2019广州一模文科数学试卷试题及答案文字数版本

2019 年广州市一般高中毕业班综合测试（一）文科数学
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2019 年广州市一般高中毕业班综合测试
( 一 )
文科数学
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一、 选择题 : 此题共 12 小题 , 每题 5
分 , 共 60 分．在每题给出的四个选项中
, 只有一项为哪一项切合题目要求的．
1.
（ ）已知会合
2
B
x|x
A
x|x
2x
0 ,
, 则
A ．A B
B ．ABR
C ．BA
D ．AB
2.
（ ）已知 a 为实数
, 若复数
( a + i ) ( 1 - 2 i )
为纯虚数 , 则 a =
A ． -2
B ．
1
C ．
1
D ． 2
2
2
2
3.
（
）已知双曲线
2
y
C : x
1
( b , 4 ), 则 C 2
的一条渐近线过点
的离心率为
5
b
3
C ．
5
D ． 3
A ．
B ．
2
2
4.
（
） a , b 为平面向量
, 已知
a
=(2,4) ．
a
2b
(0,8), 则
a ,
b 夹角的余弦值等于
4
B ．
3
C ．
3
4
A ．
5
5
D ．
5
5
5.
（
） 若 sin sin
0 ,
则以下不等式中必定成立的是
A ． sin 2 sin 2
B ．sin 2 sin 2
C ．cos2
cos2
D ．cos2
cos2
6.
（
）刘微是我国魏晋期间的数学家
, 在其撰写的《九章算术注》中开创
“割圆
术”．所谓 “割圆术 ”, 是用圆内接正多边形的面积去无穷迫近圆面积并以
此求取圆周率的方法．如下图
, 圆内接正十二边形的中心为圆心
O ．
圆 O 的半径为
2．现随机向圆
O 内投放
a 粒豆子 , 此中有
b 粒豆子
落在正十二边形内
a,b
N*, b
a , 则圆周率的近似值为
b a
C ．3a3b
A．B．
b D ．
a b a
7.（）在正方体ABCD- A 1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB, BC 的中点, 则直线 CE与 D1F所
成角的大小为
A．B． C ． D ．
6432
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````````````````````
```` 1 / 9
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8. （）如图,一高为H且装满水的鱼缸, 其底部装有一排水小孔, 当小孔翻开时,水从孔中匀速流
出 , 水流完所用时间为T ．若鱼缸水深为h 时 , 水流出所用时间为t , 则函数h = f (t) 图象大
致是
9.（）函数f x sin x sin x 5
的最大值是
1212
A ． 2B．3
C．3D．2 3 2
10.（）一个几何体的三视图如下图,此中正视图和俯视图中的四边形是
边长为 2 的正方形, 则该几何体的表面积为
13
7正视图侧视图
A ．B．
2
15
D ．
C ．
28
俯视图
11.（）已知F为抛物线2
C : y6x的焦点,过点 F 的直线l与 C订交于A, B两点,且 |AF|
=3|BF |, 则 |AB |=
A ． 6B． 8C． 10D．12
12.（）已知函数|x|2, 对随意1, 2, 都有2121．
f x e ax000
x x x x f x f x 则实数 a 的取值范围是
A ．, e
B ．,e
C ．0,
e
D ．
e
,0 2222
二、填空题 :此题共 4小题,每题5分 ,共 20分．
13. 已知函数
31
f x x a lo
g x ,若 f2 6 ,则f____________
32
14.已知以点( 1, 2 )为圆心的圆C与直线x + 2y = 0相切, 则圆C的方程为_______________________
2 x y 1 0
15.已知对于 x, y的不等式组表示的平面地区内存在点P x0 ,y 0, 知足x02y02,则
x m0
y20
m 的取值范围是_____________________________
16.△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知 b=2, c=3, C=2B,则△ABC的面积为 _____________眼尘编写
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```` 2 / 9
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三、 解答题 : 共 70 分． 解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
第 17~21 题为必考题 , 每个试题考生都一定
作答．第 22 、 23 题为选考题 , 考生依据要求作答．
（一） 必考题 : 共60分
17.
(12 分 )已知 a 是等差数列 ,
且 lg a
0 , lg a
1 .
