北京中考二次函数综合分类汇总

北京中考二次函数综合分类汇总
函数的对称性和增减性
1）求出c的值及a，b之间的关系式。

2）如果抛物线在点A、B之间从左到右上升，求a的取值范围。

3）结合函数图像判断：抛物线是否能同时经过点M(-
1+m,n)和N(4-m,n)？如果可以，请写出一个符合要求的抛物线方程和n的值；如果不行，请说明理由。

二次函数与不等式
1.（2020·丰台一模26题）已知二次函数y＝ax2﹣2ax。

1）二次函数图像的对称轴是直线x＝a。

2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式。

3）如果a0的解集。

二次函数与角度相关问题
2.（2020·西城一模26题）已知抛物线y=ax2+bx+a+2（与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0），在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=-1.
1）如果点A的坐标为（-3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标。

2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，如果抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围。

3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，如果抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图像，求a的取值范围。

二次函数与线段公共点问题--定线段
21、（2020二模东城26）在平面直角坐标系xOy中，点
A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线
y=x^2-5x+a-2的顶点为C。

1）如果抛物线经过点B，求顶点C的坐标。

2）如果点C在线段AB上，求a的取值范围。

2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求N的取值范围；
3）已知点C(-1,0)，D(3,0)，若抛物线与线段CD都没有
公共点，求M的取值范围．
2、已知点B(3,4)，将其向左平移3个单位长度得到点C。

若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图像，求a
的取值范围。

解析：点B向左平移3个单位长度得到点C(-1,4)。

设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，由于抛物线与线段BC恰有一个公共点，因此该点必定在抛物线的对称轴上。

对称轴的方程为x=-b/2a，代入点C的坐标得到-b/2a=-1，即b=2a。

又因为点B 在抛物线上，所以4=a(3^2)+b(3)+c，即9a+3b+c=4.将b=2a代入得到11a+c=4.因此，a的取值范围为a4/11.
改写：已知点B(3,4)，将其向左平移3个单位长度得到点C(-1,4)。

若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则该点必定在抛物线的对称轴上。

设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，由于点B在抛物线上，所以4=a(3^2)+b(3)+c，即9a+3b+c=4.又因为点C在对称轴上，所以-b/2a=-1，即b=2a。

代入上式得到
11a+c=4.因此，a的取值范围为a4/11.
10、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+4的图像与x轴交于点A，与过点(0,5)平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C。

已知某抛物线的表达式为
y=x^2-2mx+m^2-m。

1)求点B和点C的坐标。

2)如果该抛物线的顶点在直线y=x+4上，求m的值。

3)如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图像，直接写出m的取值范围。

解析：(1)点B的坐标为(5,-1)，点C的坐标为(-5,-7)。

2)设抛物线的顶点为D(h,k)，则h=-m，k=h^2-mh+m^2-m+4.因为D在直线y=x+4上，所以k=h+4，代入上式得到
h^2-2mh+m^2-m=0，解得m=1或m=3.因此，m的值为1或3.
3)由于点B关于直线l的对称点为点C，所以线段BC垂直于直线l。

因此，抛物线的对称轴与直线l垂直，即斜率为0.对称轴的方程为x=-b/2a=-(-2m)/2= m。

因此，m的取值范围为1<m<3.
改写：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+4的图像与x轴交于点A，与直线l:y=5平行的直线交于点B，点A
关于直线l的对称点为点C。

已知某抛物线的表达式为y=x^2-
2mx+m^2-m。

1)点B的坐标为(0,5-m)，点C的坐标为(-2m,-m-4)。

2)设抛物线的顶点为D(h,k)，则h=-m，k=h^2-mh+m^2-
m+4.因为D在直线y=x+4上，所以k=h+4，代入上式得到
h^2-2mh+m^2-m=0，解得m=1或m=3.因此，m的值为1或3.
3)由于点B关于直线l的对称点为点C，所以线段BC垂
直于直线l。

因此，抛物线的对称轴与直线l垂直，即斜率为0.对称轴的方程为x=-b/2a=-(-2m)/2= m。

因此，抛物线与线段BC有公共点的充要条件为抛物线的顶点在直线y=x+4上且m
的取值范围为1<m<3.
1、（2020二模燕山26）在平面直角坐标系xOy中，抛
物线$y=ax^2-4ax(a\neq0)$与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．
1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
点A的坐标为$(0,0)$，点B的坐标为$(4a,0)$，抛物线的
对称轴为$x=\frac{2}{a}$。

2)已知点P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段PQ有
公共点，请结合函数图象，求a的取值范围。

