高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 素能培优(十六) 求曲线轨迹方程的方法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)若动点P满足 =3 ,求动点P的轨迹方程;
(3)若B(2,0),求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 (1)设动点 M 的坐标为(x,y),C(x0,y0),则
由动点 C 在曲线 C0 上可知
y0=302 +1,故
故动点 M 的轨迹方程为 y=6(x+1)
=
=
-2+0
,
2
即
0
2
∴点P的轨迹是以(0,3)为焦点、直线l:y=-3为准线的抛物线,
1
2
因此,设点P的轨迹方程为x =2py(p>0),可得
∴动点P的轨迹方程为x2=12y.
2
p=3,解得p=6,
三、代入法(相关点法)求轨迹方程
例3已知曲线C0:y=3x2+1和点A(-2,0),动点C在曲线C0上.
(1)若线段AC的中点为M,求动点M的轨迹方程;
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
0 = (,y),
表示已知,即
将(x0,y0)代入已知曲线即得所求曲线方程.
,
0 = 2 + 2,
0 = 2,
2
2y=3(2x+2) +1,即 y=6(x+1)
1
+2.
1
+ ,
2
2
2
(2)设动点 P 的坐标为(x,y),C(x0,y0),则由=3 ,得(x+2,y)=3(x0-x,y0-y),
4+2
0 =
,
4
4+2 2
3
2
即
而 y0=30 +1,故3y=3( 3 ) +1,即
由
1
kAP·
kBP=
· =- ,
+ 2 - 2 2
2 2
整理得 +y =1(x≠±
2
2),故动点 P 的轨迹 C
2 2
的方程为 +y =1(x≠±
2
2).
二、定义法求轨迹方程
2+y2=
例2(2024·河北石家庄模拟)已知圆M与圆C1:(x+5)22+y2=25和圆C
:(x-5)
2
2
素能培优(十六) 求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
法主要有:
(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;
8
2
2
⇒(x-2) +y
2
+ =1.
4
2
1
=2(x-4)2,
2
[对点训练 1]已知点 A(- 2,0),B( 2,0),P 是平面内的一个动点,直线
PA 与 PB
2
2
1
+y
=1(x≠± 2)
的斜率之积是-2,则动点 P 的轨迹 C 的方程为____________________.
2
解析 设 ,
3
故△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 y=9x
1
+ .
3
2
2
[对点训练3]已知P是椭圆
6
y2
+ 4 =1
上任意一点,过点P作x轴的垂线,垂足为
2 2
+y =1
M,则线段PM的中点N(x,y)的轨迹方程为____________________.
6
解析 因为 PM⊥x 轴,垂足为 M,且 PM 的中点为 N(x,y),所以 P(x,2y).
双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x 或y 进行限制.
[对点训练2]若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨
迹方程是__________.
x2=12y
解析 ∵点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,
∴点P到直线y=-3的距离与它到点(0,3)的距离相等.
又因为 P
2
是椭圆
6
2
+ =1
4
2
上任意一点,所以
6
(2)2
2 2
+
=1,即 +y =1.
4
6
本 课 结 束
y0 = g(,y),
一、直接法求轨迹方程
例1曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于
2
2
2
+ =1
,则C的方程为____________________.
8
4
2
解析 设 P(x,y),由题意
2
化简得
8
2
+ =1,即
4
C
(-2)2 +2
|-4|
=
2
的方程为
4
0 = 3 ,
2 3
故动点 P 的轨迹方程为 y=(2x+1) + .
4
y=(2x+1)
3
+4,
2
(3)设△ABC 的重心 G 的坐标为(x,y),C(x0,y0),
则
而
=
=
-2+2+0
,
3
即
0
3
,
y0=302 +1,故
0 = 3,
0 = 3,
2
3y=3(3x) +1,即 y=9x
设点 M
2
的轨迹方程为 2
所以点 M
−
2
2 -42 =3.
=1,则
2a=8,c=5,则
a=4,b=
5
2
2
2
的轨迹方程为 − =1.
16
9
规律方法
若某动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可以利用学过的圆、椭圆、
双曲线、抛物线等曲线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法
叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、
− =1
9一个内切一个外切,则点M的轨迹方程为____________________.
16
9
解析 设圆M的半径为rM,
则当圆M与圆C1内切,与圆C2外切时,|MC1|=rM-5,|MC2|=rM+3;
当圆M与圆C1外切,与圆C2内切时,|MC1|=rM+5,|MC2|=rM-3.