n
1 4
(1) 求数列 a n 的通项公式；
(2) 若
a ,a
,a
是等比数列
b
的前 3 项 , 求 k 的值及数列
a
b
的前 n 项和．
1 k 6
n
n n
18. (12 分 ) 如图 , 在三棱锥
A-BCD 中 , △ABC 是等边三角形． ∠ BAD ＝ ∠ BCD = 90 °,点 P 是 AC 的中
点 , 连结 BP, DP ．
(1) 证明 : 平面 ACD ⊥ 平面 BDP ;
3
(2) 若BD6
, cos
BPD
, 求三棱锥 A-BCD 的体积．
3
A
P
B
D
C ````````````````````
```` 3 / 9
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19. (12分)某网络平台从购置该平台某课程的客户中, 随机抽取了100 位客户的数据, 并将这 100个数据按学
时数．客户性别等进行统计, 整理获得下表．
学时数[5, 10)[10, 15)[15, 20)[20, 25)[25, 30)[30, 35)[35, 40)
男性181299642
女性24827134
(1) 依据上表预计男性客户购置该课程学时数的均匀值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结
果保存小数点后两位)；
(2) 从这 100 位客户中,对购置该课程学时数在20以下的女性客户依据分层抽样的方式随机抽取7人,再
从这 7 人中随机抽取 2 人 , 求这 2 人购置的学时数都不低于15 的概率；
(3) 将购置该课程达到25 学时及以上者视为“十分喜好该课程者”, 25 学时以下者视为“非十分喜好该课程
者” , 请依据已知条件达成以下2x2列联表, 并判断能否有 99.9% 的掌握以为“十分喜好该课程者”与性别相关？
非十分喜好该课程者十分喜好该课程者共计
男性
女性
共计100
2
附 :n ad bc
,
2
K n a b c d
a b c d a c b d
2
P K k
k
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```` 4 / 9
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22
20. (12分)已知椭圆x y的一个焦点为F (1, 0) ,点P
C : 1 a b 0
22
a b
(1)求椭圆 C 的力程 ;
(2) 若直线l : y x m 与椭圆C订交于A, B两点,问y 轴上能否存在点M,
为直角极点的等腰直角三角形？若存在, 求点M 的坐标;若不存在
21. (12分)已知函数
x 1
f x e a ,
g x ln x ,此中a 2 .
(1)议论函数y f x与 y g x的图象的交点个数；
(2)若函数y f x与 y g x的图像无交点,设直线y t 与函数
的图象分别交于点P,Q．证明 :PQ a 1 ．
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2 2 6
,在C上．33
使得△ABM是以M ,说明原因．
y f x和y g x
````````````````````
```` 5 / 9
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（二）选考题 :共 10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答．假如多做, 则按所做的第一题计分．22. [必修4-4:坐标系与参数方程](10 分 )
在直角坐标系xOy 中 , 曲线 C 1
x cost( t 为参数 )．以坐标原点为极点, x轴的正半的参数方程为2
y sin t
轴为极轴成立极坐标系, 直线C2的极坐标方程为
1
sin a cos a R．
2
(1)写出曲线 C 1的一般方程和直线C 2的直角坐标方程 ;
(2)若直线C2与曲线 C1有两个不一样交
点, 求 a 的取值范围．
23. [选修4-5:不等式选讲](10分 )
已知函数 f x x a2x1
(1)当 a = 1时 , 求不等式 f x0的解集 :
(2)若 a > 0,不等式f x1对 x R 都成立,求a的取值范围．
````````````````````
```` 6 / 9
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参照答案
一．选择题
123456789
D A C B D C D B C 二．填空题
172
y 224
24.25.x 1515.,
83
三．解答题
（2）
17.解（ 1）
设b公比为q16设
a n
公差为
1
d
n
b a1,b a3k 2,b a
lg a 10
12k36
1
2
a1
a a a
k 1 16 a
k
4
又
lg a1
4
3
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101112
B B A
16.15 7
16
n 1n 1
b b q4
n1
设 a b前 n 项和为 S
n n n
S a b a b a b n1122n n
a a a
b b
b 12n12
n
13n 2 n1 4 n
214
3n 1 n4n1
23
k N *
a 4a13d10
a3k 2
k
4
4解得
k
2
b
2
b
1
````````````````````
d
q
a n a 1 n 1 d 3n 2
解 :(
1)
在△
ABC 中,
BA
BC, P 为 AC
的中点
∴ BP ⊥AC
又∵∠ BAD
∠BCD
90
°
2
2
2
2
BD AB ，CD
BDBC
∴ AD ∴ AD CD
BP PD
BDP
、
平面
又∵P 为 AC 的中点
∴ PD ⊥AC
