤，又(2,2,0)=--
BD ，11(2,0,2)(2,2,0)(22,2,2)AM AD D M λλλλ=+=-+=- ，
设AM 与BD 所成的角为π0,
2θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
则cos cos ,BD AM θ==
，
当12
λ=
时，cos 0θ=，此时π
2θ=，
当12λ≠时，令110,22t λ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦
，cos θ=
=
又10,2
t ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
[)2,∞+，所以1cos 0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得到ππ32θ≤<，故
ππ
32
θ≤≤，所以选项B 正确，
对于选项C ，如图3，取111111,,,,AD DD D C C B B B 的中点,,,,F H Q N P ，连接11,,,,,,,,EF FH HQ QN NP PE HP BD B D ，
易知11////////EF BD B D QN HP ，所以EF 与QN 确定唯一平面α，由正方体性质知EQ 与HP 相交，所以HP α⊂，
连接AC ，易知AC EF ⊥，又1AA EF ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂面1A AC ，
所以EF ⊥面1A AC ，又1
AC ⊂面1A AC ，所以1EF A C ⊥，同理可得1FH A C ⊥，又EF FH F ⋂=，所以1A C ⊥面EFHQNP ，
因为10ME A C ⋅=uuu r uuu r
，所以1ME A C ⊥，故M ∈面EFHQNP ，又M 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一点，故M 在正六边形EFHQNP 的边上运动，
由对称性知，当M 与Q 重合时，线段ME 长度最大，最大值为1EQ BC ==，所以选项C 正确，
对于选项D ，因为直线AM 与平面ABCD 所成的角为
π
4
，
若点M 在平面11BCC B 内，如图4，过MO BC ⊥，连接AO ，则MAO ∠为直线AM 与平面ABCD 所成的角，
由题知π
4
MAO ∠=
，则AO MO =，显然只有M 与1B 重合符合题意，同理可知若点M 在平面11DCC D 内，M 与1D 重合符合题意，又因为1AA ⊥面ABCD ，得直线AM 与1AA 所成的角为
π4
，
若点M 在平面11ADD A 内时，点M 的轨迹是1AD ，此时轨迹长为1AD =，
若点M 在平面11ABB A 内时，点M 的轨迹是1AB ，此时轨迹长为1AB =，若点M 在平面1111D C B A 时，作MP ⊥面ABCD ，连接1,,AP AM A M ，如图4所示，
因为π
4
PAM ∠=
，所以AP PM =，又PM AB =，所以12AP A M ==，得到点M 的轨迹是以1A 为圆心，以2为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为1
2π2π4
⨯⨯=，
所以点M 的轨迹长度为π+，故选项D 正确，故选：BCD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项C 和选项D ，对于选项C ，将问题转化成寻找一个过E 且与1AC 垂直的平面，从而得出点M 的轨迹；对于选项D ，根据条件将问题转化成与直线AM 与1AA 所成的角为π
4
，再对点M 在各个平面的情况进行讨论，即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知()2
6.6350.01P
χ
≥=，()210.8280.001P χ≥=.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，
某研究员搜集数据并计算得到27.235χ=，则我们至少有______%把握认为喜欢某种甜品与性别有关.【答案】99
【解析】
【分析】根据6.6357.23510.828<<，再利用题设条件，即可求出结果.【详解】因为6.6357.23510.828<<，又()2
6.6350.01P
χ
≥=，()210.8280.001P χ≥=，
所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关，故答案为：99.
13.已知(1,0,0)A ，(2,1,0)B ，(1,1,1)C 三点，则A 到直线BC 的距离为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为(1,0,1)BC =- ，(0,1,1)AC =
，所以1
cos ,2
AC BC AC BC AC BC ⋅==⋅
，
得到sin ,2
AC BC == ，
所以A 到直线BC
的距离为sin ,22
d AC AC BC ==
=
，
故答案为：
2
.14.已知()f x 和()g x 为R 上的可导函数，满足：()(1)1g x f x =-+，()()1g x f x ''=-，且(1)f x +为奇函数.写出函数()f x '图象的一个对称中心，可以为______.若(0)1f =，则
10
1
()k g k ==∑______.
