第六版高数上教学(同济)D2习题课

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13、若f(x)是奇函数,且f
’(0)=8,求lim
������→0
������(������) ������
14、设函数f(x)=(x-a) φ x ,已知φ(x)在x=a处连续,求f’(a)
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处的连续性及可导性. 解:
所以

处连续.

即在
处可导 .
f (0) 0
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二、 导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧
(1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 导出 对数微分法 (3) 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
f (1)
x
1
f (1) (1 1) 1 f (1) 22
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例3.设 f (x) 在 x 2处连续,且 lim f (x) 3, 求 f (2) . x2 x 2
解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
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例2.若
f
(1)

0

f
(1)
存在
,

lim
x0
f
(sin 2 (ex
x cos 1) tan x
x)
.
解:
原式 =
lim
x0
f
(sin 2
x x2
cos
x)
~x

联想到凑导数的定义式

lim
x0
f (1 sin2 x cos x 1) sin2 x cos x 1
x2
x2
(x 2)
f (2) lim f (x) f (2) x2 x 2
lim f (x) 3 x2 x 2
思考 : 书P125 题2 ; 3
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例4.设
,试确定常数a , b
使 f (x) 处处可导,并求
ax b ,
x 1
解:
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例1.设 f (x0 )存在,求
lim f (x0 x (x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
解:
原式=
lim

x0
f
( x0
x (x)2)
x (x)2
f
(x0) x
(x)2
x

f (x0 )
B、- 2������������������������·sinx
C、- 2������������������������ · ln2 · ������������������������ D、-2������������������������−1·sinx
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二、填空题
练习题
一选择题
1、函数的导数是函数的改变量与自变量改变量之比当( )趋
于零时的极限。
A、自变量 B、函数 C、函数改变量 D、自变量改变量
2、设函数f(x)在x=������0处可导,则ℎli→m0
������
������0−2ℎ ℎ
−������(������0)
=(

A、-2 ������′(������0);B、2 ������′(������0) ;
习题课 导数与微分
第二章
一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法
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一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当 当 • 微分 :
时,为右导数 时,为左导数
• 关系 : 可导
可微 ( 思考 P125 题1 )
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• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题
5、下列函数中在点x=0处连续但不可导的函数是( )
A、���1��� B、|x| C、������2 D、ln������2
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二、填空题
1、y
=
2 1−2������

���2���,则y’=
2、y=arctan ���1���,则dy=
3、y=sinx,则y′′′ ቚ������ = ���2���( ) 4、已知函数f x = ������������ + 3������������������,则f’(3)=
23、设函数f(2x)=lnx,求f ’(x)
24、求由方程x

y
+
1 2
������������������������
=
0所确定的隐函数y(x)的
导数������������
������������
ቤ������������
= =
0 0
25、由方程������������������ + 1 − ������2=������2所确定的隐函数y(x),求
3、设y=y(x)由������2������������������ + ������������������������ − ������2������ = 0确定,求ddyx ฬ(0, ���4���)
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4、设y=lnsinx,求y’’
5、设y = ������2������������������2������,求dy
67、 、设设xyy=+ln���1x���+���l���n,y=求0,y’ 确定y=y(x),求ddyx,
d2y dx2
8、设y = ������������������������,求y’,y’’
9、设f x
=
1
൝������
������������������2������
0
������ ������

ℎ→0

A、12;B、2; C、-12;D、-2
2.已知函数y=f(x)在������0处可导,且ℎli→m0 ������
ℎ ������0−2ℎ
−������(������0)
=
1 4
,则������′(������0)=( )。
A、-4; B、-2; C、2; D、4
3、设函数y=f(x)在������0处可导,且������′(������0)=k,则

