2023高一数学第一次月考前巩固综合复习

高一考前冲刺-2023.3.18函数基础性质知识梳理
1.函数的单调性:
(1)y=f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x
1<x
2
，都有f(x1)<f(x2)⇔f (x)≥0
⇔(x
1-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]>0⇔f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0．
(2)y=f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x
1<x
2
，都有f(x1)>f(x2)⇔f (x)≤0
⇔(x
1-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0或f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0．
2．单调性的运算性质
(1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=1
f(x)
单调性相反．
(4)在公共定义域内，函数y=f(x)(f(x)>0)与y=f n(x)和y=n f(x)具有相同的单调性．
(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数．
(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)>0，g(x)>0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．
3．单调性与奇偶性结合
奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
注意：单调区间不允许书写并集“∪”符号，书写用逗号“，”隔开即可.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性定义图象特点
偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
注意:由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是:定义域关于原点对称．
3．函数的对称性
(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．
(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．
(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
题型1.函数的定义域
1.若函数f(x)=x
ax2+ax+1
定义域为R，则实数a的取值范围是．
2.已知函数f(2x−3)的定义域是[−1，4]，则函数f(1−2x)的定义域()
A.[−2，1]
B.[1，2]
C.[−2，3]
D.[−1，3]
3.函数f (2x −1)的定义域为(0，1)，则函数f (1−3x )的定义域是．
题型2.复合函数单调性
4.函数y =log 13
-x 2+2x +3 的单调增区间是
.
5.(2020•新高考II 卷)已知函数f (x )=lg (x 2-4x -5)在(a ，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.(2，+∞)
B.[2，+∞)
C.(5，+∞)
D.[5，+∞)
6.已知y =log a (8-3ax )在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.1，43
C.4
3，4 D.(1，+∞)
7.已知函数f (x )=lg (-x 2+ax -1)在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A.[4，+∞)
B.[6，+∞)
C.103，4
D.103，4 6. 函数的奇偶性及其应用1.函数奇偶性的几个重要结论
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)f (x )，g (x )在它们的公共定义域上有下面的结论:
f (x )
g (x )
f (x )+
g (x )
f (x )-
g (x )
f (x )
g (x )
f (
g (x ))
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
(3)若奇函数的定义域包括0，则f (0)=0．
(4)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )=f (x )．
(5)若函数y =f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )+f (-x )为偶函数，f (x )-f (-x )为奇，f (x )⋅f (-x )为偶函数．
2.常见奇偶性函数模型
常见奇函数:（1）函数f (x )=m (a x +1a x -1)=m +2m a x -1(x ≠0)或函数f (x )=m (a x -1a x +1)=m -2m
a x +1
(m ∈R )．
（2）函数f (x )=±(a x -a -x )．
（3）函数f (x )=log a x +m x -m =log a (1+2m x -m )或函数f (x )=log a x -m x +m =log a (1-2m
x +m
)
（4）函数f (x )=log a (x 2+1+x )或函数f (x )=log a (x 2+1-x )．常见偶函数:（1）函数f (x )=±(a x +a -x )．
（2）函数f (x )=log a (a mx +1)-mx
2
．（3）函数f (|x |)类型的一切函数．题型3.函数奇偶性基础
8.(2018•全国3卷)已知函数f (x )=ln (1+x 2-x )+1，f a =4，则f (-a )=．
9.设函数f (x )=a -2x 1+a ⋅2x
(a ∈R )是定义域上的奇函数，则a =
．
10.已知函数f (x )=lg (x 2+1+x )，正实数a ，b 满足f (2a -2)+f (b )=0，则2a +b