由于点P和Q确定了一条直线，所以只需求该直线与抛
物线的交点即可。

将抛物线方程代入直线方程，得到$ax^2-4ax=(5a-2)x-2a$。

整理后得到$ax^2-(9a-2)x+2a=0$。

由于抛物线和直线有交点，所以该二次方程有实根，即$(9a-2)^2-8a^2\geq0$。

化简后得到$(a-2)(a+1)\geq0$，因此$a\in(-\infty,-
1]\cup[2,+\infty)$。

2、（2020·门头沟一模26题）在平面直角坐标系xOy中，给定一次函数y=-ax+3的图象与y轴交于点A，与抛物线
y=ax^2-2ax-3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5
个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G。

1）求出抛物线的对称轴和点C的坐标；
解：由于y=-ax+3与y轴交于点A，所以A的坐标为（0，3）。

又因为y=-ax+3是一次函数，其图象是一条直线，与抛
物线y=ax^2-2ax-3a（a≠0）的对称轴交于点B，因此抛物线的
对称轴与y=-ax+3的图象重合，即对称轴为直线x=0.
将点A向右平移5个单位得到点C，即C的坐标为（5，
3-5a）。

2）①当a=-1时，直接写出抛物线y=ax^2-2ax-3a与图形
G的公共点个数。

解：将a=-1代入抛物线的表达式中得到y=-x^2+2x+3，
将其与y=-ax+3的图象作图，交点为（1，2）和（3，0），因
此抛物线y=-x^2+2x+3与图形G有2个公共点。

②如果抛物线y=ax^2-2ax-3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围。

解：设抛物线y=ax^2-2ax-3a与图形G的公共点为（t，s），则有s=-at+3.又因为折线段AC的斜率为-a，所以AB的斜率为-a/2，即折线段AC的中垂线的斜率为-a/2.因此中垂线的方程为y=(3-5a)/2-(a/2)x。

将中垂线与抛物线联立解得：
at^2-(2a-5)t+3=0
由于抛物线与图形G只有一个公共点，因此上述方程只有一个根，即Δ=0，即
2a-5)^2-12a=0
解得a=1或a=-3/4.
综上所述，当a=1或a=-3/4时，抛物线y=ax^2-2ax-3a与图形G有且只有一个公共点。

在平面直角坐标系xOy中，给定抛物线y=ax^2+bx+c过原点和点A(-2,3)，其中横纵坐标都是整数的点叫做整点。

记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W。

求a的取值范围使得区域W内恰有4个整点。

解析：
1）求对称轴
由于抛物线过原点，所以对称轴必过原点，设对称轴方程为x=k。

根据对称性，点A关于对称轴对称，所以点A的横坐标为对称轴的中点，即k=-1.因此，对称轴方程为x=-1.
2）求区域W内整点个数
当a=1时，抛物线方程为y=x^2+bx+c。

由于抛物线对称轴为x=-1，所以抛物线顶点坐标为(-1,b+c+1)。

又因为抛物线过点A(-2,3)，所以有3=-2^2-2b+c，即c=7+2b。

将c代入抛物
线方程中，得到y=x^2+bx+7+2b。

将抛物线方程表示为顶点形式，得到y=(x+1)^2+b+6，即抛物线顶点为(-1,b+6)。

由于横纵坐标都是整数的点叫做整点，所以b必为偶数，即b=2m（m
为整数）。

代入抛物线方程中，得到y=x^2+2mx+14+4m。

根
据题意可知，区域W内恰有4个整点，即抛物线在区域W内
有两个整点。

根据抛物线对称性，可知抛物线在对称轴上也有一个整点。

因此，只需要找到一个整点，使得对称轴两侧各有一个整点即可。

由于对称轴方程为x=-1，所以只需要找到一
个整点，使得x=-1的两个整数解分别小于和大于该点的横坐标。

不难发现，当x=-2时，对称轴左侧的整点为(-2,12+4m)，对称轴右侧的整点为(0,14+2m)。

因此，当a=1时，区域W内
恰有4个整点。

3）求a的取值范围
根据题意可知，区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围。

根据上面的分析可知，当a=1时，区
域W内恰有4个整点。

当a>1时，抛物线开口向上，区域W
内不可能恰好有3个整点。

因此，只需要考虑a<1的情况。

由于抛物线开口向下，顶点在区域W内，所以只需要找到一个
整点，使得该点为顶点，即可确定a的取值范围。

不难发现，当抛物线顶点为(-1,5)时，区域W内恰有3个整点。

将顶点坐标代入抛物线方程中，得到y=ax^2-2ax+7.因为横纵坐标都是整数的点叫做整点，所以要求抛物线判别式4a-28为完全平方数。

因此，a的取值范围为0<a<7.。