(青海专版)中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第4节 尺

第四节尺规作图
,某某五年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2017解答23(1) 尺规作图
作线段的垂
直平分线
2 2 2016、
2015、
2014、2013
年均未考查
命题规律纵观某某省
近五年中
考，仅2017
年有考查，
但此考点不
能忽略．预
计2018年某
某中考，尺
规作图可能
会作为考查
内容，题型
以尺规作图
与几何计算
结合考查.
,某某五年中考真题)
(2017某某中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC.
(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD，BC于点E，F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接DF，证明：四边形ABFD为菱形．
解：(1)如图(尺规作图至少要作出一个交点，但所作直线EF必须过点A)；
(2)如图，连接DF.∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠BFA.∵AB＝AD，EF是BD的垂直平分线，∴∠BAF＝∠DAF(三线合一)，∴∠BFA＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AD＝BF.∵AD∥BC，∴四边形ABFD为平行四边形．∵AB＝AD，∴平行四边形ABFD为菱形．
,中考考点清单)
尺规作图
常见六种尺规作图方法
六种尺规作图步骤图示
作一条线段OA等于已知线段a
(1)作射线OP；
(2)在OP上截取OA＝a，OA即为所求线段．
作∠AOB的平分线OP
(1)以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，
N；
(2)分别以点M，N为圆心，以大于
1
2
MN长为半径作弧，两弧相交
于点P；
(3)过点O作射线OP，OP即为
∠AOB的平分线．
作线段AB的垂直平分线MN (1)分别以点A，B为圆心，以大于
1
2
AB长为半径，在AB两侧作
弧，分别交于点M和点N；(2)过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线．
作一个角∠A′O′B′等于α(1)在α上以O为圆心，以任意长为半径作弧，交α的两边于
点P，Q；
(2)作射线O′A′；
(3)以O′为圆心，OP长为半径
作弧，交O′A′于点M；(4)以点M为圆心，PQ长为半径作弧交(3)中所作的弧于点N；
(5)过点N作射线O′B′，∠A′O′B′即为所求角．
续表
六种尺规作图步骤图示
作直线l的垂线
过直线上一点O作直线l的垂线MN
(1)以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，以大于
1
2
AB的长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线MN，则
直线MN即为所求垂线．
过直线l外一点P作直线l 的垂线PN
(1)在直线另一侧取点M；
(2)以点P为圆心，PM为半径
画弧，分别交直线l于A，B
两点；
(3)分别以A，B为圆心，以大
于
1
2
AB为半径画弧，交M同侧
于点N；
(4)过点P，N作直线PN，则
直线PN即为所求垂线．
,中考重难点突破)
尺规作图
【例】已知⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)．以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
2．以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点M；
3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图①)．
乙：1.让直角三角形板的一条直角边始终经过点P；
2．调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；
3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图②)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对
C．两人都对D．两人都不对
【解析】甲同学如解图①，连接OM，MA，∵作OP的垂直平分线l交OP于点A，∴OA＝AP，∵以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点M，∴OA＝MA＝AP，∴∠O＝∠AMO，∠AMP＝∠MPA，∴∠OMA＋∠AMP＝∠O＋∠MPA＝90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线．
乙同学如解图②，∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O 上，∴∠OMP＝90°，∴MP是⊙O的切线．
故两位同学的作法都正确．
【答案】C
1．(某某中考)如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是(A)
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD
(第1题图)
(第2题图)
2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB
于点D ，E ；②分别以D ，E 为圆心，大于1
2DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点C ；③画射线OC ，射线OC
就是∠AOB 的平分线．在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是(C )
A ．ASA
B ．SAS
C ．SSS
D ．AAS
3．(2017某某中考)下列四种基本尺规作图分别表示：
①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线．则对应作法错误的是(C )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
4．(2017某某中考)任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH ，HF ，FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是(B )
A ．△EGH 为等腰三角形
B ．△EGF 为等边三角形
C ．四边形EGFH 为菱形
D ．△EHF 为等腰三角形
5．(2017某某中考)用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是(D )
6．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ，B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径作弧，两弧
相交于点D ，F.过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是__5__．
(第6题图)
(第7题图)
7．(某某中考)如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点P ，Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，以大于1
2PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点M ，连接BM 并延长交AD
于点E ，则DE 的长为__2__．
8．(中考)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l 和l 外一点P.
求作：直线l 的垂线，使它经过点P.
作法：如图，
(1)在直线l 上任取两点A ，B ；
(2)分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； (3)作直线PQ.
所以直线PQ 就是所求作的垂线．
请回答：该作图的依据是__到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上__．
9．(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠B ＝70°，分别以点A ，C 为圆心，大于1
2AC 的长为半径作弧，
两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接AE ，则∠AED 的度数是__50__°.
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.
(1)先作∠ABC 的平分线交AC 边于点O ，再以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)请你判断(1)中AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)如图所示；
(2)AB 与⊙O 相切．证明如下：过点O 作OE⊥AB，E 为垂足．∵BO 平分∠ABC，OC ⊥BC ，OE ⊥AB ， ∴OE ＝OC ＝r ， ∴AB 与⊙O 相切．
11．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2.
(1)求作⊙O，使它过点A ，B ，C ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC ︵
的长l.
解：(1)如图所示； (2)连接OC.
∵中Rt △ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，∴∠ABC ＝30°. ∵OC ＝OB ，
∴∠OCB ＝∠OBC＝30°.
∴∠COB ＝180°－2×30°＝120°. ∴lBC ︵＝23π.
12．如图，已知△ABC，∠B ＝40°.
(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F ；(保留痕迹，不必写作法)
(2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数．
解：(1)如图，⊙O 即为所求；
(2)连接OD ，OE ，则OD⊥AB，OE ⊥BC ，∴∠ODB ＝∠OEB＝90°.又∵∠B＝40°，∴∠DOE ＝140°，∴∠EFD ＝70°.。