ab 的最小值为( )A.2 B.4
C.6
D.8
题型4.函数奇偶性单调性结合11.已知函数f (x )=lg (x +x 2+1)-2
2x
+1，则不等式f (2x +1)+f (x )>-2的解集为( )A.-13
，+∞ B.-13，100 C.-∞，-13 D.-23
，100 12.已知定义域为R 的函数f (x )=2x 2x +a
-1
2是奇函数．
(1)求实数a 的值；
(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的x ∈[1，2]，不等式f (x 2-mx )+f (x 2+4)>0成立，求实数m 的取值范围．
13.已知定义域为R 的函数f (x )=b -2x 2x +a
是奇函数．
(1)求a ，b 的值；(2)猜测f (x )的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意t ∈[-1，2]，不等式f (t 2+1)+f (-kt )<0恒成立，求实数k 的取值范围．
7. 函数的对称性与周期性1.函数对称性
①若函数y =f (x )关于直线x =a 对称，则f (a +x )=f (a -x )．
②f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )关于直线x =
(a +x )+(b -x )2=a +b
2
对称．
③若函数y =f (x )关于点(a ，b )对称，则f (a +x )+f (a -x )=2b ．④f (a +x )+f (b -x )=2c ,则函数y =f (x )关于(
a +b
2
,c )中心对称．⑤函数y =f (a +x )与y =f (a -x )关于y 轴对称，函数y =f (a +x )与y =-f (a -x )关于原点对称．
8．函数对称性和迭代构造周期函数
若已知函数图象具有多重对称性，可参照三角函数的对称性与周期性关系进行类比思考，将其转化为周期性的情况，具体如下：
1．若函数f x 的图象关于直线x =a 与x =b 对称a ≠b ，则T =2b -a ．
2．若函数f x 的图象关于点a ，0 对称，又关于点b ，0 对称a ≠b ，则T =2b -a ．3．若函数f x 的图象既关于直线x =a 对称，又关于点b ，0 对称a ≠b ，则T =4b -a ．对称性与周期性记忆口诀2：两次对称定周期，双轴双点二倍差，一轴一点四倍差．1．周期T =2a 的模型①f (x +a )=f (x −a )；②f (x +a )=−f (x )；
③f (x +a )+f (x )=c (a ≠0)；
④f (x +a )=
1f (x )；⑤f (x +a )=−1
f (x )；⑥f (x +a )=1−f (x )
1+f (x )
(f (x )≠−1)；
⑦f (x +a )=f (x )+1
f (x )−1(f (x )≠1)．
2．周期T =3a 的模型
f (x +a )=1-1
f (x )(f (x )≠0)．3．周期T =4a 的模型
f (x +a )=1+f (x )
1−f (x )
(f (x )≠1)．
题型5.函数对称性和周期性综合题
14.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )，当-3≤x <-1时，f (x )=-(x +2)2，当-1≤x <3时，f (x )=x ．则f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2012)=( )A.335
B.338
C.1678
D.2012
15.(2018•课标Ⅱ卷理)已知f (x )是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (50)=( )A.-50
B.0
C.2
D.50
16.(多选)若f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0，1]时，f (x )=x 2+x -2，则( )
A.f (x )是以4为周期的周期函数
B.f (2021)+f (2022)=-2
C.函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点
D.当x ∈[3，4]时，f (x )=x 2-9x +18
17.(多选)已知函数y =f (x )为R 上的奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈(1，2)时，f (x )=1-log 2x ，则下列结论正确的是( )A.函数y =f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称B.函数y =|f (x )|是以1为周期的周期函数C.当x ∈(0，1)时，f (x )=log 2(2-x )-1D.函数y =f (|x |)在(k ，k +1)(k ∈Z )上单调递减9. 抽象函数
抽象函数的模特函数通常如下：(1)若f (x +y )=f (x )+f (y )，则f (x )=xf (1)(正比例函数)
证明：令x =y ，则f (x +x )=f (x )+f (x )，所以f (x +x +x +⋅⋅⋅+x n 个
)=nf (x )，则f (nx )=nf (x )，
再令x =1，故f (n )=nf (1)，即f (x )=xf (1)．例如：f (x )=2x ，即满足f (x )=xf (1)．(2)若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x (指数函数)(3)若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=log b x (对数函数)(4)若f (xy )=f (x )f (y )，则f (x )=x a (幂函数)
(5)若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ，则f (x )=xf (1)-m (一次函数)
题型6.抽象函数综合题
18.函数f (x )对任意的实数a ，b ，都有f (a +b )=f (a )+f (b )-2，且当x >0时，f (x )>2．(1)求f (0)的值；