所以||MC2|-|MC1||=8<|C1C2|=10,点M的轨迹为双曲线,
(3)若B(2,0),求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 (1)设动点 M 的坐标为(x,y),C(x0,y0),则
由动点 C 在曲线 C0 上可知
y0=302 +1,故
故动点 M 的轨迹方程为 y=6(x+1)
=
=
-2+0
,
2
即
0
2
∴点P的轨迹是以(0,3)为焦点、直线l:y=-3为准线的抛物线,
1
2
因此,设点P的轨迹方程为x =2py(p>0),可得
∴动点P的轨迹方程为x2=12y.
2
p=3,解得p=6,
三、代入法(相关点法)求轨迹方程
例3已知曲线C0:y=3x2+1和点A(-2,0),动点C在曲线C0上.
(1)若线段AC的中点为M,求动点M的轨迹方程;
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
0 = (,y),
表示已知,即
将(x0,y0)代入已知曲线即得所求曲线方程.
,
0 = 2 + 2,
0 = 2,
2
2y=3(2x+2) +1,即 y=6(x+1)
1
+2.
1
+ ,
2
2
2
(2)设动点 P 的坐标为(x,y),C(x0,y0),则由=3 ,得(x+2,y)=3(x0-x,y0-y),
4+2
0 =
,
4
4+2 2
3
2
即
而 y0=30 +1,故3y=3( 3 ) +1,即
由
1
kAP·
kBP=
· =- ,
+ 2 - 2 2
2 2
整理得 +y =1(x≠±
2
2),故动点 P 的轨迹 C
2 2
的方程为 +y =1(x≠±
2
2).
二、定义法求轨迹方程
2+y2=
例2(2024·河北石家庄模拟)已知圆M与圆C1:(x+5)22+y2=25和圆C
:(x-5)
2
2
素能培优(十六) 求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
法主要有:
(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;
8
2
2
⇒(x-2) +y
2
+ =1.
4
2
1
=2(x-4)2,
2
[对点训练 1]已知点 A(- 2,0),B( 2,0),P 是平面内的一个动点,直线
PA 与 PB
2
2
1
+y
=1(x≠± 2)
的斜率之积是-2,则动点 P 的轨迹 C 的方程为____________________.
2
解析 设 ,
3
故△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 y=9x
1
+ .
3
2
2
[对点训练3]已知P是椭圆
6
y2
+ 4 =1
上任意一点,过点P作x轴的垂线,垂足为
2 2
+y =1
M,则线段PM的中点N(x,y)的轨迹方程为____________________.
6
解析 因为 PM⊥x 轴,垂足为 M,且 PM 的中点为 N(x,y),所以 P(x,2y).
双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x 或y 进行限制.
[对点训练2]若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨
迹方程是__________.
x2=12y
解析 ∵点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,
∴点P到直线y=-3的距离与它到点(0,3)的距离相等.
又因为 P
2
是椭圆
6
2
+ =1
4
2
上任意一点,所以
6
(2)2
2 2
+
=1,即 +y =1.
4
6
本 课 结 束
y0 = g(,y),
一、直接法求轨迹方程
例1曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于
2
2
2
+ =1
,则C的方程为____________________.
8
4
2
解析 设 P(x,y),由题意
2
化简得
8
2
+ =1,即
4
C
(-2)2 +2
|-4|
=
2
的方程为
4
0 = 3 ,
2 3
故动点 P 的轨迹方程为 y=(2x+1) + .
4
y=(2x+1)
3
+4,
2
(3)设△ABC 的重心 G 的坐标为(x,y),C(x0,y0),
则
而
=
=
-2+2+0
,
3
即
0
3
,
y0=302 +1,故
0 = 3,
0 = 3,
2
3y=3(3x) +1,即 y=9x
设点 M
2
的轨迹方程为 2
所以点 M
−
2
2 -42 =3.
=1,则
2a=8,c=5,则
a=4,b=
5
2
2
2
的轨迹方程为 − =1.
16
9
规律方法
若某动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可以利用学过的圆、椭圆、
双曲线、抛物线等曲线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法
叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、
− =1
9一个内切一个外切,则点M的轨迹方程为____________________.
16
9
解析 设圆M的半径为rM,
则当圆M与圆C1内切,与圆C2外切时,|MC1|=rM-5,|MC2|=rM+3;
当圆M与圆C1外切,与圆C2内切时,|MC1|=rM+5,|MC2|=rM-3.
所以||MC2|-|MC1||=8<|C1C2|=10,点M的轨迹为双曲线,