2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬
+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.
B.
C.
D.
{}
1,2,3{}
0,1,2{
}1,2,5{}
0,1,2,52. 已知
，则＝（ ）
i
22i z =
-z A. 2 B. 1
3. 已知
．若
，则（ ）
a = (
)
2a b a
+⊥ cos ,a b
=
A.
B.
D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（
{}n a n S 31S ma =
7m ={}n a ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C .
充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.
此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.
D.
6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
()21,0,22,0,
x
x f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
7. 已知函数
，函数的图象各点的横坐标缩
()2211cos sin cos 222222x x x x
f x =
-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程
1
2π12y =g (x )在
上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2
π
8. 若关于不等式恒成立，则当时，
的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1
e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1
D. 1
1e
+e 1
-e
二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（
）
3515a
b
==A. B. C. D.
lg lg a b
>a b ab
+=1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭49
a b +>10. 若数列满足
，，，则称数列为斐波那
{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）
A. B. 713
a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +
∈N C.
D.
135********a a a a a ++++= 24620242025
a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体
中，E ，F 分别是棱，的中点，
1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（
）
1111D C B A
A. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEF
B. 若P 的轨迹长度为AP =2π
C. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +
D. 若P 是棱
的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π
第Ⅱ卷
三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 曲线
的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.
32
374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.
50AB BC ==OP =
14. 已知
，当，时，是线段的中点，点在所有的线段
121
A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．
1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.
{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；
2a {}n a （2）在
与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求
n a 1n a +n ()2+n n d
数列的前项和.
1n d
⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，
ABC V π2cos 3b A a c
⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：
（2）若AC 边上的高
，求
.
h =
cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．
ADE V AE BD CD 4BD
=
（1）求证：图2中的平面平面；
ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面
F BD AF ABCE 点到平面的距离．
F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；
a ()f x （2）证明：当
时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．
x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个
n a 31n +奇数为
.若，则称正整数n 为“理想数”.
n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知
.求m 的值；
9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列
，记的前n 项和
{}n b {}n b 为
，证明.
n S ()*7
N 3
n S n <
∈
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬
+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.
B.
C.
D.
{}
1,2,3{}
0,1,2{
}1,2,5{}
0,1,2,5【正确答案】B
【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.
P 【详解】若
，，则是的正因数，而的正因数有，，，，
6
1y x =
+y ∈N 1x +661236所以，
{}
6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，
{}
15Q x x =-≤<所以
，
{}
0,1,2P Q ⋂=故选：B.
2. 已知
，则＝（ ）
i
22i z =
-z A. 2 B. 1
【正确答案】C
【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.
z 【详解】由题意知
，
()()()i 22i i 22i 22i 22i z +=
=--+2i 28-=11i 44=-+所以
，z ==
故选：C.3. 已知
．若
，则
（
）
a = (
)
2a b a
+⊥ cos ,a b =
A.
B.
D. 【正确答案】B
【分析】根据向量垂直可得
，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅
=-
【详解】因为
，且
，
(
)
2a b a
+⊥
1
a = 则，可得
，()
2220
a a a a
b b +⋅=+⋅= 213
22a b a
⋅=-=-r
r r 所以
.
cos ,a b a b a b
⋅==
=⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（
{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.
【详解】设等比数列的公比为，
{}n a q 由
，得，
()22312311111
1S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=2
1q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；
7m =2
17q q ++=2q =3q =-当时，
，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.
7m ={}n a 故选：A
5. 此正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D. 【正确答案】B
【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.
【详解】
如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，
1111ABCD A B C D -1O ABCD -
设底边边长，高
AB a =1OO =
则
，1O E ==
又正四棱柱的侧面积
，
114S AB OO =⋅=
正四棱锥的侧面积，
21142S AB O E a
=⋅⋅=
则，解得
，
a
=
a =所以正四棱锥体积
，
2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.
6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
()21,0,22,0,
x
x f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对
C. 3对
D. 4对
【正确答案】C
【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结
()f x 1,0,
2x
y x ⎛⎫
=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.
