高中数学第二章2.2空间向量的运算第1课时空间向量的加减法及数乘运算课件北师大版选修2_1
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的 结果为向量 ���������的���1 有( )
①(������������ + ������������)+������������1 ;②(������������1 + ������1������1 )+������1������1; ③(������������ + ������������1)+������1������1;④(������������1 + ������1 ������1)+������1������1.
A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c 解析:������1������ = ������1������ + ������������ = ������1������ + ������������ + ������������ = ������������ − ������������ − ������������1=a-b-c. 答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
������1������1=a,������1������1=b,������1 ������=c,E,F,G,H,P,Q 分别是 AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A 的中点,求证:������������ + ������������ + ������������=0.
+
1 2
������1 ������1
+
1 2
������1 ������1
=������������1 + ������1������ = ������������,
������������ + ������������ + ������������1 + ������1������1 + ������1������=0.
������������
+
1 2
������������
=-12
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ .
∴������������ = ������������+2������������ + ������������=2(������������ + ������������ + ������������)=2������������,
证明:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是
AB,BC,1,C1D1,D1A1,A1A的中点,
������1������1=a,������1 ������1=b,������1������=c,∴������������ = 12a+12b,������������=-12c-12a,������������=-12b+12c. ∴������������ + ������������ + ������������=12a+12b-12c-12a-12b+12c=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 已知在四面体 A-BCD 中,������������=a,������������=b,������������=c,则������������等于 ()
A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析:因为������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ =b-a+c=-a+b+c,所以选C. 答案:C
一、空间向量的加、减法
一 二 三 思考辨析
名师点拨空间向量的加、减法运算满足平行四边形法则和三角 形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
一 二 三 思考辨析
【做一做 1】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,������������=a,������������=b,������������1=c,则������1������等于( )
所以所给 4 个式子的运算结果都是������������1. 答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量:灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而 便于运算. 巧用平移:利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算时, 务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由 平移获得更准确的结果.
答案:������������ 0
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量共线问题 【例3】如图,ABCD,ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是 AC,BF 的中点.判断������������与������������是否共线?
思维点拨:要判断������������与������������是否共线,即判断是否存在实数 x 使 ������������=x������������.若存在,则������������与������������共线;否则������������与������������不共线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四
边形,
∴������������
=
������������
+
������������
+
������������
=
1 2
������������
+
������������
+
1 2
������������ .
§2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加、减法及数乘运算
学习目标 思维脉络
1.会用图形说明空 间向量加法、减法、 数乘向量及它们的 运算律. 2.掌握利用空间两 个向量共线的充要 条件解决有关问 题. 3.能与平面向量的 运算进行类比与区 分,加深对空间向 量运算的理解.
一 二 三 思考辨析
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:
①(������������ + ������������)+������������1 = ������������ + ������������1 = ������������1 ; ②(������������1 + ������1������1)+������1������1 = ������������1 + ������1������1 = ������������1; ③(������������ + ������������1)+������1������1 = ������������1 + ������1������1 = ������������1 ; ④(������������1 + ������1������1)+������1������1 = ������������1 + ������1������1 = ������������1 .
C.������������
1
D.2
������������
解析:������������
+
1 2
(������������
+
������������ )=������������
+
������������
=
������������ .
答案:B
一 二 三 思考辨析
三、共线向量定理
一 二 三 思考辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟先用a,b,c分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用 空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化.正确运 用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向.对向量算式 的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
即������������=2������������.∴������������ ∥ ������������,即������������与������������共线.
反思感悟判定两向量共线就是找实数x使a=xb(b≠0).要充分运用
空间向量的运算法则并结合空间图形,化简得出a=xb(b≠0),从而得
(3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注 意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.
一 二 三 思考辨析
【做一做3】 已知O是平面内任意一点,α是任意角,下列等式一 定可以判定A,B,C三点共线的是( )
A.������������=sin α������������+cos α������������ B.������������=sin2α������������+cos2α������������ C.������������=sin α������������-cos α������������ D.������������=sin2α������������-cos2α������������ 解析:因为sin2α+cos2α=1,故选B. 答案:B
又∵������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=-12
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴1
2
������������
+
3.当λ=0时,λa=0;当λ≠0时,若a=0,则λa=0.
一 二 三 思考辨析
【做一做2】 如图,已知在四面体A-BCD中,点G是CD的中点,
则������������
+
1 2
(������������
+
������������ )等于(
)
A.������������
B.������������
出a∥b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知 ������������=2e1+ke2,������������=e1+3e2,������������=2e1-e2,且 A,B,D 三点共线,则 k 的值为 ()
A.2 B.3 C.-8 D.8
解析:∵������������ =e1+3e2,������������ =2e1-e2, ∴������������ = ������������ − ������������=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. ∵A,B,D 三点共线,∴������������=λ������������,
一 二 三 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)不论λ取什么实数,λa与a一定共线. ( √ ) (2)若λa=0,则必有λ=0. ( × ) (3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( × ) (4)已知 A,B,C,D 是空间任意四点,则������������ + ������������ + ������������ + ������������=0. ( √ )
一 二 三 思考辨析
二、空间向量的数乘
一 二 三 思考辨析
特别提醒1.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减
运算,如λ±a等无法运算.
2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以 把向量a的模扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1时);可以不改变 向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
连接
AM,则������������1
+
1 2
������1 ������1
+
1 2
������1 ������1 =
;������������ + ������������ + ������������1 +
������1������1 + ������1������=
.
解析:������������1
特别提醒对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确 把握:
(1)在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一 定成立.例如,若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
(2)该充要条件包含两个命题:
①a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb; ②存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b.