江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考(10月)数学(文)试题+Word版含答案

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考
高三数学试卷（文科） 命题人：施勇
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．
3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲
4．计算1
21lg lg 251004-⎛⎫
-÷= ⎪⎝⎭
▲ ．
5．若()(
)1
2
33,2,
log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,
2,0,x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .
7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，2
53S a =，则
10a = ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．
9．若正实数,x y 满足2
210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．
10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ .
11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，
如果⋅-=⋅则,3= ▲ .
12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且
在区间
[－π4，π
4
]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，
1－|x －2|，1＜x ≤3．
若
函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ .
14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x
－a |＋a 2
2，当x ∈[0，ln3]
时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为3
2，则a 的值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2
cos(sin B A -=π
,2,3==c a
（1）求⋅的值；（2）求)2
3tan(B C
-+π的值为.
16.（本小题满分14分）
设p ：实数x 满足22
430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足
3
02
x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
17.（本小题满分14分）
小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第
二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x 25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
18.（本小题满分16分）
如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．
（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．
19.（本小题满分16分）
设1a >,函数()
2(1)x f x
x e a =+-.
（1）证明()x f
在(
上仅有一个零点；
（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP
平行,(O 是坐标原点),证明
:1m ≤
-
20.（本小题满分16分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
1
11
()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当1λ=时，求证：
1
111n n a a ++≥． （3）当1
2
λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．
答案（文科）
1.()
,3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.
3
2
4.20-
5.3
6. 2 7．198．－4－ln2. 9
．
502
31 11.2
3 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5
2
15. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2
cos(
sin =-=π
,
由正弦定理
B
b
A a sin sin =
,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理⋅=22
3322cos 2
22222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分
2）π=+=++C B C B A 2 C B C
tan )2
3tan(
=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 92
4cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 =
=
∴C C C cos sin tan 7
2
4 -------14分 16.解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.
q 为真时
3
02
x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<.
（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒， 设{}
3A x a x a =<<，{}
23B x x =<<，则B A Ü；
则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩
与不同时取等号，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.
17.解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，
则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=， 即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，
由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ， 而325102<-<，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.
（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为)25(19)2519(1)]25([12x
x x x x x y x y +-=-+-=-+=
， 而925
219)25(19=⋅-≤+
-x
x x x ，当且仅当5=x 时等号成立。

答：第5年底出售货车，年平均利润最大.
18.解：（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．
在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM
＝27
7，
在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝27
7
．
在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝7
4
．
（2）解法1：设AM ＝x ，0＜x ＜3．
在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9， 所以OM ＝x 2
－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x
2x 2－3x ＋9
，
在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)
＝cos ∠AOM ＝6－x
2x 2－3x ＋9
．
由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA
，得ON ＝36－x
2x 2－3x ＋9
·32＝33x 2
－3x ＋96－x
． 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2
－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12
＝33(x 2－3x ＋9)
4(6－x )
，0＜x ＜3．
令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27
t
)
≥
33
4·(2t ·27
t －9)＝27(2－3) 4
．
当且仅当t ＝27
t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．
所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是 27(2－3)
4
km 2． 解法2：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π
3
在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA sin ∠OMA ，得OM ＝33
2sin(θ＋π
3)
．
在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)
＝33
2cos θ
．
所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)
·332cos θ·1
2
＝
27
16sin(θ＋π3)cos θ
＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝27
4sin2θ＋43cos2θ＋43
＝
274sin2θ＋43cos2θ＋43
＝278sin(2θ＋π3
)＋43
，0＜θ＜π
3．
当2θ＋π3＝π2，即θ＝π
12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4
．
所以应设计∠AOM ＝π
12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4 km 2．
19.解：（1）f'（x ）=e x
（x 2
+2x+1）=e x
（x+1）2
∴f ′（x ）≥0，-------2分 ∴f （x ）=（1+x 2
）e x ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．
(
)
)1(11
1
-=-=---a a e
a a ae
a f
1011
>∴>--a e
a (
)01>-∴a f
，()(
)
010<-⋅a f
f
()
1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f
∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分 （2）证明：f'（x ）=e x
（x+1）2
，
设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0
（x 0+1）2
，
∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0
（x 0+1）2
=0，
∴x 0=﹣1-------------9分
将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，
∴
------11分
令；g （m ）=e m
﹣（m+1）g （m ）=e m
﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m
﹣1，由g'（m ）=0得m=0．
当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------13分 ∴g （m ）=e m
﹣（m+1）≥0∴e m
≥m+1∴e m
（m+1）2
≥（m+1）3
即：
∴m ≤
--------------------------------16分
解：（1）若0λ=，则
1
11
0n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=， 则230(2)n S S S n n ====∈≥ N,，所以不存在数列{}n a 使得0λ=． （2）由
1
11
1n n S a ++=得111n n n a S a ++=-，
当2n ≥时，11n n n a S a -=
-，两式相减得1111
n n n n n a a a a a ++=---， 即21111n n n n a a a a ++=--，12
111
n n n n a a a a ++--=，211111n n n a a a +-=-，2111111n n n
a a a ++=+>， 当1n =时，
12
11
1S a +=，即12111a a +
=，综上，1111n n a a ++≥． （3）证1：由
1111
()2
n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=
-， 当2n ≥时，122n
n n a S a -=
-，两式相减得112222
n n n n n a a a a a ++=---， 解得212224n n n n a a a a +=-+，所以当3n ≥时，2
1
211224n n n n a a a a ---=-+，
因为22
11124(1)30
n n n a a a ----+=-+>，
又由
1111()2
n n n N S a *++=∈可见2
10
n a ->，所以0n a >； 另一方面，2
21
1211288(4)03243
n n n n n a a a a a ----≤⇔≤⇔-≥-+，故803n a <≤．
证2：由
1111
()2
n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=
-，122n n n S a S +=-， 所以当3n ≥时，1
12
12111
2
1121111122(
)22()222222422
n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a a a a a S S a a a a a ---------------++-====-+--++--，下同证1.。