∵BP ⊥ AC ， PD ⊥AC ， BP
PD
P ，
∴ AC ⊥平面 BDP
又∵AC 平
ACD
面
````
∴平面⊥平面
ACD BDP
(2)
解得设
AB AC BC a∴
3
2
∴
BP a,CD6a
2
222
54 PD CD PC6
a4∴在△ BPD 中，由余弦定理，或得
35
（
2舍
2
cos BPD a6 a 去∠44）
352a6
a
24
2
a
2
B
P
3
,
P
D
1
2
s
i
n
∠
=
1
-
c
o
s
∠
=
B
P
D
B
P
D
S
△
BP
V
A BC
````````````````````
````
3
122
2
323
∴
∴
6
18.(
解： 1)
181299642
181298642
(3)
203
12
非十分喜好该课程者十分喜好该课程者共计481260 (2)
男性
学时数 20以下的女性： 248=14 人162440
女性
共计6436100分层抽样7 人，则学时数在5,10 ，10,15，15, 20分别为 1、2、4 人
76
2 2 1 0 0 4 824 1 162
抽取 2 人共有=21 种可能K50 2
604064363
43因此有 99.9% 的掌握以为 ?十分喜好该课程者”与性别相关在中抽取人共有
15,202=6
2
因此这人购置的学时数都不低于=
的概率 P6=22
15
217
7 / 9
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26. (1)
解
由已知，得
2 2 2
a b c
c 1
4
24
1
2 2
9a
9b
解得
2
a
4
2
b
3
1
2
c
∴椭圆 C 的方程：
2
2
x y
1
4 3
(2)
联立方程组
y
x
m
[1]
2
2
将 代入 ，得
[1] [2]
2
2
2
3x4
x
2mx m
12
∴
2
2
7x
8mx
4m -12
∴
2
2
=64m 4 7 4m -12
2
48 7
m 0
设 A x , y , B x , y , G x , y
中点
1
1
2
2
2
8m
4m
12 ∴ x
x =
, x x
1
2
1 2
7
7
∴
8m
4m
3m
x
2
, y
7 7
7
设存在 M
0,t 知足题意
即 AM BM 0
x x y t
y t
1
2
1
2
由MG AB 得
,
3 t
4 m m
7
7 ∴ t
1
m
7
∴
1
1
x x
y
m
y
m
1
2
1
2 0
7 7
1
1
x x
x m
m
y
mm
1 2
1
2
7
7
整理，得
8
64
2
2x x
m x
x
m =0
1
2
1
2
7
49
2
4m
12
8
8m
64
2
∴2
m
m =0
7
7
7
49
解得 m
3
∴ t
1
3
3
7
7
∴ 当 m
3 时，
3
3
存在点 M 0,
或M 0,
知足题
意
7
7
x
y
1
[2]
4
3
[1] a
0 时， F ' t 0， F t 递加
解： (1)
x 1
1
设 P x ,e
a ,Q x ,ln x
[2] 1 0
' 0 27.
1
1
2
2
a
时，设 F t
x
1
x
由 f x
g x , 得 a ln x e
∴
1
1
设 e x t ∴
x 1
t
h x ln x e x 0
a
2
e
t
a
t
1
ln
∴ t
ln t a
x
1
整理，得
t
h ' x
e
∴
PQ
F t
e
ln
x
x
ln t
a 1
1
1
x 1
t
1
h" x
e
x
t
1
2
e
t
a
2
x
∴
t
∴ h ' x 单一减，又
h ' 1
PQ
x
x
e ln t a
1, t
设
2
1
x
1
t
a
a 1
0,1 1
1,
t
t 0
a
F t
e ln t a
1, t
a
∴ h ' x
````````````````````
````
h x
1
1 t
a
1
2 个交点
1
∴当
时，有 t
当且仅当
，
2
a1
a
= t
a
时，有 1
当 个交点
t
a
a =
1
当 a
1 时，没有交点
即 t =a
1 时，等号成立
F ' t
e
(2)
1
由(1)知 a
1， t
0， t
a
t
1
1,与 的取值矛盾
代入
，得
t
e
a
a
F " t
e
2
t
a
t
a
∴
' 单一增
∴
PQ
a
1
F
t
1
a 1
又 ∵ F
'0=1
=
a a
8 / 9
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28.
(1) 1
∴
2
解：
∴ y ax
2
2
2
设
∵cos t
sin t
1
1
由已知代入，得
∴直线2
C 2
1
: y
x
y
= a
2 0
ax
2
2
2
∴ y
x
1
∵cost
1,1
2
∴曲线 C : y x 1 x 1,1
1
1
∵
sin
a cos
2
1
∴ sin
a
cos
2
1
∴ y ax
2
(2)
1
1
2
联立方程组：
y,
消 得
1
2
2
x
ax
由已知可得
f x x
ax ∴ 有
f
10
11a
22
1
0既
f 1
有a0
2
a
a
22
1
12
∴
11
[的取值范围为
]
a
,
22
````````````````````
````
解： 23. (1)将 a 1 代入 f x，得f x x12x 1 0∴ x12x1
∴ x22
12x 1
∴3x x20
∴0x2
x2在
上有两不
同的根
x1,1
1
2
2x x
1
2令 g x2x11
1
22x x
2
1易求g x最小值为g m i n x g=1
2
∴
x a g x1
m i n
11
1
即只要当 x时， x a a
22
````````````````````
````
解得
∴ x0,2
31
(2)
a
22
由已知得
又 a 0
x a 2x 11
1
∴
a
0,
2
9 / 9
````````````````````。