离散型随机变量的数学期望

离散型随机变量的数学期望
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点
要点一 离散型随机变量的数学期望(均值)
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
❶.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
则称E(X)＝__________________________为X的数学期望或均值
题型 2 几个常用分布的数学期望
例2 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选
题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正
确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正
2
确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每
3
题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η的分布列及其期
公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所
需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工
作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行
方式是相互独立的，(小李上下班各计一次单程)．
(1)求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；
(2)求X的分布和数学期望E(X)．
X
－1
p
则E(X)＝(
)
A.0
B．－1
1
C.－
6
1
D．－
2
答案：C
1
1
1
1
解析：E(X)＝(－1)× ＋0× ＋1× ＝－ .
2
6
3
6
0
1
1
3．若随机变量X～B(6， )，则数学期望E(X)＝(
2
3
1
A.6 B．3 C. D．
2
2
答案：B
1
1
解析：随机变量X～B(6， )，则数学期望E(X)＝6× ＝3.
2
1
获胜的概率是 ，乙获胜概率是 .记X表示比赛决出胜负时的总局数，
3
3
求X的分布列与期望．
方法归纳
求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤
巩固训练1 为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班
出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根
据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐
2．若题目未给出随机变量Y与X的关系，可根据题意列出Y与X的关
系Y＝aX＋b，再利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
巩固训练3 已知随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
P
若Y＝2X－3，求E(Y)．
1
1
1
1
1
17
解析：E(X)＝(－2)× ＋(－1)× ＋0× ＋1× ＋2× ＝－ .
4
3
5
6
20
30
为10元；若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足
1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km，
某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不
同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1
km路程计费，不足5 min的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转
1
P(ξ＝0)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝1)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝2)＝ 3 ＝ .
6
5
6
5
6
5
1
3
1
所以随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
5
5
5
3×2
方法二 由题意知ξ～H(6，2，3)，所以E(ξ)＝ ＝1.
6
题型 3 离散型随机变量数学期望的性质
例3 某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4 km时，费用
望．
方法归纳
求二项分布与超几何分布的数学期望的方法
巩固训练2 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白
色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，
1
则随机变量ξ的期望为________．
解析：方法一 由题知，ξ的所有取值为0，1，2.
43
1
21 42
3
22 41
超几何分布X～H(N，M，n)
nM
E(X)＝________
N
要点三 离散型随机变量的数学期望的性质
对于离散型随机变量X，若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)
＋b❷.
批注❷ 当a＝0时，E(b)＝b，也就是说常数的数学期望是这个常数
的本身；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0时，E(aX)＝aE(X)．
2
2
)
4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________．
50
解析：因为随机变量ξ的期望为15，
所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.
题型探究·课堂解透
题型 1 离散型随机变量的期望
例1 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若
赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E(X) 是 个 变 量 ， 其 随 X 的 变 化 而 变
化．( × )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( × )
(3)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.( × )
2．若随机变量X的分布列为
换后的行车路程ξ是一个随机变量，设他所收费用η.
(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；
(2)若随机变量ξ的分布列为
ξ
P
求所收费用η的数学期望．
15
0.1
16
0.5
170.318来自0.1方法归纳
利用离散型随机变量的性质求数学期望的策略
1．若题目给出随机变量Y与X的关系Y＝aX＋b，a，b为常数，直接
利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
批注❶
(1)离散型随机变量的数学期望(均值)刻画了离散型随机变量的平均
水平．
(2)数学期望(均值)是一个常数，在大量实验下，它总是稳定的，不
具有随机性．
要点二
几类特殊分布的均值
类别
两点分布X～B(1，p)
二项分布X～B(n，p)
数学期望(均值)
p
E(X)＝________
np
E(X)＝________
由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得
17
62
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－ )－3＝－ .
30
15