log2
������,求f ’(������)
19、设 y = ������������2������−���������1��� ,求dy
20、设函数f ������ = ������������������������,求f’(x)
21、设函数y = 1+������������2,求y’ 22、 y = arctan 11+−������������,求y’
15、设函数y=f(x)由方程y=xlny确定,则y’=
16、设函数f(x)= ������3lnx,则f’’(1)=
17、设函数f(x)=x ������������,则f’’(0)=
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三、解答题
18、设函数f x
=
������ 1−������������������������
������→0
������
������+������
−������(������−������) ������
=
A、0; B、f’(a); C、2f’(a) D、f’(2a)
7、设������ = 2������������������������,则y’=( )
A、 2������������������������·ln2;
11、设函数f(x)=(1+������ 2)arctanx,则f ’(0)=
12、设y=cos ������−������,则y’(0)=
13、曲线方程y=
1 3 ������
在点������
1,1
处的切线方程和法线方程
14、由方程x������2 − ������������������ + 2 = 0确定的隐函数y=f(x),则y’=
5、设y = ln(x + ������2 + 1),则y’= 6、曲线y = ������2 + ������ − 1在点(1,1)处的切线方程为
三、解答题
1、设y = 1 + ������2 + ������������������2������,求dy
2、设y=xarccosx,求y’’(0)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
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例6.设
其中
解: dy sinexd(esin x ) esin xd(sinex )
可微 ,
sinex esin xd(sin x) esin x cosexd(ex )
esin x (cos x sinex ex cosex )dx
C、-12
������′(������0)
;D、
1 2
������′(������0)
3、设函数f(x)可微,当∆x → 0时, ∆������ − ������������与∆x相比较为( )
A、等价无穷小量 B、同阶但不等价无穷小量
C、低阶的无穷小量 D、高阶的无穷小量
4、曲线y = 44+−������������在点(2,3)的切线的斜率是( ) A、-2 B、2 C、-1 D、1
≠ =
0,求f 0
’(���2���),f
’(0)
10、已知曲线方程y=arccot������ ������ ,求点M(ln2,arccot2)处的切线方程和
法线方程。
11、已知曲线方程y=x-���1���,求它与x轴交点处的切线方程。 3
12、曲线方程y= ������2有平行于直线y-3x-1=0的切线,求此切线方程。
f (x)
1 2
(a
b

1)
,
x 1
x2 ,
x 1
x 1时, f (x) a; x 1时,f (x) 2x.
利用 f (x)在 x 1处可导,得
f (1 ) f (1 ) f (1)
f(1) f(1)

a

b
1
1 2
(a

b
1)
a2
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lim ������ ������0+2∆x −������(������0) =(

∆x→0
∆x
A、k; B、2k; C、-k; D、12k
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4.设f’(0)=1,则x=0处,当∆x → 0时, ∆������与∆x相比较为
( )。
A、较低阶的无穷小量
B、较高阶的无穷小量
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作业
P125 5 ; 6(1) ;
7;
8 (3) , (4) , (5) ;
9 (2) ; 11 ; 12 (2) ;
13 ; 18
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练习题
一、选择题
1.设函数f(x)在x=������0处可导,且������′(������0)=2,则
lim ������ ������0−ℎ −������(������0) =(
C、同阶但不等价无穷小量 D、等价无穷小量
5、设f(0)=0,且lim
������→0
������(������)存在,则lim
������
������→0
������(������)等于
������
A、f’(x); B、f’(0); C、f(0); D、 12f’(0)
6、设函数f(x)在x=a处可导,则lim
x 1时, f (x) a, x 1时,f (x) 2x
f (1) 存在
a
b
1
1 2
(a
b
1)
a2
a 2, b 1, f (1) 2
f
(
x)

2 , 2x
,
x 1 x 1
判别:
是否为连续函数 ?
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例5. 设
8、若f(0)=0,f
’(0)=2,则lim
������→0
������(������)=(
������

9、
������ ������������
(1−������)2 3 ������

10、设y=arccot2+������ 2 +2������ ,则������������������������=
dy
������2
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27、设
y
=
������������������������ ������������������2������
,求������′′
28、设曲线方程为���1���62
+
������2 9
=
1,求其在点P(2,
223)处
的切线方程。
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1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
(C) 0;
(ln
x)

1 x
;
(sin x) cos x
其他求导公式都可由它们及求导法则推出;
2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊
函数在特殊点处的导数;
3) 由导数定义证明一些命题.
(2)用导数定义求极限
(3)微分在近似计算与误差估计中的应用
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