【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,
2x
y x ⎛⎫
=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故
1,0,2x
y x ⎛⎫
=≥ ⎪⎝⎭2
2,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.
()
f
x
故选：C
7. 已知函数
，函数的图象各点的横坐标缩
()2211cos sin cos 222222x x x x
f x =
-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程
1
2π12y =g (x )
在
上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6
π3π2
π
【正确答案】A
【分析】先化简
，根据图象变换求出
，将方程
转化为
()
f x ()
g x ()21
g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.
()1
2m g x +=
()g x 【详解】根据题意可得
，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭所以
，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，
7π012x ≤≤
ππ3π
2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在
上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且
，，
()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π1
12g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程
等价于
有两个不同的解，
()21
g x m -=()1
2m g x +=
12,x x .
12ππ2126x x ∴+=⨯
=故选：A.
8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）
x ()ln ax x b ≤+1
e e a ≤≤1e ln b a +-A.
B. C. 1
D. 1
1e +e 1
-e
【正确答案】C
【分析】构建
，分析可知
的定义域为，且
在
()()ln f x ax x b
=--()
f x (0,+∞)()0
f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建
(0,+∞)ln 1a b ≤+1
e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.
()1
ln ,e
e g a a a a =-≤≤【详解】设
，
()()ln f x ax x b
=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，
1
e e a ≤≤()
f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为
，
()111x
f x x x -=
-='令，解得；令，解得；
f ′(x )>001x <<f ′
(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，
()f x (0,1)
(1,+∞)则
，可得，则
，()()1ln 10
f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b a
a +≥=可得
，当且仅当时，等号成立，1
e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则
，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=
令，解得；令，解得；
()0g a '>1e a <≤()0g a '<1
1e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，
()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭()()11
g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，
1
e
ln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.
1
e
ln b a +-故选：C.
方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．
二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（
）
3515a
b
==A. B. C. D.
lg lg a b
>a b ab
+=1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭49
a b +>【正确答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得
，，
33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即
，所以，1515110log 3log 5a b ∴<
=<=11
0a b <<
0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；
0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；
15151511
log 3log 5log 151
a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭对于D ，因为，，
0a b >>11
1
a b +=所以，
(
)11444559
b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当
，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b a
a b =2a b =35a b =49a b +>确.
故选：ABD.10. 若数列满足
，，，则称数列为斐波那
{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）
A. B. 713
a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +
∈N C.
D.
135********a a a a a ++++= 24620242025
a a a a a ++++= 【正确答案】AC
【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；
32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，
21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以
，即，故B 错误；
21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，
2024202320222023202120202023202132
a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；
2023202131a a a a =++++ 对于D ，
2025202420232024202220212024202243
a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.
20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.
11. 如图，在边长为4的正方体
中，E ，F 分别是棱，的中点，
1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（
）
1111D C B A
A. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEF
B. 若P 的轨迹长度为AP =2π
C. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +
D. 若P 是棱
的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π
【正确答案】ACD
【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取
，的中点为，连接，，
11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D
所以，又E ，F 分别是棱，的中点，
11//MN B D 11B C 11C D 所以
，所以，
11//EF B D //MN EF 平面，平面，
MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，
//MN ∴CEF 因为分别是棱
，的中点，所以，且，
,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，
CDNE 所以，又平面，平面，
//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，
//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，
//BDNM CEF
点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；
MN MN =
=
A 如图，以为原点，以
所在直线为轴，轴，轴，
A 1,,A
B AD AA x y z 由题意得，设，
(0,0,0)A (,,4)P x y
，
AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
2
2
1x y +=P 1A 1
4所以点P 的轨迹长度为.故
错误；1π
2π4
2⋅=
B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111D
C B A 连接，与交于点，此时
取到最小值，
PC EF Q PQ CQ
+，且，
CE CF === 2PE PF =
=所以点为的中点，所以
Q EF
PQ EQ ==
=所以
，
CQ ===
即的最小值为，故正确；
PQ CQ +C
如图，连接，交于点，连接，
PF 11B D 1O PE 若P 是棱
的中点，则，
11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
FP PEF !1O PEF !过点
作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，
1O ABCD P CEF -O 连接，设
，则，
OP 1OO t =2222t R +=
连接，，所以
，
OC 12AC ==()(2
2
2
4t R -+=
所以
，解得
，
()(2
2
2
2
24t t +=-+5
2=
t 所以
，
222541244R =+
=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -2
4π41πS R ==D 故选.ACD
方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；
（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.