【答案】①.(0,0)（(2,0)(Z)k k ∈，答案不唯一）
②.11
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复合函数求导可得()()f x f x ''=--，结合奇函数的意义并求导可得函数()f x '图象的关于直线1x =对称，进而求出周期求出对称中心；由导数探讨原函数可得(1)(1)f x f x -=-，并探求函数()f x 的周期，借助函数图象平移求出()g x 的周期，再赋值计算即得结果.【详解】由()(1)1g x f x =-+，求导得()(1)g x f x ''=--，又()(1)g x f x ''=-，则(1)(1)[(1)]f x f x f x '''-=--=---，即()()f x f x ''=--，
所以函数()f x '是奇函数，其图象关于原点对称，即(0,0)为函数()f x '图象的一个对称中心，由(1)f x +为奇函数，得(1)(1)f x f x -+=-+，求导得(1)(1)f x f x ''--+=-+，
即(1)(1)f x f x ''-+=+，函数()f x '的图象关于直线1x =对称，则点(2,0)是()f x '图象的一个对称中心，显然有(1)(1)f x f x ''+=--，即(2)()f x f x ''+=-，
于是(4)(2)()f x f x f x '''+=-+=，函数()f x '是以4为周期的周期函数，所以函数()f x '的图象关于点(2,0)(Z)k k ∈对称；
由()(1)g x f x ''=-，得[()(1)]0g x f x '--=，即有()(1)g x f x C --=（C 为常数），而()(1)1g x f x =-+，则(1)1(1)f x f x C -+--=，取1x =，得(0)1(0)1C f f =+-=，因此(1)(1)f x f x -=-，又(1)(1)f x f x -+=-+，则(1)(1)f x f x +=--，
即(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，于是函数()f x 是周期为4的周期函数，又()(1)1g x f x =-+，则函数()g x 的图象可由()f x 的图象平移而得，
从而函数()g x 是周期为4的周期函数，
101
1
4
()2()(1)(2)k k g k g k g g ===++∑∑，
显然(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，因此(2)(4)(1)1(3)12g g f f +=+++=，
(1)(3)(0)1(2)12(2)(4)2g g f f f f +=+++=++=，则1
4
()4k g k ==∑，
又(1)0f =，则(1)(0)12,(2)(1)11g f g f =+==+=，
所以
10
1
()242111k g k ==⨯++=∑.
故答案为：(0,0)；11
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1
()()f x a f x +=，或1()()
f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：
15.已知函数2
1()(1)ln 2
f x x a x a x =
-++，a ∈R .（1）若1a =，求()f x 在[1,4]上的值域；（2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）3,2ln 22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）当1a =时，2
1()2ln 2
f x x x x =
-+，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到2
1()2ln 2
f x x x x =
-+在区间[1,4]上单调递增，即可求出结果；（2）对()f x 求导，得到()(1)
()x a x f x x --'=，再对a 进行分类讨，利用导数与函数单调性间的关系，即
可求出结果.【小问1详解】当1a =时，2
1()2ln 2
f x x x x =
-+，又22
121(1)()20'
-+-=-+==≥x x x f x x x x x 在区间[1,4]恒成立，当且仅当1x =时取等号，
所以2
1()2ln 2
f x x x x =
-+在区间[1,4]上单调递增，得到()f x 在[1,4]上的最小值为13(1)222f =-=-，最大值为1
(4)1624ln 42ln 22
f =⨯-⨯+=，
所以()f x 在[1,4]上的值域为3,2ln 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.【小问2详解】易知定义域为()0,∞+，
因为2(1)()(1)
()(1)a x a x a x a x f x x a x x x
'
-++--=-++==
，当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，
当01a <<时，(,1)x a ∈时，()0f x '<，()0,(1,)x a ∈+∞ 时，()0f x '>，当1a =时，()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立，当且仅当1x =时取等号，
当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，()0,1(,)x a ∈+∞ 时，()0f x '>，综上所述，当0a ≤时，()f x 的减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞；当01a <<时，()f x 的减区间为(,1)a ，增区间为(0,),(1,)+∞a ；当1a =时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；
当1a >时，()f x 的减区间为(1,)a ，增区间为(0,1),(,)+∞a .
16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系
.
（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）
（1）建立y 关于t 的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附注：参考数据：
9
1
35.37i
i y
==∑，9
1
191.16i i i t y ==∑.参考公式：回归方程ˆˆˆy bt a =+的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i i n
i i t
t
y y b
t t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt
=-.【答案】（1）ˆ0.24 2.74y
t =+，约为5.14万元；（2）分布列见解析，期望2
3
.【解析】
【分析】（1）求出,t y ，再利用最小二乘法求出经验回归方程并进行预测.
（2）求出随机变量X 的可能值，再求出各个值对应概率，列出分布列并计算出期望.