(2)求证：f (x )是R 上的增函数；
(3)若对任意的实数x ，不等式f (t ⋅4-x )+f (1-2-x )>4都成立，求实数t 的取值范围．
初等函数
1．指数及指数运算
①正整数指数幂a n =a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a n 个
(n ∈N ∗)；
②零指数幂a 0=1(a ≠0)；
③负整数指数幂a -n =1
a
n (a ≠0，n ∈N ∗)；
④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
有理数指数幂的性质
①a m a n =a m +n (a >0，m ，n ∈Q )；②(a m )n =a mn (a >0，m ，n ∈Q )；③(ab )m =a m b m (a >0，b >0，m ∈Q )；④n
a m =a m
n
(a >0，m ，n ∈Q )．
注意事项：对于根式记号n a ，要注意以下几点：①n ∈N ，且n >1；
②当n 是奇数，则n
a n =a ；当n 是偶数，则n
a n =|a |=a
a ≥0
-a a <0
；③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零．⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：例a a a =a 1
2a 1
4a 1
8=a 12
+14+1
8
=a 7
8；4
a ∙3
a 2=a 1
4⋅a 23×1
4=a 5
12．
⑥指数的逆运算过程：5116 -12=8116 -12=32
4
-1
2
=32
4×-1
2
=
49
．
2．对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果a x=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log
a
N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为log a N，读作以a为底N的对数；
②常用对数：以10为底，记为lg N；
③自然对数：以e为底，记为ln N；
(3)对数的性质和运算法则：
①特殊对数：log a1=0；log a a=1；其中a>0且a≠1
②对数恒等式：a log a N=N(其中a>0且a≠1，N>0)
③对数换底公式：log a b=log c b log c a
(4)对数的运算法则：
①log a(MN)=log a M+log a N；②log a M N=log a M-log a N；
③log
a m
b n=n m log a b(m，n∈R)；④a log a b=b和log a a b=b
(5)换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底：log a b=log c b log c a
②倒数原理：log a b=
1
log b a如：log3
2=1
log23．
③约分法则：log a b⋅log b c=log a c如：log23⋅log34=log24=2；log315⋅log57⋅log155⋅log73=1．
④归一法则：lg2+lg5=1⇒lg2⋅lg5+lg22+lg5=lg2lg5+lg2
+lg5=lg5+lg2=1．
3．指数函数的定义及图像
函数名称指数函数y=a x
定 义形如y=a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数
图象
0<a<1a>1
性质
定义域R，值域(0，+∞)
a0=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点
a x=a，即x=1时，y等于底数a
在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
x<0时，a x>1；x>0时，0<a x<1x<0时，0<a x<1；x>0时，a x>1
既不是奇函数，也不是偶函数
特殊函数：函数y =2x ，y =3x ，y =1
2
x
，y
=1
3
x
的图象如图所示．
4．对数函数的定义及图像函数名称对数函数
定义
形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数图象
a >1
0<a <1
性质
定义域为(0，+∞)；值域为R 过定点(1，0)，即x =1时，y =0
在(0，+∞)上增函数
在(0，+∞)上是减函数
当0<x <1时，y <0，当x ≥1时，y ≥0
当0<x <1时，y >0，当x ≥1时，y ≤0
5．幂函数及其性质
一般地，y =x a (a ∈R )(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
比大小基础复习比大小基础
同步升(降)次法．根据log a b=log a m b m可知，log23=log49=log827=log1
21 3．
注意：一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中，底数真数次方一起同升同降．
去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．
例如：log a(ma)=log a m+1；log a(ma n)=log a m+n．
构造中间变量比大小
在比较大小的题型中，对数是最为常见的，通常也是log a b对比log c d，指数和真数都不相等时，我们要么构造指数相等，要么选择中间变量进行比大小。

对数同步升(降)次法：根据log a b=log a m b m可知log23=log49=log827=log1
21
3
；
注意：一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中，底数真数次方一起同升同降，我们先看一道例题：
目前高考中常见的中间量以0，1，如果不能比较出来，要提高精度，和中间值1
2来比，在提高精度就
和1
4，
3
4比，偶尔会和
1
3
,2
3比，和
1
5，
2
5，
3
5，
4
5比，卡中间量一般到此为止，精度在高就要构造函数．
题型7.构造中间量练习题
19.比较a=log43，b=log52，c=log85的大小.