有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.
第Ⅱ卷
三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 曲线
的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.
32
374y x x x =+++【正确答案】.
430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.
【详解】由题意
，
22
3673(1)4y x x x '=++=++所以时，
，又时，，
1x =-min
4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．
430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.
50AB BC ==OP =
【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，
PO h =
在中，
，同理可得
，，Rt POA △o
tan 30OP OA =
=OB =OC h =
在中，，则，
OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，
22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-
⋅⋅
.
=
h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知
，当，时，
是线段的中点，点在所有的线段
121
A A =2n ≥*
N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．
1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】2
3
【分析】根据中点坐标公式可得
，进而可得为等比数列，
()
*
1
22n n n a a a n +++=
∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.
1
21132n n a -⎡⎤
⎛⎫
=--⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点
、
，设点
，
()10,0A ()
21,0A ()(
),0n n A a n *
∈N 则数列满足，，
，
{a n }1
0a =21a =()
*
1
22n n n a a a n +++=
∈N 所以，
，
1212n n
n n a a a a +++--=-
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-2
11a a -=1
2-
所以，
，
1
1
111122n n n n a a --+⎛⎫
⎛⎫
-=⨯-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
当时，
2n ≥()()()2
121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫
=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ，
1
1
11212113212
n n --⎛⎫
-- ⎪
⎡⎤
⎛⎫⎝
⎭
==--⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
+也满足
，故对任意的，.
10a =1
21132n n a -⎡⎤⎛⎫
=--⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤
⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，
，故11212
lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=
⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.2
3
四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.
{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；
2a {}n a （2）在
与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求
n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.
1n d
⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，
24a =2n n a =*N n ∈（2）
3
32n n
n T +=-
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算
1n =12a =2n =出
的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可
2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列
是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
{}n a 22{}n a （2）先根据第
题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，
()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出
n d 1n d ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，
1n =111222S a a +=+=12a =当时，
，即，解得，
2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，
2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得
，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
12n n a a -={}n a ∴，.
1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】
由（1）可得，，，
2n
n a =1
1
2n n a ++=在
与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
n a 1n a +n ()2+n n d 则有
，
()11n n n
a a n d +-=+∴，∴，1211n
n n n a a d n n +-==
++112n n n d +=∴
，
123121112341
2222n n n n T d d d +=
++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，
()2
3
1
1111123122222n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
两式相减得，
21123111
11
121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴
.
3
32n n n T +=-
16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，
ABC V π2cos 3b A a c
⎛
⎫-
=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：
（2）若AC 边上的高
，求.
h =
cos cos A C
【正确答案】（1）
π
3B =
（2）1
8
-
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;
B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由
2
2b ac =sin sin A C ，可得的值.
cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】
因为，
π2cos 3b A a c
⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得
，
12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
即sin cos sin sin sin()
B A A B A A B +=++即
，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++
，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >
，
cos 1B B -=即
，因为，则π1sin 62B ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪
⎝⎭可得
，则.
ππ66B -
=π3B =【小问2详解】
因为边上的高
，
AC h =
所以
①
2
1122ABC S b h b =⋅==
又
②
11sin 22ABC S ac B ac =
== 由①②可得，
2
2b ac =由正弦定理可得，
2
sin 2sin sin B A C =结合（1）中
可得
，π
3B =
3sin sin 8A C =
因为
，
()1
cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=
所以
.