【小问1详解】
依题意，9
1
159i i t t ===∑，9
1
1 3.939i
i y y
===∑，而91
191.16i i i t y ==∑，9
21
285i i t ==∑，
则1
9
1
2
2
29191.1695 3.93
ˆ0.23850.24285959i i
i n
i
i t y t y
b
t
t
==--⨯⨯==
=≈-⨯-∑∑，
ˆˆ 3.930.23855 2.7375 2.74a
y bt =-=-⨯=≈，所以y 关于t 的经验回归方程为ˆ0.24 2.74y
t =+，2024年即10t =，ˆ0.2410 2.74 5.14y
=⨯+=，所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为5.14万元.【小问2详解】
2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，X 的可能取值为0,1,2，
2
629C 155(0)C 3612P X ====，116329C C 151(1)C 362P X ====，23
2
9C 31(3)C 3612
P X ====，所以随机变量X 的分布列为：
X
01
2
P
5121
2
112
数学期望5112()012122123
E X =⨯
+⨯+⨯=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD
，CD BC ⊥，24AB CD ==
，45BAD ∠=︒，PD =，
PBC 为等边三角形.
（1）若Q 为PB 的中点，求证：//CQ 平面PAD ；（2）求二面角A PD C --的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）取PA 中点H ，连接,DH HQ ，根据条件得到DHQC 是平行四边形，从而有//DH CQ ，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面APD 与面CPD 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.
【小问1详解】
取PA 中点H ，连接,DH HQ ，
因为Q 为PB 的中点，所以//QH AB 且12QH AB =，又//AB CD 且12
AB CD =，所以//QH CD 且QH CD =，所以DHQC 是平行四边形，
得到//DH CQ ，又DH ⊂面PAD ，CQ ⊄面PAD ，所以//CQ 平面PAD .
【小问2详解】
过D 作DM AB ⊥于M ，因为//AB CD ，CD BC ⊥，24AB CD ==，45BAD ∠=︒，
所以2AM DM BC ===，又PBC 为等边三角形，所以2PC =，
又PD =，所以222PC CD PD +=，得到CD PC ⊥，
又CD BC ⊥，⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂面PBC ，
所以CD ⊥面PBC ，
又CD ⊂面ABCD ，所以面PBC ⊥面ABCD ，
取BC 中点E ，连接PE ，则PE BC ⊥，又面PBC
⊥面ABCD ，面PBC ⋂面ABCD BC =，PE ⊂面PBC ，所以PE ⊥面ABCD ，
过C 作//l PE ，以,,CD CB l 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由24AB CD ==，2BC =，
知()0,0,0,C (4,2,0),(2,0,0),(0,1,A D P ，
所以(2,1,PD =- ，(2,2,0)AD =-- ，CP = ，
设平面APD 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
由00
n PD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得到20220x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =
，得到1,y z =-=
，所以(1,n =- ，设平面CPD 的一个法向量为(,,)m a b c = ，
由00m PD m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得到200
a b b ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取1c =
，得到0,a b ==
(0,m = ，设二面角A PD C --的平面角为θ，[]
0,πθ∈，
因为cos ,n m n m n m ⋅===⋅ ，
所以sin 5
θ===
.18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每
人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
（1）若23
p =，（i ）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii ）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.
（2）若1223
p ≤≤，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？【答案】（1）（i ）
56；（ii ）1154（2）15
【解析】
【分析】（1）（i ）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果；
（ii ）记事件A ：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B ：甲进球1个，乙进球3个，分别求出事件A 和
事件B 的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果；
（2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率P ，设n 轮比赛后，乙累计得分为X ，则
231(,(3))8
X B n p p + ，再根据条件，即可求出结果.【小问1详解】
（i ）因为甲和乙每次进球的概率分别是12和23
，所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为1151236
P =-⨯=.（ii ）由题知甲进球0个，乙进球2个或3个，或甲进球1个，乙进球3个，乙获得1分，
记事件A ：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B ：甲进球1个，乙进球3个，事件C 表示乙获得1分，则3312311125()()[1()C ()]233354P A =--⨯=，()33131231C 23279P B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，易知,A B 互斥，所以5311()()()542754
P C P A P B =+=
+=.【小问2详解】因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为32231332333111[C (1)]C ()(3)228P p p p p p p ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭
，设n 轮比赛后，乙累计得分为X ，则231(,(3))8X B n p p + ，由题知231
(3)38n p p ⨯+≥，又1223p ≤≤，函数233y p p =+在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以237111(3)64854
p p ≤+≤，由11354n ≥，得到15n ≥，所以至少进行15轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时23
p =.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率P ，从而得到n 轮比赛后，乙累计得分X 满足231
(,(3))8X B n p p + ，再根据条件，即
可求解.
