2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． ∅ 2．函数)4(log 3-=x y 的定义域为 （ ）
A ．R
B ．),4()4,(+∞-∞
C ．)4,(-∞
D ． ),4(+∞
3．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）
A ．
12 B ．13 C ．1
4
D ．16
4．在等比数列{}n a 中，*
0()n a n N >∈且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知3(,sin ),2a α=1(cos ,)3
b α=且//,a b 则锐角α的大小为 （ ） A ．
4π
B ．3π
C ．6π
D ．12
5π
6．按照程序框图(如右图)执行， 第3个输出的数是( ).
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
8．已知函数b x x x f +-=2)(2
在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ． R B ．)0,(-∞ C ．),8(+∞- D ．)0,8(-
9.若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是( )
A ．
5
B ．
6 C.5 D ．6
11．三个数2
1
log ,)21(,33321
===c b a 的大小顺序为 （ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
12．设函数x x f 6
sin )(π
=，则)2009()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于( )
A ．21
B ．23
C ．2
31+ D ．32+
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数1
3
22
(),log (21)2
x x
e x
f x x -⎧<=⎨-≥⎩则=))2((f f ．
14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3
,4,3π
．
15. 已知5sin =
5
α则44
sin cos αα-的值是 . 16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝ ． 三、解答题：(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)
已知点)1,12(cos +x P ，点)12sin 3,1(+x Q )(R x ∈，且函数→
→
⋅=OQ OP x f )(（O
为坐标原点），
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）求函数)(x f 的最小正周期及最值．
18.（本小题满分12分）
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）证明:;1F D AD ⊥ （2）求AE 与D 1F 所成的角;
D 1
C 1
B 1
A 1
19.（本小题满分12分）
某学校为了了解高三学生的身体健康状况，在该校高三年级学生中随机抽取了100名
学生进行调查，按日睡眠时间（单位：小时）分组得到如图1的频率分布表和如图2的频率分布直方图。

组号 睡眠时间 频数 频率 第一组 [4，5) 5 0.05 第二组 [5，6) 15 0.15 第三组 [6，7) a P 1 第四组 [7，8) 40 0.4 第五组 [8，9)
b P 2 总计
100
1
（1）请补全频率分布直方图，并求频率分布表中的a,b
（2）现用分层抽样法从第一、二、五组中抽取6名学生进行体检，求第一、二、 五组各应抽取多少名学生？
（3）在上述6名学生中随机抽取2名学生进行某专项体检，求这2名学生中恰有一名学生在第二组的概率。

20. (本小题满分12分)
如右图所示，圆心C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴和y 轴都相切． （1）求圆C 的一般方程；
（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．
21.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：3577,26,a a a =+= {}n a 的前n 项和为n S (1)求n a 及n S ； (2)令*2
1
(),1
n n b n N a =∈-求数列{}n b 的前n 项和n T ．
22.（本小题满分12分）
已知
1
()log(0,1)
1a
x
f x a a
x
+
=>≠
-
(1)求()
f x的定义域
(2)判断()
f x的奇偶性
(3)判断()
f x的单调性并用定义证明.
岷县二中xx 第二学期期末考试答案
高二·数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 2 14.
13 15. 3
5
-
16. 80 三、解答题（共70分）
17．解（1）依题意，)1,12cos +x P （，点)12sin 3,1(+x Q ，
所以,()cos23sin 222sin(2)26
f x OP OQ x x x π
=⋅=++=++．
（2）)(x f 2sin 226x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
． 因为x R ∈，所以()f x 的最小值为0，)(x f 的最大值为4, )(x f 的最小正周期为T =π.
18. 解（1）. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1, C C DD AD 11面⊥∴,C C DD F D 111面⊂,
.1F D AD ⊥∴
(2) 取AB 的中点,并连接A 1P, 易证ABE AP A ∆≅∆1, 可证;AE P A ⊥1, 即F D AE 1⊥,所以AE 与D 1F 所成的角为.90︒
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
C
D
B
B
A
C
C
D
A
B
B
D
F
E
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B A
20．解 (1) 依题意,半径2r =,所以,圆的标准方程是()()22
224x y -+-=. （2）设直线方程为()00x y a a +-=≠,则
2
2
22211
a
+-=+.所以422a =±.
所求直线方程为：4220x y +-+=或4220x y +--=．
21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3577,26,a a a =+=所以有
{
1127
21026,a d a d +=+=解得13, 2.a d ==，
所以32(1)21n a n n =+-=+；2(1)
322.2
n n n S n n n -=+⨯=+ （2）由（1）知21n a n =+，所以22
1111111
(),1(21)14(1)41
n n b a n n n n n =
==⋅=--+-++ 因此11111111(1)(1)4223
1414(1)
n n
T n n n n =
-+-++
-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和.4(1)
n n
T n =+
22.解：(1)
101x
x
+>-
11x ∴-<<
故函数()f x 的定义域为(-1,1) (2)
1111()log log ()log ()111a
a a x x x
f x f x x x x
--++-===-=-+-- ∴函数()f x 为奇函数 (3) 设1()1x
g x x
+=
-, 取1211x x -<<<，则 1212121212112()
()()011(1)(1)
x x x x g x g x x x x x ++--=
-=<---- 故()g x 在(1,1)x ∈-上为增函数. 所以当1a >时，()f x 为增函数. 当01a <<时，()f x 为减函数.
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