河南省高二上学期期中联考数学(文)试题(解析版)

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一、单选题
1.在等比数列中,若,则( ) {}n a 246816a a a a =5a =A . B .3 C .或2 D .4
2-2-【答案】C
【解析】利用等比数列的性质可得,从而可得答案
4
24685a a a a a =【详解】由等比数列的性质有,可得.
4
2468516a a a a a ==52a =±故选:C
2.下列双曲线中,虚轴长为 )
A .
B .
2
213
y x -=2
213
x y -=C . D .
2
219
y x -
=2
219
x y -=【答案】A
【分析】根据虚轴长的定义分别求得各双曲线的虚轴长即可得解.
【详解】对于A ,中A 正确;
2
2
13
y x -=b =对于B ,中,虚轴长为,所以B 错误;
2
213
x y -=1b =2对于C ,中,虚轴长为,所以C 错误;
2
2
19
y x -=3b =6对于D ,中,虚轴长为,所以D 错误;
2
219
x y -=1b =2故选:A.
3.在中,已知,,则的面积为( ) ABC A 3a =c =60C =︒ABC A
A B C D 【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b ,然后由三角形面积公式计算.
【详解】因为中,已知,, ABC A 3a =c 60C =︒
所以,由余弦定理得,
2
222323cos 60320b b b b =+-⨯︒⇒-+=解得或2, 1b =
所以的面积或 ABC A 1sin 2S ab C ==1132⨯⨯=1232S =⨯⨯=故选:B.
4.已知双曲线的中心为原点,是双曲线的一条渐近线,(3,0)F 20y -=则双曲线的标准方程为( ).
A .
B .
C .
D .
22
14536x y -=22
13645
x y -=22
154
x y -=22
145
x y -=【答案】D
【分析】根据F (3,0)是双曲线的−个焦点设双曲线的方程为,然后根据渐近线方程得
22
22
19x y a a -=-
即可得到双曲线方程. =
a 【详解】∵双曲线的中心为原点,F (3,0)是双曲线的−个焦点,
∴设双曲线方程为,a >0,
22
2219x y a a -=-
是双曲线的一条渐近线,
20y -=
a 2=4, =
∴双曲线方程为.
22
145x y -=故选:D.
5.已知m >0,则“m =3”是“椭圆=1的焦距为4”的( )
22
25x y m +A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过讨论焦点的位置,得到关于m 的方程,求出对应的m 的值,根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】解:∵2c=4,∴c=2,
若焦点在x 轴上,则c 2=m 2-5=4,又m >0,∴m=3, 若焦点在y 轴上,则c 2=5-m 2=4,m >0,∴m=1,
故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件,
22
215x y m +=故选:A .
【点睛】本题考查了充分必要条件,考查椭圆的定义,是一道基础题. 6.函数的最小值为( ) 19()(1)41
f x x x x =+>-A .
B .
C .
D .
13
4
372
94
【答案】A
【解析】凑配出积为定值,然后由基本不等式得最小值. 【详解】因为,所以,所以1x >10x -
>9191113()(1)4141444
x f x x x x =+=-+++=--…, 当且仅当
,即时等号成立,所以的最小值为. 19
41x x -=-7x =()f x 134
故选:A .
7.已知椭圆的右焦点为F ,点P 在椭圆上,若
,则点P 的横坐标为22:132x y C +=||PF
=
( ) A .
B
C .
D .
3
2
-32
【答案】D
【解析】由已知求得,再由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得选项. ()10F ,
【详解】因为椭圆,所以所以,所以,设, 22
:132
x y C +=223,2,a b ==21c =()10F ,
()00,
P x y 则,解得或,而
||PF ==2200132x y +=092x =032x =0x <<, 03
2
x =
故选:D.
8.已知数列是公差不为零的等差数列,则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是{}n a {}n b ( )
A .
B .
22
1n n n b a a +=-33
1n n n b a a +=- C . D .