19.设P 是直角坐标平面xOy 上的一点，曲线Γ是函数()y f x =的图象.若过点P 恰能作曲线Γ的k 条切线()k ∈N ，则称P 是函数()y f x =的“k 度点”.已知()x f x e =.
（1）求证：()1f x x +≥；
（2）设(,1)P a a +，判断P 为函数()f x 的“几度点”，并说明理由；
（3）设(0,)M m ，若M 为函数e x y x =的“3度点”，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）答案见解析；
（3）24(,0)e -.【解析】
【分析】（1）构造函数()()1g x f x x =--，利用导数探讨最小值即得.
（2）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点P 的坐标并构造函数()(1)e 1x h x a x a =+---，利用导数结合零点存在性定理分类讨论()h x 的零点即可.
（3）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点M 的坐标得2e t m t -=，利用导数探讨方程有3个不同解即得.
【小问1详解】
令函数()()1e 1x g x f x x x =--=--，求导得()e 1x g x '=-，
当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g ≥=，
所以()1f x x +≥.
【小问2详解】
设过点P 的直线与函数()x f x e =图象相切的切点00(,e )x
Q x ，而()e x f x '=，
因此该切线方程为000e e ()x x y x x -=-，即有0001e e ()x x a a x +-=-，整理得00(1)e 10x
a x a +---=，令()(1)e 1x h x a x a =+---，
函数()h x 有k 个零点，等价于过点P 恰能作()x f x e =图象的k 条切线，即P 是()f x 的“k 度点”，求导得()()e x h x a x -'=，当x a <时，()0h x '>，当x a >时，()0h x '<，即函数()h x 在(,)a -∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()()e 1a
h x h a a ==--，
①当0a =时，()()0h x h a ≤=，此时函数()h x 仅有一个零点，P 是()f x 的“1度点”；
②当1a ≤-时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，
当x a <时，111a x a a +->+-=，则()(1)e 1e 10x x h x a x a a =+--->-->，
当x a >时，(0)0h =，即0x =是函数()h x 在(,)a +∞的唯一零点，
因此函数()h x 仅有一个零点，P 是()f x 的“1度点”；
③当10a -<<时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，
由e 1x x x ≥+>，得2e
2x x ->-，则22e x x ->-，122e 1x x -+>-+，取012ln
12a x a +=-<，则00000()(1)e 1(1)e 1x x h x a x a x a =+---<---0012ln 111
2222e e 12e 10a x x a a +-+-+<⋅--=--=，于是10(,)x x a ∃∈，使得1()0h x =，
即函数()h x 在(,)a -∞上有唯一零点，又0x =是函数()h x 在(,)a +∞上的唯一零点，
因此函数()h x 有两个零点，P 是()f x 的“2度点”；
④当0a >时，()()1e 10a h a f a a a =--=-->，
取21x a a =+>，则222()(1)e 110x h x a x a a =+---=--<，
于是32(,)x a x ∃∈，使得3()0h x =，即函数()h x 在(,)a +∞上有唯一零点，
显然0x =是函数()h x 在(,)a -∞上的唯一零点，
因此函数()h x 有两个零点，P 是()f x 的“2度点”，
所以当1a ≤-或0a =时，P 是()f x 的“1度点”；
当10a -<<或0a >时，P 是()f x 的“2度点”.
【小问3详解】
设过(0,)M m 的直线与曲线e x y x =相切的切点为(,e )t N t t ，而(1)e x y x '=+，
因此该切线方程为e (1)e ()t t y t t x t -=+-，即有e (1)e ()t t m t t t -=+⋅-，整理得2e t m t -=，由M 为函数e x y x =的“3度点”，得方程2e t m t -=有3个不同的解，令2()e t t t ϕ=，
求导得()(2)e t t t t ϕ'=+，当2t <-或0t >时，()0t ϕ'>，当20t -<<时，()0t ϕ'<，即函数()t ϕ在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，
函数()t ϕ在2t =-处取得极大值24(2)e ϕ-=
，在0=t 处取得极小值(0)0ϕ=，而当2t <-时，恒有()0t ϕ>，24(1)e (2)e ϕϕ=>=-，
因此当且仅当240e m <-<，即240e
m -<<时，直线y m =-与曲线()y t ϕ=有3个不同交点，即方程2e t m t -=有3个不同的解，则过点M 的切线条数为3，
所以实数m 的取值范围是24(,0)e
-.【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.。