北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业指数函数及其性质

北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业：指数函数及其性质
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题
1．若函数
、三、四象限，则一定有( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 2．函数2
1(0)x y a
a a -=+>≠且1的图象必经过点( )
A ． (0,1)
B ． (1,1)
C ． (2,0)
D ． (2,2)
【答案】D 3．已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是
( )
A ． 0,0,0a b c <<<
B ．0,0,0a b c <≥>
C ． 2
2a
c -<
D ．2
22a
c +<
【答案】D
4．已知函数()x
x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21，对于任意的两个实数()b a b a ≠,，下列关系不一定成立的是( )
A ．
()()()ab f b f a f =+
B ．
()()()b a f b f a f +=
C ．
()()0<--b
a b f a f
D ．()()[]b f a f b a f +<⎪⎭⎫
⎝⎛+2
1
2 【答案】A
5．设
，，，则( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
6．若函数y =(a 2-3a +3)a x
是指数函数，则( )
A ． a ＞1且a ≠1
B ． a ＝1
C ． a ＝1或a ＝2
D ． a ＝2
【答案】D 7．函数1
(0,1)x
y a a a a
=-
>≠的图象可能是( )
【答案】D
8．函数x
y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与函数2x
y =-的图象关于( )
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．直线y x =对称
D ．原点对称
【答案】D
9．设，则( )
A ．－2<x<－1
B ．－3<x<－2
C ．－1<x<0
D ．0<x<1
【答案】A
10．已知函数f(x)＝⎝⎛
⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋
，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭
⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 【答案】A
11．已知函数()x
f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：
① ABC ∆一定是钝角三角形 ② ABC ∆可能是直角三角形 ③ ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是( )
A ．①③
B ．①④
C ． ②③
D ．②④
【答案】B
12．下列函数中，图象与函数2x
y =的图象关于原点对称的是( )
A ．2x
y =-
B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．12x
y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
D ．12x
y -⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
【答案】C
13．已知集合
11
{1,1},{|
24,}2x M N x x Z +=-=<<∈,则M
N =( )
A ．{1,1}-
B ．{0}
C ．{1}-
D ．{1,0}-
【答案】C 14．设函数
6
522221)(,21)(+++-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x x b
x x x g x f ，若
)()(x g x f <对于任意实数
x 恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．12>b B ．12<b
C ．15<b
D ．15>b
【答案】D
15．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与
的图象关于直线
对称，而
函数
的图象与
的图象关于y 轴对称，若
，则
的值为( )
A ．-e
B ．-
C ．e
D ．
【答案】B 16．函数
33()2
x x
f x --=在其定义域内( )
A ．是增函数又是偶函数
B ．是增函数又是奇函数
C ．是减函数又是偶函数
D ．是减函数又是奇函数 【答案】B
17．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x f x
的图象有交点，则a 的取值范围是( )
A ． 222-≤a 或 222+≥a
B ． 1-<a
C ． 2221-≤≤-a
D ． 222-≤a
【答案】D 18．函数b
x a
x f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．0,1<>b a
B ．0,1>>b a
C ．0,10><<b a
D ．0,10<<<b a
【答案】D
19．若方程021411
=+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是( )
A ．
()1,∞-
B ．)2,(--∞
C ．
()2,3--
D ．
()0,3-
【答案】D 20．函数()x b
f x a
-=的图象如图，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是( )
A. 01,0a b <<<
B. 1,0a b >>
C. 01,0a b <<>
D. 1,0a b >< 【答案】A 21．设
111
()()1222
b a <<<，那么( ) A ．a a
＜a b
＜b a
B ．a a ＜ b a ＜a b
C ．a b
＜a a
＜b a
D ．a b
＜b a
＜a a
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题
22．若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1>a
23．已知函数x
x f )2
1
()(=的图象与函数g(x)的图象关于直线x y =对称，令
①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数；
③h(x)的最小值为0；
④h(x)在(0，1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 (注：将所有正确．．命题的序号都填上） 【答案】②③
24．方程|2x
－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________． 【答案】1a ≥或0a =
25．若函数|21|x
y =-，在(,]m -∞上单调递减，则m 的取值范围是 ． 【答案】0≤m 26．不等式162
2<-+x x 的解集是 ．
【答案】{31}x
x -<<
27．已知函数11
()()12
x
f x x a =-+(a>0),若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是 【答案】a ≥1
28．若关于x 的不等式1420x x a +--≤在[]2,1上恒成立,则实数a 的取值范围为 .
【答案】0≤a
29．已知函数1(01)x
y a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 与点B )0,(m 、
C )0,)(,0(≠≠mn n m n 在同一直线上，则11
m n
+的值为 【答案】1
30．已知函数m x g x x f x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛==21)(,)(2
，若对[][],2,0,3,121∈∃-∈∀x x 使得
)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是____________
【答案】4
1≥
m 31．如图，过原点O 的直线与函数2x
y =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x
y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 。

【答案】（1，2） 32．已知函数|
|)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围
是 。

【答案】]1,(-∞
33．如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图像。

假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过302
m ； ③野生水葫芦从42
m 蔓延到122
m 只需1.5个月； ④设野生水葫芦蔓延至22
m 、32
m 、62
m 所需的 时间分别为1t 、2t 、3t ，则有123t t t +=；
其中正确结论的序号是 。

（把所有正确的结论都填上） 【答案】①②④
34．已知12
a =
，函数()x
f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 . 【答案】m<n 35．设5
62
)(sin ),2
,0(+-=∈x x
y θπ
θ且函数 的最大值为16，则=θ 。