111
n n n
b a a +=
-1n n n b a a +=【答案】A
【解析】A 中设数列的公差为,求出的表达式,再根据等差数列的定义判断.BCD 中通{}n a d n b 过特例求出,根据通项公式形式可判断.
n b 【详解】A .设数列的公差为,由,又由
{}n a d ()()()22
1111n n n n n n n n n b a a a a a a d a a ++++=-=+-=+,故数列也一定是等差数列. (n 12n n b b d a ++-=)()()21122n n n n n a d a a d a a d ++++-+=-={}n b 若,是等差数列,
n a n ={}n a B .,不是等差数列,
33332
1(1)331n n n b a a n n n n +=-=+-=++
C .,不是等差数列, 1111111(1)
n n n b a a n n n n +=
-=-=-++D .,不是等差数列,
2
1(1)n n n b a a n n n n +==+=+故选:A .
9.已知在前n 项和为的数列中,,,则( ) n S {}n a 11a =12n n a a +=--101S =A . B .
C .
D .
97-98-99-100-【答案】C
【解析】利用并项求和法即可求解.
【详解】由,有,
12n n a a +=--12n n a a ++=-则. 101123100101()()125099S a a a a a =+++++=-⨯=- 故选:C
10.已知椭圆:和椭圆:的离心率相同,则( )
1C 22221(0)x y a b a b +=>>2C 22
221(0)x y c d c d +=>>A . B .
C .
D .
ab cd =ac bd =ad bc =2222a b c
d -=-【答案】
C
【解析】根据离心率相同可得的关系,化简后可得正确的选项.
a b c d ,,,【详解】, =222222
a b c d a c --=有,有,有.
22
2211b d a c -=-2222b d a c =ad bc =故选:C.
11.在中,角,,所对的边分别为,,,若,且,则ABC A A B C a b c ()tan tan
2
A
B C +=2a =
的面积的最大值为
ABC A A
B C
D .【答案】A
【解析】由
以及,结合二倍角的正切公式,可得()tan tan B C A +=-()tan tan 2A
B C +=tan 2
A =,根据三角形的内角的范围可得,由余弦定理以及基本不等式可得,再根据面积公式2π
3A =43
bc ≤可得答案.
【详解】因为,且, ()tan tan
2
A
B C +=B C A +=π-
所以, ()22tan
2tan tan 1tan 2
A
B C A A +=-=-
-tan 02A =>所以
.
tan
2
A =2π3A =由于为定值,由余弦定理得,即. 2a =22

42cos
3
b c bc =+-224b c bc =++根据基本不等式得,即, 22423b c bc bc bc bc =++≥+=
43
bc ≤当且仅当时,等号成立
.
b c =所以114sin 223ABC S bc A =≤⨯
=
A 故选:A
【点睛】本题考查了二倍角的正切公式,考查了余弦定理,考查了基本不等式,考查了三角形的面积公式,属于中档题.
12.已知直线与抛物线交于两点,过分别作的垂线与轴交于
0y a l --=:24x y =,P Q
,P Q l y
,M N =a A . B . C . D .
1-12-2【答案】D
【详解】∵直线 l 0y a --=∴直线的倾斜角为
l 60︒∵直线与抛物线交于两点,过分别作的垂线与轴交于 两点,且l 24x y
=,P Q ,P Q l y ,M N
MN =
∴ 608PQ =
︒=设, 11(
,)P x y 22(,)Q x y 联立,得
2
4y a x y
--==240x
a -+=由得
0∆>3a <∴
12x
x +=1
24x x a =∴,即 8PQ ==481616a -=∴
2a =
故选D
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义及简单的性质,本题利用直线的倾斜角结合图形推导出线段的几何关系,再联立方程组,利用韦达定理及弦长公式即可求出参数,因此根据题意画出正确的图形是解题的关键.
二、填空题
13.以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为________.
2
2
12
y x -=【答案】
24y x =-【分析】首先求双曲线的左顶点坐标,再求抛物线的标准方程.
【详解】由题意知双曲线的左顶点为,
2
2
12
y x -=(1,0)A -则抛物线方程设为,由条件可知,
()2
20y px p =->12
p =所以抛物线方程为. 24y x =-故答案为:.