20.(2021•新高考Ⅱ)已知a=log52，b=log83，c=1
2，则下列判断正确的是( )
A.c<b<a
B.b<a<c
C.a<c<b
D.a<b<c
21.(2020•新课标Ⅲ)设a=log32，b=log53，c=2
3，则( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
函数零点基础
题型8.零点所在区间
22.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间( )
A.(5,6)
B.(3,4)
C.(2,3)
D.(1,2)
题型9.由零点个数求参数取值范围
23.(2018•全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=
e x，x≤0
ln x，x>0
，g(x)=f(x)+x+a．若g(x)存在2个零点，则a的取值
范围是() A.[-1，0) B.[0，+∞) C.[-1，+∞) D.[1，+∞)
24.已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)=
|log
3
x|,0<x≤3
-x+4,x>3
，若函数y=
f(x)-a(a∈R)恰有六个零点，且分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6的取值范围是
() A.(-9,-4) B.(-4,9) C.(-16,-9) D.(-16,-4)
25.已知函数f (x )=-2x ，x ≤0
-x 2+x ，x >0
，若函数g (x )=f (x )-a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的
取值范围是
()
A.-1
32，0
B.-116，0
C.0，132
D.0，1
16
题型10.嵌套函数零点问题
26.已知函数f (x )=||x -1|-1|，x ≥0
x x -1
，x <0
，若关于x 的方程f 2(x )+2af (x )+1-a 2=0有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．
27.已知函数f (x )=4|x -1|，x >0-x 2-4x +1，x ≤0
，若关于x 的方程f 2(x )-2af (x )+a +2=0有8个不等的实数根，
则实数a 的取值范围是()
A.1，187
B.1，94
C.2，187
D.2，9
4 28.已知m ∈R ，函数f (x )=|2x +1|，x <1
log 2(x -1)，x >1
，g (x )=x 2-2x +2m -1，
若函数y =f (g (x ))-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是．
题型11.函数综合压轴题加练
29.已知函数f (x )=ln (1-x )-ln (1+x )，g (x )=4x +2x +1m -m
2
+1．(1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若存在两不相等的实数a ，b ，使f (a )+f (b )=0，且g (a )+g (b )≥0，求实数m 的取值范围．
30.已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．(1)求a 、b 的值；
(2)设f (x )=g (x )
x
．
①若x ∈[-1，1]时，f (2x )-k ⋅2x ≥0，求实数k 的取值范围；
②若方程f (|2x -1|)+k ⋅2
|2x -1|
-3k =0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
三角函数基础公式自测
诱导公式（负号相关） 口诀：正弦，正切，负号可提； 余弦，负号可消
sin -α =-sin αcos -α =cos α
tan -α =-tan α
诱导公式（负号相关） 口诀：正弦，余弦，一个π，一个负号； 正切可去整数个π
sin α+2k π =sin αcos α+2k π =cos αtan α+k π =tan αsin α+π =-sin αcos α+π =-cos αtan α+π =tan αsin α-π =-sin αcos α-π =-cos αtan α-π =tan αsin π-α =sin αcos π-α =-cos α
tan π-α =-tan α
诱导公式（半个π相关） 口诀：半个π，变名字，正负对齐.
sin π
2
-α =cos αcos π
2
-α
=sin αsin α+π
2 =cos α
cos α+π
2 =-sin α
sin α-π
2 =-cos α
cos α-π
2 =sin α
sin α+3π
2 =-cos α
cos α+3π
2 =sin α
sin α-3π
2 =cos αcos α-3π
2 =-sin α和差角公式：
正弦SCCS ，符号相同；
余弦，CCSS ，符号相反
正切，上同下异，上加减，下相乘，左下补1sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin (α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos (α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos (α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan (α+β)=
tan α+tan β
1-tan αtan β
tan (α-β)=
tan α-tan β1+tan αtan β
二倍角公式： sin2α=2sin αcos α
(sin α±cos α)2=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=1±sin2αcos2α=cos 2α-sin 2αcos2α=2cos 2α-1
cos2α=1-2sin 2α
2αtan =
2tan α
1-tan 2α
二倍角公式逆用sin αcos α=1
2
sin2α降幂公式:cos 2α=
cos2α+1
2
sin 2α=
1-cos2α
2
．万能代换公式sin2α=
2tan α
1+tan 2α
cos2α=
1−tan 2α
1+tan 2α
tan2α=
2tan α1−tan 2α
辅助角公式
一次辅助角公式：
f(x)=a sinωx±b cosωx=a2+b2sin(ωx±φ)
（sinφ=
b
a2+b2
,cosφ=a
a2+b2
，tanφ=
b
a
)
二次辅助角公式：
f x =a sinωx cosωx±b cos2ωx a,b>0
f x =a
2sin2ωx+b
2
cos2ωx+1
=
a2+b2
2
sin2ωx+φ
+
b
2
tanφ=b
a
消1原则：
1+cosα=2cos2α
21−cosα=2sin2α
2
1±sin2α=(sinα±cosα)2