【答案】
6
π 36．若函数22x
x
y a -=-⋅的图象关于原点对称，则a = ． 【答案】1 三、解答题
37．已知函数21
()21
x x a f x ⋅-=+为奇函数．
(1)求常数a 的值；
(2)求函数)(x f 的值域．
【答案】 (1)由题知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数
所以由
()00f =，得1a =．
(2)由(1)知212
()12121
x x x f x -==-++ 又因为20x
>，所以原函数的值域为()1,1-．
38．比较下列各组数值的大小： (1）3
.37
.1和1
.28
.0；（2）7
.03
.3和8
.04
.3；（3）
25log ,27log ,2
3
98 【答案】（1）∵ 3.3
01.7 1.71,>= 2.100.80.81<=，∴ 3.31.7>1.28.0
(2）∵0.7
0.80.80.83.3
3.3,3.3 3.4<<，∴0.73.3<8.0
4.3
(3）8293log 27log 3,log 25log 5,==
33
2
222233333log 2log log 3,log 3log log 5,22
==<==>
∴983
log 25log 27.2<<
39．设函数
cos cos ()22x x f x αα+-+=-,x R ∈，且3(1)4
f =.
(1)求α的取值的集合； (2若当02
π
θ≤≤
时,
(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立,求实数m 的取值范围.
【答案】 (1) 3
(1)4
f =
, 1cos 1cos 3224
αα+-+-=
cos 122α=
cos 1α=-, α
的取值的集合:}{2k k Z |,αα=π+π∈
(2) 由（1）知，
11()22x x f x ---=-，在x R ∈上为增函数，且为奇函数，
(cos )(1)0f m f m +->θ
f (mcos )f (m 1)∴θ>-， m(cos 1)1θ->-
当0θ=时，cos 1θ=，m R ∈
当02
π
<θ≤时，0cos 1≤θ<。

1m 1cos ∴<
-θ 又111cos ≥-θ， m 1∴< 40．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当26x ≤≤时，
||1
()(),(4)31
2x m f x n f -=+=.
(1）求,m n 的值； (2）比较
3(log )
f m 与
3(log )
f n 的大小.
【答案】（1）∵()f x 在R 上满足(4)()f x f x +=，∴(2)(6)f f =，∴
|2||6|11
()()22m m n n --+=+
∴|2||6|m m -=-，从而4m =，∴|4|1
()().
2x f x n -=+又(4)31f =，∴|44|
131
2
n -+=，
∴30n =
(2）由（1）可知|4|1
()()30,[2,6]
2x f x x -=+∈
∵
331log 42,5log 446
<<∴<+<，∴
3|log 444|3331
(log )(log 4)(log 44)()30
2f m f f +-==+=+
3log 41
()30.2=+
∵33log 304<<，∴3381
log 4log 3030
311(log 30)()30()30
22f -=+=+
∵3381log log 430<，∴3381log log 430
11()()22<，∴3381
log log 43011()30()30
22+<+
∴
33(log )(log )
f m f n <
41．设函数()()R x m m x f x
x ∈+-+⋅=1
22
2是奇函数。

⑴ 求实数m 的值； ⑵ 若
()()031<-++t f t f ，求实数t 的取值范围。

【答案】⑴ ()122
2+-+⋅=x
x m m x f 在R 上是奇函数 ()102
2
200=⇒=-⇒
=∴m m f ⑵ ()1
22
11212+-=+-=x x x x f
当x 增大时，()x f 也增大，()x f ∴为增函数
由()()()()31031--<+⇒<-++t f t f t f t f ∵
()x f 为奇函数，()()t f t f -<+∴31 又∵
()x f 为增函数，131<⇒-<+∴t t t
∴实数t 的取值范围为
()1,∞-
42．已知定义域为R 的函数
a b x f x
x
+-=22)(是奇函数. (1)求b a ,的值; (2)用定义证明)(x f 在
()
+∞∞-,上为减函数.
(3)若对于任意R t ∈,不等式
0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围. 【答案】（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数为
.1),1()1(=-=-a f f 得又
经检验1,1==b a 符合题意. (2)任取
2121,,x x R x x <∈且
则)12)(12()
12)(21()12)(21(12211221)()(2
11221221121-------=-----=-x x x x x x x x x x x f x f =
)12)(12()
22(22112++-x x x x .
R )(,0)()(0)12)(12(,022,21212121上的减函数为又x f x f x f x x x x x x ∴>-∴>++∴>-∴<
(3) R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,
)2()2(2
2k t f t t f --<-∴ )(x f ∴为奇函数, )2()2(22t k f t t f -<-∴ )(x f ∴为减函数, .2222t k t t ->-∴
即t t k 232
-<恒成立,而.3131)31(32322
-≥--=-t t t .
31-<∴k
(2）定义域关于原点对称，且()=-x F ()x F x x -=--+)1(log )1(log 22，所以()x F 为奇函
数.
(3)当
()()x x
x F x +-=-∈11log ,1,12
时
()()=+b F a F
()()()()()()ab b a ab b a b a b a b b
a a +++++-=++--=+-++-11log 1111log 11log 11log 2
222
，
又
=+++++-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a ab b
a a
b b a F 1111log 12
()()ab b a ab b a +++++-11log 2
所以
()()⎪
⎭⎫
⎝⎛+++ab b a F b F a F 1与相等 . 43．若0≤x ≤2,求函数y=52342
1+⨯--
x x 的最大值和最小值；
【答案】52322
15234
2
2
1
+⨯-=+⨯-=-x x x x y ）（
令t x
=2
41≤≤t ∴ 2
13212
+-=）
（t y 当3=t 时，21min =
y ；当1=t 时，2
5
max =y。