24y x =-14.若满足约束条件,则的最小值为___________.
,x y 2202202320x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩………3z x y =-【答案】
4-【解析】作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.
【详解】作出可行域,如图内部(含边界),作直线,由得
ABC A :30l x y -=220
2320x y x y -+=⎧⎨--=⎩,
(2,2)B --由得,是直线的纵截距的相反数,向上平移时,减小, 3z x y =-3y x z =-z 3x z =-z ∴向上平移直线,减小,当过时,. l z l (2,2)B --min 3(2)(2)4z =⨯---=-故答案为:.
4-
15.过抛物线的焦点的直线交抛物线于点在点的上方,若22(0)y px p =>F A B A 、,B 4AF BF =,则直线的斜率为__________. AB 【答案】
43
【解析】如图所示,设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点,设A
B 、,M N AB 、l
C 4AF t =,求出即得解. 4
tan 3
CBN ∠=
【详解】如图所示,设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点, A
B 、,M N AB 、l
C 设,则, 4AF t =,,4,
BF t BN t AM t ===1
4
BN BC AM AC ==解得, 544
,,tan 333
t t BC NC CBN =
=∴∠=又, CBN CFO AFx ∠=∠=∠ 故直线的斜率为. AB 4
3
故答案为:
43
【点睛】方法点睛:类似这种直线和抛物线相交的计算问题,要注意以下知识的综合应用:(1)
抛物线的定义;(2)平面几何的相似;(3)直角三角函数.
16.已知递增的等差数列满足,,则{}n a 10a =2
341a a =+12233445a a a a a a a a -+-+
______. 222211n n n n a a a a +--+=【答案】
22n -【分析】先设等差数列的公差为,根据题中条件,求出公差,得到通项公式,进而可{}n a (0)d d >求出结果.
【详解】设等差数列的公差为,
{}n a (0)d d >由,得,解得,则.
2
341a a =+2431d d =+1d =1n a n =-所以1223344521
2122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+ ()()()()21343565722121n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+-+⋅⋅⋅+-.
()24222[135(21)]n a a a n =-++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+-22n =-故答案为
22n -【点睛】本题主要考查等差数列,熟记等差数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.
三、解答题
17.已知的内角的对边分别为,且.
ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos 2c B a b =+
(1)求;
C
(2)若为线段上一点,且,求的长. 3,c a ==D AB CD AC ⊥CD 【答案】(1);(2). 23
C π
=
1【解析】(1)利用正弦定理将化为,结合
2cos 2c B a b =+2sin cos 2sin sin C B A B =+,化简整理可得,从而可求出,进而可求
sin sin[()]A B C π=-+2sin cos sin 0B C B +=1
cos 2
C =-出角的值;
C
(2)在中利用余弦定理可求出,而ABC A AC =a b ==30A ︒=CD AC

,所以 1CD AC =
==【详解】解:(1)根据正弦定理得, 2sin cos 2sin[()]sin C B B C B π=-++整理得
2sin cos sin 0B C B +=因为,所以,又,可得 sin 0B ≠1cos 2
C =-(0,)C π∈23C π
=
(2)在中,由余弦定理得:
ABC A 2932cos b b C =+-⨯
将(1)中所求代入整理得:,解得或(舍),即260b -=b =b =-AC =在中,可知,有, ABC A a b =30A ︒=因为, CD AC ⊥
所以. tan 301CD AC AC =︒=
==18.已知正项等比数列的前项和为. {}n a n 653,2,40n S a S S ==+(1)求数列的通项公式;
{}n a (2)令,记数列的前项和为,求的最大值.
2log 4n n b a =+{}n b n n T n T 【答案】(1);(2)最大值为.