1311cos cos sin sin 2828A C A C =-
=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．
ADE V
AE BD CD 4BD =
（1）求证：图2中的平面平面；
ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面
F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】
（1）证明见解析
（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
E
【小问1详解】连接，
BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，
ADE V 由余弦定理得，所以
214422212
2BE ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，
222222
,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，
,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以
平面，
BE ⊥ADE 又平面，所以平面
平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥
ABCE 【小问2详解】
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，
()()(
)(()
2,0,0,0,,
,,0,0,0A B C
D E -设，
()
01DF DB λ
λ=≤≤故
，(
)((
,,1,
EC ED DB
=-==-
，
((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--
因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为
，
z ABCE ABCE ()
0,0,1m =
所以
，
cos ,m AF m AF m AF
⋅==
=
化简得，解得
或
（舍去），
2
3830
λλ+-=1
3λ=
3λ=-所以
，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，
DEC (),,n x y z =
则有，可取
，
00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪
⎩
)1n =- 所以点到平面
F
DEC
18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；
a ()f x （2）证明：当
时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>
（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析
（3）2个，证明见解析
【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调
(0)0f '
=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；
（2）依题意即证当
时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-
，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调
π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；
（3）设，，当时，由（1）知，
()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，
[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥
利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在
()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.
[π,)+∞【小问1详解】
由题意知，且，
(0)0f =(0)0f '
=，
1
()cos 1f x x a x '=+
-+ ，解得，
(0)20f a '∴=-=2a =，，
()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则
，
1
()cos 21f x x x '=+
-+当时，，．故，
0x ≥cos 1≤x 1
11x ≤+()0f x '
≤所以在区间上单调递减，所以．
()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令
，
10x -<<1
()cos 21g x x x =+
-+则
，
21
()sin (1)g x x x '=--
+，，
，sin (0,1)x -∈ 21
1(1)x >+()0g x '
∴<在区间上单调递减，则，
()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．
()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】
因为，
()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当
时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>
记
，
，1()sin ln(1)2m x x x =++-
π,π6x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦当时，，，
π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 1
2x ≤≤ln(1)0x +>；
1
()sin ln(1)02m x x x ∴=++-
>当
时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=+
+记
，则，
1()()cos 1n x m x x x '==+
+2
1()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，
()m x '
∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤
⎥⎝⎦，
()11
()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-
=+->综上所述，当
时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>
【小问3详解】
设，，
()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，
1
()cos 11h x x x '∴=+
-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，
()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．
()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．
0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，
单调递减，
π()0,x ∈1()cos 1
1h x x x '=+
-+又，
，
(0)10h '
=>1
(π)20π1h '=
-<+
存在，使得，
∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当
时，当时，
00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，
()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，
()0(0)0
h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．
()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，
()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，
1()1011x l x x x -'∴=
-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．
()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个
n a 31n +奇数为
.若，则称正整数n 为“理想数”.
n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知
.求m 的值；
9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列
，记的前n 项和
{}n b {}n b 为
，证明.
n S ()*7
N 3
n S n <
∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18
m
（3）证明见解析
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道
必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】
以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=2
1a =2，而，故不是“理想数”；
33110⨯+=10
5
2=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=4
16
12=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22
11
2=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34
17
2=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=40
5
8=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52
13
4=17，而，故不是“理想数”；
319158⨯+=58
29
2=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知
必为奇数，必为偶数，
9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9
921p m =+-，且，
9
21p ∈-Z
211p
-≥
，或，或，解得，或，
211p ∴-=213p -=219p
-=1p =2p =，或，即的值为12或18．
1991821m ∴=
+=-2
9
91221m =+=-m 【小问3详解】
显然偶数"理想数"必为形如
的整数，
(
)*
2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：
，
((((0
2
2
4
4
6
22
22,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦
若奇数，不妨设
，
1m >(
2222,2k k m -⎤∈⎦
若为"理想数"，则，且，即，且，
m (*
3112s m s +=∈N )2s >(
*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)1
33t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，
(
*
41
3t m t -∴=∈N )1t >又
，即，
22
241
2
23t k k
--<<1344134k t k
-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，
t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
(2222,2k k -(
*
413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
()
*
41
3k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，
∴()
*
3
41k
k ∈-N 113313
41
44441
k k k ++<
=⨯
---
1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫
∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即．
21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=
⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。