题型12.含绝对值三角函数处理
31.已知函数f(x)=3sin|x|+|cos x|，下列说法错误的是( )
A.函数f(x)在2
3π,7 6
π
上单调递减
B.函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数
C.若1<m<2，则方程f(x)=m在区间[0，π]内，最多有4个不同的根
D.函数f(x)在区间[-10，10]内，共有6个零点
32.下面关于函数f(x)=sin2x+2|sin x|cos x的结论，其中错误的是( )
A.f(x)的值域是[-2，2]
B.f(x)是周期函数
C.f(x)的图象关于直线x=π
2对称 D.当x∈(π,2π)时，f(x)=0
33.关于函数f(x)=sin x|cos x|有下列四个结论：
①f(x)的图象关于原点对称；
②f(x)在区间0,π4
上单调递增；
③f(x)的一个周期为π；
④f(x)在(-π,π)上有四个零点．
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
34.关于函数f(x)=1
|cos x|+1
|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区0,π2
内单调递增；
③f(x)是周期函数，且最小正周期为π；
④f(x)≥a恒成立的充要条件是a≤22．
则其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④
B.①③
C.②③
D.①④
题型13.三角函数综合问题35.（多选）已知函数f (x )=2sin 2x +43sin x ⋅cos x -2cos 2x ，x ∈R ，则下列结论正确的是( )
A.函数y =f x +π3 的图象关于原点对称
B.在区间π6,π2 上，
f (x )的最大值为4C.将f (x )的图象向左平移π4个单位，得到
g (x )的图象，若A ，B ，C 为两个函数图象的交点，则ABC 面积的最小值为22π
D.若将函数f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g (x )的图象，则函数
y =g (x )-x -π3
零点的个数为636.函数f (x )=A sin (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<
π2 的部分图象如图所示．(1)求函数y =f (x )的解析式；
(2)先将函数y =f (x )的图象的横坐标缩小为原来的12，再将得到的函数图象向左平移π24个单位，最后得到函数y =g (x )，求g (x )在区间0,π4 上的值域．
37.已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)A >0，ω>0，|φ|<π2 的图象经过点(0,-1)，若x 1、x 2满足对∀x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，f (x 2)-f (x 1)=4且|x 1-x 2|min =π2
．(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )在-π4，π4 上的单调区间及最值．
向量解三角形巩固
a ·
b >0⇏ 两向量夹角为锐角
a ·
b <0⇏ 两向量夹角为钝角.a ·b >0,且a 和b 不共线 两向量夹角为锐角 a ·b >0,且a 和b 不共线 两向量夹角为锐角 题型14.向量易错点38.已知a =(1，-1)，b =(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，实数λ的取值范围为
.题型15.方方正正建系破招
39.骑自行车是一种环保又健康的运动,如图是某自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A (前轮),圆D (后轮)的半径均为3,△BEC ,△ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,AC ·AP 的最大值为( )
A.48
B.36
C.72
D.60
题型16.向量综合小题40.(21-22年师大附中下学期第一次月考T10) 下列说法正确的是()A.向量AB 与CD 共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件B.若a ⎳b ，则存在唯一实数λ使得b =λa C.已知a =1,3 ,b =1,1 ，则a 与a +λb 的夹角为锐角的充要条件是λ∈-52,0 ∪0,+∞ D.在△ABC 中，D 为BC 的中点，若AB AB +AC AC
=λAD ，则BD 是BA 在BC 上的投影向量题型17.向量基础解答题巩固41.已知e 1,e 2是平面内两个不共线的向量,且AB =k e 1-4e 2,CD =-e 1+k e 2,BD =e 1+2e 2.(1)若AB ,CD 方向相反,求k 的值;(2)若A ,C ,D 三点共线,求k 的值.
42.如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，CB =2CA =2．点D ，E 分别是线段AB ，BC 上的点，满足AD =λAB ,BE =λBC ,λ∈(0,1)．(1)求AE ⋅BC 的取值范围；(2)是否存在实数λ，使得AE ⊥CD 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
题型18.边角对应求解最值或取值范围（利用正弦定理统一成角）43.(21-22年师大附中下学期第一次月考T20) 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m =2a ,b ，n =3,sin B ,且m ∥n .
(1)求A ；(2)若a =3，求b -c 的取值范围.
题型19.边角不对应，用角度统一变量
44.(2019年课标Ⅲ卷理科·第18题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知
a sin A +C 2
=b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．题型20.三角形拼接模型，双余弦定理求解
45.(21-22年名校联合体入学T21)
从①cos2A +cos A =0；②sin 2B -sin 2A +sin 2C -sin B sin C =0，③b sin A +3a cos B =3c ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注：若选择多个条件，按第一个解答计分)在ΔABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若_______________.
(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 的中点，AD =1，求ΔABC 面积的最大值.。