1322n
n a -=64【解析】(1)已知条件用和公比表示后解得,得通项公式; 1a q 1,a q (2)由(1)求得,由求得最大时的值,再计算出最大的. n b 0n b ≥n T n n T 【详解】解:(1)设数列的公比为,
{}n a (0)q q >由,有①,
62a =5
12a q =又由,有,得②,
5340S S =+4540a a +=34
1140a q a q +=①②有,解得或(舍去),
÷21120q q =+1
4q =15
q =-由,可求得,有,
14q =11
12a =1
11113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭
故数列的通项公式为;
{}n a 1322n
n a -=(2), 1322log 2
4172n
n b n -=+=-若,可得,可得当且时;当且时, 0n b (17)
2
n …18n ……*n ∈N 0n b >9n …*n ∈N 0n b <故最大,
8T
又由,可得, 115b =887
158(2)642
T ⨯=⨯+⨯-=故的最大值为.
n T 64【点睛】思路点睛:本题考查求等比数列通项公式,求等差数列前项和最大值,求等差数列前n n 项和的最大值方法:数列是等差数列,前项和为, {}n b n n T (1)求出前项和的表达式,利用二次函数的性质求得最大值;
n n T (2)解不等式,不等式的解集中最大的整数就是使得最大的值,由此可计算出最大的
0n b ≥n n T n (注意0时,).
n T n b =1n n T T -=19.已知,且,:函数在区间上是减函数;:方程
m ∈R 0m >p 2()2(48)5f x x m x =+-+(,1)-∞q 表示离心率大于2的双曲线.如果“”为假,“"为真,求的取值范围.
22
1y x m
-=p q ∧p q ∨m 【答案】
(0,1](3,)⋃+∞【分析】先求出和为真时的的取值范围,再结合题意可得和一真一假,进而求解. p q m p q 【详解】若为真,则对称轴,即,又,则. p 21x m =-≥1m £0m >01m <≤若为真,则,即.
q 2c
e c a
=
==>3m >因为“”为假,“”为真,所以和一真一假.
p q ∧p q ∨p q 若真假,则,得;
p q 01
03m m <≤⎧⎨<≤⎩
01m <≤若真假,则,得. q p 1
3
m m >⎧

>⎩3m >综上所述,的取值范围是.
m (0,1](3,)⋃+∞20.已知抛物线的焦点为,过且倾斜角为的直线与抛物线相交于,2:2(0)C y px p =>F F 45︒C P 两点,且线段被直线平分.
Q PQ 2y =(1)求的值;
p (2)直线是抛物线的切线,为切点,且,求以为圆心且与相切的圆的标准方程. l C A l PQ ⊥A PQ 【答案】(1) 2p =(2) 22(1)(2)2x y -++=
【分析】(1)设,,结合平分及,得可得结()11,P x y ()22,Q x y 21122
222y px y px ⎧=⎨=⎩1212122y y p
x x y y -=-+tan45=︒
果;
(2)设直线的方程为,代入,得,根据判别式为零求出圆
l y x b =-+24y x =()22240x b x b -++=心坐标,利用点到直线距离公式求出圆的半径,从而可得圆的标准方程.
【详解】(1)由题意可知,设,,则. ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()11,P x y ()22,Q x y 124y y +=由,得,∴,即. 21122
222y px y px ⎧=⎨=⎩1212122y y p x x y y -=-+2tan4514p =︒=2p =(2)设直线的方程为,代入,得,
l y x b =-+24y x =()22240x b x b -++=∵为抛物线的切线,∴,解得,
l C ()2224
40b b ∆=+-=1b =-∴.
()1,2A -∵到直接的距离, A PQ d ∴所求圆的标准方程为.
()()22122x y -+=+21.已知椭圆C :的左、右焦点分别为F 1,F 2
,以
F 1F 2为直径的圆与直线ax ()22
2210x y a b a b
+=>>+2by
=0相切.
(1)求椭圆C 的离心率;
(2)如图,过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ,
Q 两点,若△PQF 2的周长为的最22F P F Q ⋅ 大值. 【答案】(1;(2) 72【解析】(1)根据直线与圆相切建立等式即可求得离心率;
(2)联立直线和椭圆,结合韦达定理得出=求出范围,结合斜率不22F P F Q ⋅ ()2227179212
221k k k -=-++存在的情况求解最值.
【详解】(1)
,即3a 2b 2=c 2(a 2+4b 2)=(a 2-b 2)(a 2+4b 2).化简得a 2=2b 2,所
c

e ==(2)因为△PQF 2
的周长为4a =
a
由(1)知b 2=1,所以椭圆C 的方程为+y 2=1,且焦点F 1(-1,0),F 2(1,0), 2
2
x
①若直线l 的斜率不存在,则直线l ⊥x 轴,直线方程为
x =-1,P ,Q
, ⎛- ⎝
1,⎛- ⎝22,2,F P F Q ⎛⎛=-=- ⎝⎝ 故 2272
F P F Q ⋅= ②若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =k (x +1),
由,消去y 并整理得 ()22122y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2-2=0,
设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),
则x 1+x 2=,x 1x 2=, 2
2421k k -+222221
k k -+=(x 1-1,y 1)·(x 2-1,y 2)
22F P F Q ⋅ =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2
=(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1
=(k 2+1) +(k 2-1) +k 2+1 222221
k k -+22421k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
=, ()2227179212221k k k -=-++由k 2>0可得∈. 22F P F Q ⋅ 71,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭综上所述,∈, 22F P F Q ⋅ 71,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦所以的最大值是. 22F P F Q ⋅ 72
【点睛】此题考查求椭圆离心率和方程,根据直线与椭圆位置关系,结合韦达定理求解范围问题,易错点在于漏掉讨论斜率不存在的情况.
22.已知正项等比数列的前项和为,首项,且,正项数列
{}n a n n S 11a =()4412842120S S S -++=满足,.
{}n b 1(1)n n n b nb +-=33b a =
(1)求数列,的通项公式;
{}n a {}n b (2)记,是否存在正整数,使得对任意正整31222224n n n n n b n b n b P a a a +++=+++⋅⋅⋅1212222n n n n n n
n b n b a a ---++++k 数,恒成立?若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由.
n n P k ≤k 【答案】(1);(2)见解析
12n n a -=22n b n =-【分析】(1)先设等比数列的公比为,根据题中条件,求出公比,即可得出的通项公{}n a q {}n a 式;再由累乘法求出,根据题中条件求出,代入验证,即可得出的22(3)n b n n =-≥10b =22b ={}n b 通项公式;
(2)先由(1)化简,根据,求出的最大值,进而1232222244422222
n n n n n n n n n P ---+--=
++⋯++1n n P P +-n P 可得出结果.
【详解】解:(1)设等比数列的公比为,
{}n a ,0q q >由,得, ()4412842120S S S -++=()4128842S S S S -=-又,则, 4412884
2S S q S S -==-2q =所以.
11122n n n a --=⨯=,由,得
334b a ==1(1)n n n b nb +-=,,…,, 121n n b n n b -=--123
2n n b n n b --=--4332b b =以上各式相乘得:,所以. 33 (31222)
n n n b n n b =⋅⋅⋅----22(3)n b n n =-≥在中,分别令,,得,满足.
1(1)n n n b nb +-=1n =2n =10b =22b =22n b n =-因此.
22n b n =-(2)由(1)知,,
22n b n =-12n n a -=∴, 1232222244422222
n n n n n n n n n P ---+--=++⋯++又∵, 1232221222444244222222
n n n n n n n n n n n P +---+--+=+⋯++++∴, 121214422122422224n
n n n n n n
n n n n n P P +--++-⋅-=+-=令,得,
10n n P P +->122420n n n +-⋅>
∴,解得, 61123422n n n n
+<=+<1n =∴当时,,即.
1n =10n n P P +->21P P >∵当时,,, 2n ≥24n ≥1342n +
<∴,即. 1612322n n n n
+>+=122420n n n +-⋅<此时,即,
1n n P P +<234p p p >>>⋅⋅⋅∴的最大值为. n P 22222227222
P ⨯⨯+=+=若存在正整数,使得对任意正整数,恒成立,则, k n n P k ≤max 72
k P ≥=
∴正整数的最小值为4. k 【点睛】本题主要考差数列的综合应用,熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,会求数列中的最大项即可,属于常考题型.。

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